第26章帕斯卡定理.docx
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第26章帕斯卡定理
第26章帕斯卡定理
帕斯卡（Pascal）定理设ABCDEF内接于圆（与顶点次序无关，即ABCDEF无需为凸六边形），直线AB
与DE交于点X，直线CD与FA交于点Z，直线EF与BC交于点Y，则X、Y、Z三点共线．①证法l设直线AB与EF交于点K，直线AB与CD交于点M．直线CD与EF交于点N．
对△KMN及截线XED、ZFA、YBC分别应用梅涅劳斯定理，
有KXMDNE1，
XMDNEK
MZ
NF
KA
，
ZN
FK
1
AM
NY
KB
MC
．
YK
BM
1
CN
将上述三式相乘，并运用圆幂定理，有MAMBMDMC，NDNCNENF．
KAKB
KEKF．
从而KX
MZ
NY
1，其中X、Y、Z分别在直线KM、NK、MN上．
XM
ZN
YK
对△KMN应用梅涅劳斯定理的逆定理，知
X、Y、Z三点共线．
Y
K
P3
P2
Q2
AK
X
D
T
E
F
L
X
M
Z
B
P2
P1
Q
N
E
B
Y
C
P
T
F
Q1
M
Q1C
DLN
Z
（1）
（2）
图261
证法2设过A、D、X的圆交直线AZ于点T，交直线CD于点L．
连接TL、FC，则DAT与DLT相补（或相等）．
又DAT与DCF相等，从而DLT与DCF相补或相等，即知CF∥LT．
飘理，TX∥FY，LX∥CY．
于是，△TLX与△FCY为位似图形．由于位似三角形三对对应顶点的连线共点（共点于位似中点），
这里，直线TF与LC交于点Z，则另一对对应的点X、Y的连线XY也应过点Z，故X，Y、Z三点
共线．
证法
3连
XZ、YZ，过
X
分别作
XP1
DC上于
P，作
1
XP2
AF
于P，作2
XP3
AD
于P，过Y分别3
作YQ1
DC
于Q1，作
YQ2
AF于Q2．则
sin
sin
XZP4XZP1
sin
sin
EDZsinADEsin
DAX
XAZ
XP2
/XZ
XP1
/XD
XP3
/XA
．
XP1
/XZ
XP3
/XD
XP2
1
/XA
同理，
sin
YZQIsinZCBsinCFY
．
sin
1
YZQ1sinYCFsinYFZ
注意到
EDZ
YFC，
ADE
YFZ，
DAX
ZCB
，XAZ
YCF．
所以sin
XZP2
sin
YZQ2，
sin
XZP1
sin
YZQ1
即sinXZAsinYZF，
sinXZDsinYZC
于是有XP1YQ1．
XP2YQ2
连PP
QQ
P
P
Q
、Y、
Q
2分别四点共圆，从而
△XPP∽△YQQ
1
2、
12，则Z、
1、X、
2
及Z、1
1
2
12，亦即
有
XZP2
YZQ2，故X、Z、Y三点共线．
证法
4如图262，连AC、CE、AE．在圆内接四边形
ACEF中，有
YEC与
ZAC相等；在圆内
接四边形ABCE中，有
YCE与
XAE相等或相补；在圆内接四边形
ACDE中，
ACZ与
AEX相补
或相补．故可以在△ACE的边CE上或其延长线上取一点
P，使
YPC
AEX，
YPE
ACZ．从
而△PYE∽△CZA，△CYP∽△AEX．
A
A
X
P
B
F
D
P
E
E
Z
C
D
B
QY
C
X
Y
Q
Z
F
（1）
（2）
图262
设
AEX
与
ACZ相交于另一点
Q，则AQX
AEX
CPY，
AQZ
ACZ
EPY．所以
AQX与
AQZ相等或相补．故
Z、Q、X三点共线．
又
EQC
AQECQA
AXE
CZAPYC
PYEEYC
于是，知C、Y、Q、E四点共圆．
所以，CQY
CEY
PEY
（或180
PEY
CAZ
180
CQZ
（或
CQZ）．从而Y、Q、Z
三点共线．
故X、Y、Z三点共线．
注：
此定理中，当内接于圆的六边形ABCDEF的六顶点改变其宇序，
两两取对边AB、DE、BC、EF、
CD、AF共有60种不同情形，相应有
60条帕斯卡
Pascal直线．六个取定的点，有
15条连线，相交
产生另外
45个点，这些点中每一点有
4条帕斯卡线．这些帕斯卡线，每
3条共点，产生
20个其他的
点，称为斯坦纳
Steiner点，每条线上一个，而且这些帕斯卡线，每
3条共点，还产生其他
60个点，
称为寇克曼Kirkman点，每3个在一条直线上．20个斯坦纳点在15条其他直线上，每条线上4个点．60
个寇克曼点在20条其他直线上，每条线上3个．①
当六边形中有两顶点重合，即对于内接于圆的五边形，亦有结论成立；圆内接五边形ABCDEF中A
（与B重合）处的切线与DE的交点X、BC与FE的交点Y、CD与AF的交点Z三点共线，如图263
（1）．
YF
Z
A
Z
E
（
）
E
YB（C）
F
A（B）
B（C）
E（F）
E（F）
Z
C（）
Y
CD
X
D
D
A
D
Z
（）
X
X
Y
AB
X
（4）
（1）
（2）
（3）
图263
当六边形变为四边形
ABCDEF或ABC
D
EF等时，如图26
3
（2）、（3），结论仍成立．
当六边形变为三角形
ABCDEF时，三组边
AB、CD、EF变为点，如图263
（4），
仍有结论成立．此时三点所共的线也称为莱莫恩
lemoine线（参见第
10章性质19）．
下面从四个方面看一些应用的例子．
1．指出在圆上的六点应用帕斯卡定理
例1如图264，过△ABC的顶点A、B、C各作一直线使之交于一点
P而交外接圆于
A、B、C．又
在外接圆上任取一点
Q，则QA、QB、QC与BC、CA、AB对应的交点X、Z、Y三点共线．
证明在圆内接六边形
BCAAQB中，其三双对边
BC与AQ、CA与QB、AA与BB的交点分别为
X、
Z、P，由帕斯卡定理知P、X、Z三点共线．
A
C'
B'
Y
PQ
B
X
A'
L
图264
在圆内接六边形CBAAQC中，其三双对边CB与AQ、BA与QC、AA与CC的交点务别为X、Y、
P，由帕斯卡定理知Y、P、X三点共线．
故X、Z、Y三点共线．
例2（IMO48预选题）已知△ABC为确定的三角形，A1，B1，C1分别为边BC、CA、AB的中点．P
①单墫译．[美]RA约翰逊．近代欧式几何学M]．上海：
上海教育出版社，2000；208．
为△ABC外接圆上的动点，
PA1、PB1、PC1分别与△ABC的外接圆交于另外的点
A、B、C．若A、
B、C、A、B、C是不同的点，则直线AA、BB、CC交出一个三角形．证明：
这个三角形的面
积不依赖于点
P．
证明如图26
5，设A0、B0
、C0是直线AA、BB、CC交出的三角形的三个顶点．
P
C
B1
A1
D0
B0
A'
AC1B
C''
B'
图26-5
下面，我们证明有
S△A0B0C0
1S△ABC，这便可说明△A0B0C0的面积不依赖于点P的选取．
2
注意到图中的圆内接六边形
ABCCPA，由帕斯卡定理，知三双对边AB与CP、BC与PA、CC与AA
的交点C
A
B
B
0在
△ABC
的中位线
AC
上．
1、
1、
0三点共线，即知点
11
类似地，可证点
A0
、C0分别在直线B1C1
、A1B1上．
由AC∥C1A1，得△B0C0A1∽△AC0B1，有B0C0
A1C0．
AC0
B1C0
同理，由BC∥C1B1，有A1C0
BC0．
B1C0
A0C0
从而
B0C0
BC0
，于是B0B∥AA0．故S△ABC
S△ABC
1
AC0
A0C0
0
S△ABC．
0
0
0
2
2．作出一些点构成圆上六点应用帕斯卡定理
例3（2004年国家队培训题）设与
△ABC的外接圆内切并与边
AB、AC相切的圆为Ca，记ra为圆Ca
的半径，类似地定义
rb、rc，r是△ABC的内切圆半径，证明：
rarbrc≥4r．
证明如图26
6
，设圆Ca与AB、AC、△ABC的外接圆分别切于点
D、E、F，设M、N分别为AB、
AC中点，I
为
△ABC的内心．
A
MN
I
DE
BC
CaOa
F
图26-6
这时，F为圆Ca与ABC的位似中心，且过M的切线平行于BA，因而M、D为一双对应点，于是F、
D、M三点共线．（也可设直线FD交
ABC于M，则证得M为BA的中点．）
同理，F、E、N三点共线．
而BN、CM分别为
ABC、
BCA的平分线，则知其交点为
I．
注意到圆内接六边形
ABNFMC，由帕斯卡定理知
D、I、E三点共线．
记圆Ca的圆心为Oa
，由DE
AI，
有ra
AOa
AOa
AD
1
A．
r
AI
AD
AI
cos
2
2
同理，
rb
1
rc
1
r
2
B，r
2C．
cos
cos
2
2
1
B
C
A
1
tan
tan
由tan
2
2
2
B
C
B
C
tan
2
tan
tan
2
2
有tanA
tanB
tanB
tanC
tanCtanA
1．
2
2
2
2
2
2
因此
ra
rb
rc
1
1
1
r
r
r
2
A
2
B
2C
cos
2
cos
cos
2
2
3
tan2
A
tan2B
tan2C
2
2
2
3
tan
A
tanB
tanB
tanC
tanC
tanA
2
2
2
2
2
2
1
A
2
B
2
C
A
2
tan
B
C
≥4
．
2
2
tan
tan
tan
tan
tan
2
2
2
2
2
故ra
rb
rc≥4r．
例4（2007年国家集训队测试题）凸四边形
ABCD内接于圆
，与边BC相交的一个圆与圆
内切，
且分别与BD、AC相切于点P，Q．求证：
△ABC的内心与
△DBC的内心皆在直线
PQ上．
证明如图26
7，设圆
的圆心为O，与BC相交且与
相内切的圆的圆心为
O1，切点为T，显然O、
O1、T三点共线．设DB与CA交于点H，直线PQ交CD于R，直线TR交
O于F，CT交O1于M，
直线TP交
O于E．
A
D
E
Γ
H
O
N
F
IR
BC
T
图26-7
这时，存在一个以点
T为位似中心的位似变换使得
O1变为
O，因此
M
C，
N
D，
P
E，
直线
BD变为过点
E且平行于
BD的
O的切线，所以
E为BD
的中点．
由TM=TC，
TNTD
有DP
2
DN
DT
DT
2
2
2
，
CQ
CM
CT
CT
即DPDT．①CQCT
又△CDH及截线RQP应用梅涅劳斯定理，
有CRDPHQ1，
RDPHQC
即CRCQ．②RDDP
又CRS△CFTCFCT．
RDS△DFT
DFDT
又①、②、③知
CF
1，即知F是弧CD的中点．
DF
显然，△BCD的内心I为CE与BF的交点．注意到圆内接六边形
ETFBDC，由帕斯卡定理，知P、I、
R三点共线．所以
△BDC的内心I在PQ上．
同理，△ABC的内心I也在PQ上．
3．证明六点共圆应用帕斯卡定理
例5（2005年国家集训队测试题）如图
268，点P在△ABC内部，点P在边BC、CA、AB上的射
影分别为D、E、F，过点A分别作直线BP、CP的蚕线，垂足分别为
M、
N．求证：
ME、NF、
BC三线共点．
A
M
N
F
E
P
B
D
Q
C
图26-8
证明由题设，有
AEPAFP
AMP
ANP
90，
从而，A、N、F、P、E、M六点都在以AP为直径的圆上．于是，对于圆内接六边形
AFNPME，
它的三组对边
AF与PM、FN与ME、NP与EA的交点分别为B、Q、C，由帕斯卡定理，知B、Q、
C三点共线，从而点Q在BC上．
故ME、NF、BC三线共点．
例6（2002年澳大利亚国家数学竞赛题）已知
△ABC为锐角三角形，以AB为直径的
K分别交AC、
BC于点P、Q．分别过A和Q作
K的两条切线交于点
R，分别过B和P作K的两条切线交于点
S．证明：
点C在线段RS上．
证明如图269，设RQ与PS、AC与RK、BC与KS分别交于W、Y、N，连接PK、WK、QK、WN、WY、BP．则
R
C
WS
Y
PN
Q
AB
K
图26-9
YKW
YKQ
WKQ
1
PKQ
1
Y、
AKQ
AKPABP180APSYPW，由此知
2
2
P、K、W四点共圆．
又PS是
K的切线，于是
KYW
WPK
90．
同理，
KNW
KQW
90．
因此，P、Y、N、Q在以KW为直径的圆上，即W、Y、P、K、Q、N六点共圆．在这个圆内接六边形中，应用帕斯卡定理，三双对边KP与QW、PY与QN、PW与KN的交点R、C、S共线．故
点C在线段RS上．
4．注意特殊情形时帕斯卡定理的应用
例7（2005年第18届韩国数学奥林匹克题）在Rt△ABC中，A90，BC．O是△ABC的外
接圆的圆心，lA、lB是O的两条切线，切点分别为A、B．设SBC∩lA，DAC∩lB，
EAB∩DS，TCE∩lA，又设P是lA上的点，且使得EPlA，Q（QC）是CP与O的交点，
R是QT与
O的交点，令UBR∩lA．
证明SUSP
2
SA2．
TUTP
TA
证明如图26
10，设BA的延长线与过点
C的
O的切线交于点E，对△ABC应用帕斯卡定理，知S、
D、E三点共线，从
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