小升初数学典型试题分析.docx

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小升初数学典型试题分析

小升初数学做好这些可以让你胜人一筹

每年小升初重点中学的面试时间都很短，要在这5分钟之内脱颖而出，需要扎实的数学功底。

即便是在培训班的选拔中，很多孩子也很容易把分数丢在不该丢的地方，导致分数比预想的低了不少。

那么，如何找到最容易失分的点，在小升初之前有充分的准备，才能运筹帷幄，决胜小升初战场。

　　这几个点主要包括：

计算、行程、数论、几何

　　这些题目是小学奥数中的难点和易错点，因此，把这些题目作为小升初选拔考试的重点便极具代表性，也更容易便考出学生的水平。

另外，这些知识和初中的奥数知识有着极为紧密的联系，我们对学而思奥数网初中部的大量学员进行调研后发现，实验班的学生尤其是数学实验班的学生，对这部分知识的掌握大都很好，每次的月考和期中、期末考试都会取得良好的成绩。

不仅如此，像“行程”这类题目对于中学生学习物理中的相关题目有很大的帮助，用物理老师的话说：

本来以为是个难点，却发现在学生眼里是小菜一碟。

重点中学为了保证学校今后的生源质量，便把小升初的把关考试重点放在了这一块。

　　一、计算题

　　无论小升初还是各类数学竞赛，都会有计算题出现，2007年小升初中，人大附中的题目中就有7题是计算题，实验中学更是有9题。

计算题并不难，却很容易丢分，原因：

　　1、数学基础薄弱。

　　计算题也是对考生计算能力的一种考察，并非常所说的马虎、粗心造成的。

而且这种能力对任何一个来说，都是很重要的，甚至终身受益，这就是为什么中小学学习阶段，“逢考必有计算题”的重要原因了！

　　2、心态上的轻视。

很多学生称做计算题为“算数”题，在心理上认为很简单，一来不认真做，二来，把更多的精力放在了应用题等看起来很难的题目上了。

　　二、行程问题

　　根据奥数网对近千套各类奥数竞赛和“小升初”数学考试试题的分析，我们发现平均每套试卷按12道题，满分100分计算，就有1.8道试题为行程问题（即每120道试题中有18道是行程问题），分值为21分。

　　行程问题占一套试卷分值的1/5左右，难怪它很重要。

　　我们任意翻开一套试卷，只要是一套综合的测试，大概就会发现少则一道多则三五道的行程问题。

　　所以行程问题不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常显赫的地位，都是命题者偏爱的题型之一。

所以很多学生甚至说，“学好了行程，就肯定能得高分”。

　　三、数论问题

　　在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。

翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。

在小学各类数学竞赛和小升初考试中，我们系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。

　　出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。

　　四、几何问题

　　2007年重点中学小升初中，几何问题也是一大亮点。

在人大附中的题目中，几何问题占到了5题，而实验中学的题目中，几何问题占到了8题。

几何问题主要考察是考生的观察能力甚至空间想象能力，有时需要添加辅助线才能完成，对培养孩子动手甚至创新能力很有帮助。

小升初数学试卷"路程问题"解析一

例1 两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。

一辆汽车的速度是每小时55千米，另一辆汽车的速度是每小时45千米，甲、乙两地相距多少千米？

（四川省重庆市）

　　【分析 1】先求两辆汽车各行了多少千米，再求两辆汽车行驶路程的和，即得甲、乙两地相距多少千米。

　　【解法1】一辆汽车行驶了多少千米？

　　55×5=275（千米）

　　另一辆汽车行驶了多少千米？

　　45×5=225（千米）

　　甲、乙两地相距多少千米？

　　275+225=500（千米）

　　综合算式：

 55×5+45×5

　　=275+225=500（千米）

　　【分析2】先求出两辆汽车每小时共行驶多少千米，再乘以相遇时间，即得甲、乙两地相距多少千米。

　　【解法2】两车每小时共行驶多少千米？

　　55+45=100（千米）

　　甲、乙两地相距多少千米？

　　100×5=500（千米）

　　综合算式：

 （55+45）×5

　　=100×5=500（千米）。

　　【分析 3】甲、乙两地的距离除以相遇时间，就等于两辆汽车的速度和。

由此可列出方程，求甲、乙两地相距多少千米。

　　【解法3】设甲乙两地相距x千米。

　　x÷5=55+45

　　x=100×5

　　x=500

　　【分析4】甲乙两地距离减去一辆汽车行驶的路程，就等于另一辆汽车行驶的路程，由此列方程解答。

　　【解法4】设甲乙两地相距x千米。

　　x-55×5=45×5

　　x-275=225

　　x=275+225

　　x=500

　　答：

甲、乙两地相距500千米。

　　【评注】解法2和解法1是算术解法，其中解法2是较好的解法。

解法3和解法4是方程解法，其中解法3是较好的解法。

比较以上四种解法，解法1和解法2可以运用乘法分配律相互转换，解法1和解法4、解法2和解法3，它们的数量关系是分别相同的，比较一下就会发现它们只是解题思路及方法不同。

小升初数学试卷"路程问题"解析二

例2 两辆汽车从相距345千米的两地同时相向开出，一辆汽车每小时行60千米，另一辆汽车每小时行55千米。

经过几小时两辆汽车可以相遇？

 （辽宁省沈阳市）

　　【分析 1】先求出两辆汽车每小时共行多少千米，即速度和。

然后根据公式“两地距离÷速度和=相遇时间”即可求得。

　　【解法1】 345÷（60+55）

　　=345÷115=3（小时）。

　　【分析 2】两辆汽车在相遇时各行路程的和，就等于两地之间的距离345千米。

由此可列方程解。

　　【解法 2】设经过x小时两车相遇。

　　60x+55x=345

　　115x=345

　　x=345÷115

　　x=3

　　【分析 3】根据“速度和×相遇时间=两地距离”这一等量关系，列方程解。

　　【解法3】设经过x小时两车相遇。

　　（60+55）×x=345

　　x=345÷（60+55）

　　x=345÷115

　　x=3

　　【分析4】两地之间的距离减去一辆汽车所行的路程，就等于另一辆汽车所行的路程。

由此列方程解。

　　【解法4】设经过x小时两车相遇。

　　345-60x=55x

　　60x+55x=345

　　115x=345

　　x=3

　　答：

经过3小时两辆汽车可以相遇。

　　【评注】解法1思路清晰，运算简便，是本题的较好解法。

后三种解法都是方程解法，实际上这三种方程解法都是同一数量关系，比较一下就会发现它们都是由一个方程变形得来的，其中解法3较为简捷。

小升初数学试卷"路程问题"解析三

例3 快车和慢车同时从相距385千米的两个城市相对开出，经过5小时后两车相遇。

慢车每小时行35千米，求快车每小时行多少千米？

 （黑龙江省哈尔滨市南岗区）

　　【分析1】先求出慢车共行了多少千米，再用两城市间的距离减去慢车行的路程，就等于快车共行了多少千米，由此可求快车每小时行多少千米。

　　【解法1】慢车共行了多少千米？

　　35×5=175（千米）

　　快车共行了多少千米？

　　385-175=210（千米）

　　快车每小时行多少千米？

　　210÷5=42（千米）

　　综合算式：

 （385-35×5）÷5

　　=（385-175）÷5=210÷5

　　=42（千米）。

　　【分析2】用两城市间距离除以两车的相遇时间，即得两车速度和，再用速度和减去慢车的速度，即得快车速度。

　　【解法 2】两车每小时共行多少千米？

　　385÷5=77（千米）

　　快车每小时行多少千米？

　　77-35=42（千米）

　　综合算式：

385÷5-35=77-35=42（千米）。

　　【分析3】根据“速度和×相遇时间=两地距离”这一等量关系，列方程解。

　　【解法3】设快车每小时行x千米。

　　（35+x）×5=385

　　35+x=385÷5

　　x=385÷5-35

　　x=42

　　【分析4】根据“慢车行驶路程+快车行驶路程=两地距离”列方程解。

　　【解法 4】设快车每小时行x千米。

　　35×5+5x=385

　　5x=385-35×5

　　5x=210

　　x=42

　　【分析5】假设快车的速度与慢车的速度相同，那么两城市之间的距离就是35×2×5=350（千米）。

这样比实际距离少385-350=35（千米），再把35千米平均分成5份，每份与慢车速度的和，就是快车的速度。

　　【解法 5】（385-35×2×5）÷5+35

　　=（385-350）÷5+35

　　=35÷5+35=7+35=42（千米）

　　答：

快车每小时行42千米。

　　【评注】比较以上五种解法，解法2的思路简明，运算简便，也比较容易想到，是本题的最佳解法。

小升初数学试卷"路程问题"解析四

例4 一条公路上依次有甲、乙、丙、丁四个车站（如图）。

小明和小华两人同时从甲、丁两站相向而行，当小明用40分钟走到乙站时，小华刚好走到丙站，问两人再走几分钟后相遇？

（上海市普陀区）

　　【分析1】先求出小明和小华40分钟共行多少米，再除以40即得两人的速度和。

再用1 520米除以速度和就等于两人再走的相遇时间。

【解法 1】两人40分钟共行了多少米？

　　5 320-1520=3 800（米）

　　两人的速度和是多少？

　　3 800÷40=95（米）

　　两人再走几分钟相遇？

　　1520÷95=16（分钟）

　　综合算式：

 1520÷[（5 320-1520）÷40]

　　=1520÷[3 800÷40]

　　=1520÷95=16（分钟）。

【分析2】先求出两人的速度和，再求出两人从开始行到相遇共用多少分钟，再减去共行的40分钟，即得再走的相遇时间。

【解法 2】两人的速度和是多少？

　　（5 320-1520）÷40=95（米）

　　两人走全程共需多少分钟？

　　5320÷95=56（分钟）

　　再走几分钟两人相遇？

　　56-40=16（分钟）

　　综合算式：

 5320÷[（5320-1520）÷40]-40

　　=5320÷[3800÷40]-40

　　=5320÷95-40=56-40=16（分钟）.

【分析3】先求出已走的路程是再走路程的几倍，再用40分钟除以这个倍数，即得两人再走所需的时间.

【解法3】两人已走了多少米？

　　5320-1520=3800（米）

　　已走路程是再走路程的几倍？

　　3800÷1520=2.5（倍）

　　再走几分钟两人相遇？

　　40÷2.5=16（分钟）

　　综合算式：

 40÷[（5320-1520）÷1520] 

　　=40÷[3800÷1520]

　　=40÷2.5=16（分钟）.

【分析4】因为两地距离÷相遇时间=速度和，而两人速度和不变，所以两地距离和相遇时间成正比例.

【解法4】设再走x分钟两人相遇.

　　（5320-1520）∶40=1520∶x]

　　3800∶40=1520∶

　　x=

　　x=16

　　答：

两人再走16分钟后相遇.

【评注】解法1是一般解法，易于理解和掌握，但计算较繁些.解法3的思路简明，运算也不繁，是本题的较好解法.同时，由解法3的思路还可推想出运用分数应用题的解法，或运用比的知识解题，读者可试试.

小升初数学试卷"路程问题"解析五

例5 甲乙两车分别从两城相对开出，甲车每小时行33千米，乙车每小时行28千米.甲车开出2小时后，乙车出发，经3小时相遇.两城相距多少千米？

（江苏省句容县）

【分析1】甲车先开2小时所行的路程，加上两车同时开3小时所行的路程，所得的和就是两城相距多少千米.

【解法1】甲车2小时行了多少千米？

　　33×2=66（千米）

　　甲乙两车同时开3小时共行多少千米？

　　（33+28）×3=61×3=183（千米）

　　两城相距多少千米？

　　66+183=249（千米）

　　综合算式：

 33×2+（33+28）×3

　　=33×2+61×3

　　=66+183=249（千米）.

【分析2】甲车所行的路程加上乙车所行的路程，即得两城相距多少千米.

【解法2】甲车共行了几小时？

　　2+3=5（小时）

　　甲车共行了多少千米？

　　33×5=165（千米）

　　乙车行了多少千米？

　　28×3=84（千米）

　　两城相距多少千米？

　　165+84=249（千米）

　　综合算式：

 33×（2+3）+28×3

　　=33×5+28×3=165+84=249（千米）.

【分析3】假设甲车开车时乙车也同时出发，即两车同时行5小时相遇.这样两车共行的路程比两城的实际距离多算了2个28千米.由此可求出两城间的实际距离。

【解法3】假设两车同时发车，共行了几小时相遇？

　　2+3=5（小时）

　　两车同时行5小时共行多少千米？

　　（33+28）×5=305（千米）

　　乙车比实际多计算了多少千米？

　　28×2=56（千米）

　　两城相距多少千米？

　　305-56=249（千米）

　　综合算式：

 （33+28）×（2+3）-28×2

　　=61×5-28×2

　　=305-56=249（千米）

【分析4】甲车先开出2小时，可假设为比实际晚开出1小时；而乙车假设为比实际早开出1小时.这样原题就假设为：

甲乙两车同时相向而行，经过4小时相遇.但两车所行路程的和比两城实际距离少33-28=5（千米）.

【解法4】 （33+28）×（3+2÷2）+（33-28）

　　=61×4+5=244+5=249（千米）

　　答：

两城相距249千米.

【评注】解法1和解法2是一般方法，容易想到，易于理解和掌握.解法3和解法4是假设法，思路新颖，算式看起来麻烦，但运算并不麻烦.

小升初数学试卷"路程问题"解析六

例6 A、B两站间的铁路长490千米，甲乙两列火车同时从这两站相对开出，甲车每小时行72千米，乙车每小时行68千米。

相遇时，甲、乙两列火车各行了多少千米？

（广东省深圳市）

【分析1】根据“两地距离÷速度和=相遇时间”求出两车的相遇时间，再用两车的速度分别乘以相遇时间，即可分别求出两车各行了多少千米.

【解法1】两车经过几小时相遇？

　　490÷（72+68）=490÷140=3.5（小时）

　　甲上行了多少千米？

　　72×3.5=252（千米）

　　乙车行了多少千米？

　　68×3.5=238（千米）

　　综合算式：

甲车：

 72×[490÷（72+68）]

　　=72×[490÷140]

　　=72×3.5=252（千米）

　　乙车：

490-252=238（千米）.

【分析2】根据两列火车所行驶的时间相等，列方程解.

【解法2】设甲车行了x千米，则乙车行驶的路程为490-x.

　　140x=72×490

　　x=252

　　乙车行程为：

490-252=238（千米）.

【分析3】因为“路程÷速度=时间”，时间一定，所以路程和时间成正比例，即甲乙两车的速度比恰是甲乙两车所行路程的比.由此可先求甲乙两车速度比，再按比例分配的方法分别求出甲乙两车各行的路程.

【解法3】甲乙两车所行路程的比？

　　72∶68=18∶17

　　甲车行了多少千米？

　　490×=490×=252（千米）

　　乙车行了多少千米？

　　490×=490×=238（千米）

　　综合算式：

甲车：

490×=252（千米）

　　乙车：

490×=238（千米）.

　　答：

相遇时，甲车行252千米，乙车行238千米.

【评注】解法1是通常解法，易于理解和掌握.解法3是按比例分配解法，思路巧妙，运算简便，是本题的最佳解法.

小升初数学试卷"路程问题"解析七

例7 甲、乙两列火车同时从相距630千米的两地相对行驶，6小时相遇.甲车每小时比乙车快5千米，问两车的速度各是多少？

（河南省夏邑县）

【分析1】先求甲乙两车的速度和，再用速度和加上5千米，就等于甲车2小时的行程，再除以2，即得甲车速度.用甲车速度减去5千米，即得乙车速度.

【解法1】甲乙两车的速度和是多少？

　　630÷6=105（千米）

　　甲车速度是多少？

　　（105+5）÷2=110÷2=55（千米）

　　乙车速度是多少？

　　55-5=50（千米）

　　综合算式：

甲车：

 （630÷6+5）÷2

　　=（105+5）÷2=110÷2=55（千米）

　　乙车：

55-5=50（千米）.

【分析2】假设乙车速度与甲车速度相同，那么相遇时，甲乙两车所行的路程和比两地实际距离多计算了5×6=30（千米）.再用630千米加上30千米的和除以6小时，即得甲车2小时的行程.由此可先求甲车速度；再求乙车速度.

【解法2】假设乙车与甲车速度相同，共多计算多少千米？

　　5×6=30（千米）

　　甲车2小时行多少千米？

　　（630+30）÷6=660÷6=110（千米）

　　甲车每小时行多少千米？

　　110÷2=55（千米）

　　乙车每小时行多少千米？

　　55-5=50（千米）

　　综合算式：

甲车：

（630+5×6）÷6÷2

　　=660÷6÷2=55（千米）

　　乙车：

55-5=50（千米）.

【分析3】假设甲车速度与乙车速度相同，那么两车所行路程的和比两地的实际距离要少5×6=30（千米）.用630千米与30千米的差除以6小时，即得乙车2小时的行程.由此可先求乙车速度，再求甲车的速度.

【解法3】假设甲车与乙车速度相同，共少计算多少千米？

　　5×6=30（千米）

　　乙车2小时行多少千米？

　　（630-30）÷6=600÷6=100（千米）

　　乙车每小时行多少千米？

　　100÷2=50（千米）

　　甲车每小时行多少千米？

　　50+5=55（千米）

　　综合算式：

乙车：

（630-5×6）÷6÷2

　　=600÷6÷2=50（千米）

　　甲车：

50+5=55（千米）.

【分析4】根据“速度和×相遇时间=两地距离”可列方程解.

【解法4】设乙车每小时行x千米，那么甲车每小时行（x+5）千米.

　　（x+5+x）×6=630

　　2x+5=630÷6

　　2x=630÷6-5

　　x=（630÷6-5）÷2

　　x=50

　　x+5=50+5=55

　　答：

甲车每小时行55千米，乙车每小时行50千米.

【评注】解法1是通常解法，易于理解和掌握.解法2和解法3是假设法，易于理解，运算简便，是较好的解法.解法4的方程解法还可设甲车速度为x，读者可试试.

小升初数学试卷"路程问题"解析八

例8 客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米.已知货车的速度是客车的，甲、乙两城相距多少千米？

（湖北省武汉市汉阳区）

【分析1】由题意可知，3小时内货车比客车少行30千米，由此可求出两车的速度差，再除以对应分率（1-），就可求出客车的速度，再求出乙车速度，最后根据“速度和×相遇时间=两地距离”求出甲、乙两城相距多少千米.

【解法1】货车每小时比客车少行多少？

　　30÷3=10（千米）

　　客车每小时行多少千米？

　　10÷（1-）=40（千米）

　　货车每小时行多少千米？

　　40-10=30（千米）

　　甲、乙两城相距多少千米？

　　（40+30）×3+30=240（千米）

　　综合算式：

 30÷3÷（1-）×（1+）×3+30

　　=30÷3÷××3+30

　　=40××3+30=240（千米）.

【分析2】因为“路程÷速度=时间”，而时间一定，所以两车行驶的路程和两车的速度成正比例，即货车和客车的速度比就是它们所行路程的比。

把转化为3∶4，即货车和客车的路程比.又知两车所行路程的差是30千米，由此可求出两城相距多少千米？

【解法2】 30÷（4-3）×（3+4）+30

　　=30÷1×7+30=240（千米）.

【分析3】根据“客车所行路程减去货车所行路程等于30千米”这一等量关系列方程，先求出两车的速度，再用速度和乘以相遇时间加上30千米，即得甲乙两城相距多少千米.

【解法3】设客车每小时行x千米.

　　3x-x×=30

　　（x-x）×3=30

　　x=10

　　x=40

　　两城距离：

（40÷+40×）×3+30=240（千米）.

　　答：

甲乙两城相距240千米.

【评注】解法1是基本解法，易于理解，但计算较繁.解法3和解法1的数量关系及思路是基本相同的.解法2的思路简捷，运算也简便，是本题的最佳解法.

小升初数学试卷"路程问题"解析九

例9 快车从甲城开往乙城，需要6小时.慢车从乙城开往甲城，每小时行42.5千米.两车同时开出2小时还相距132千米，快车每小时行多少千米？

（上海市黄浦区）

【分析1】快车行全程需6小时，它已行了2小时，再剩下的路程，快车再行4小时就行完全程.也就是说，慢车2小时行驶的路程与132千米的和，快车用4小时即可行完.由此可求出快车每小时行多少千米.

【解法1】慢车2小时行了多少千米？

　　42.5×2=85（千米）

　　快车4小时可行驶多少千米？

　　85+132=217（千米）

　　快车每小时行多少千米？

　　217÷（6-2）=54.25（千米）

　　综合算式：

 （42.5×2+132）÷（6-2）

　　=（85+132）÷4

　　=217÷4=54.25（千米）.

【分析2】因为快车行全程需要6小时，已行了2小时，而快车没行的路程是已行路程的（6-2）÷2=2（倍），由此可求出快车2小时行多少千米，再求每小时行多少千米.

【解法2】快车没行的路程有多少千米？

　　42.5×2+132=85+132=217（千米）

　　快车没行的路程是已行路程的几倍？

　　（6-2）÷2=2（倍）

　　快车已行了多少千米？

　　217÷2=108.5（千米）

　　快车每小时行多少千米？

　　108.5÷2=54.25（千米）

　　综合算式：

 （42.5×2+132）÷[（6-2）÷2]÷2

　　=（85+132）÷[4÷]÷2

　　=217÷2÷2=54.25（千米）.

【分析3】因为快车每小时行全程