浙教版七年级数学基础知识总结.docx

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浙教版七年级数学基础知识总结

七年级上

第一章从自然数到有理数

1.1从自然数到分数

1.2有理数

1）正数和负数的定义：

是归纳的定义；

把一种意义的量规定为正，用过去学过的数（零除外）表示，这样的数叫做正数（positivenumver）。

另一种意义与之相反的量规定为负，用过去学过的数（零除外）前面放上负号“-”表示，这样的数叫做负数（negativenumber）。

2）零既不是正数，也不是负数。

正整数、零和负整数统称整数（integer）；正分数、负分数统称分数（fraction）;

整数和分数统称有理数（rationalnumber）。

自然数

正整数

整数

零

有理数

负整数

正分数

分数

负分数

1.3数轴

1）数轴：

规定了原点（origin）、单位长度（unitlength）和正方向（positivedirection）的直线叫做数轴（numberline）。

2）相反数：

如果两个数只有符号不同，称其中一个数为另一个数的相反数（oppositenumber），也称这两个数互为相反数。

3）零的相反数为零。

4）相反数的性质：

在数轴上，表示互为相反数（零除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

1.4绝对值

1）定义：

一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值（absolutevalue）。

2）性质：

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，互为相反数的两个数的绝对值相等。

1.5有理数的大小比较

1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

2）两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

第二章有理数的运算

2.1有理数的加法

1）加法法则：

同号两数相加，取与加数相同的等号民，并把绝对值相加。

异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数。

2）加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

a+b=b+a

3）加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

（a+b）+c=a+（b+c）

更一般地，任意若干个数相加，无论各数相加的先后次序如何，其和都不变。

2.2有理数的减法

1）减去一个数，等于加上这个数的相反数。

2.3有理数的乘法

1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与零相乘，积为零。

有多个不为零的有理数相乘时，可以先确定积的符号，再将绝对值相乘。

若其中一个乘数为则积为零。

2）若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。

3）乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

axb=bxa

4）乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数个税，积不变。

（axb）xc=ax（bxc）

5）分配律：

一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。

ax（b+c）=axb+axc

2.4有理数的除法

1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数相得零。

2）除以一个数（不等于零），等于乘以这个数的倒数。

2.5有理数的乘方

1）求几个相同因数的积的运算叫做乘方（involution），乘方的结果叫做幂（power）。

在an中，a叫做底数（base），n叫做指数（exponent）,an读做“a的n次方”或“a的n次幂”。

2）对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除，如果遇到括号，就先进行括号里的运算。

2.6有理数的混合运算

1）先算乘方，再算乘除，最后算加减，如有括号，先进行括号里的运算。

2.7准确数和近似数

1）与实际完全符合的数称为准确数（acuratenumber）；与实际接近的数称为近似数（approximatenumber）。

2）由四舍五入得到的近似数，从左边一个不是零的数字起，到末位数字为止的所有数字，都叫做这个数的有效数字（significantfigure）。

2.8计算器的使用

第三章实数

3.1平方根

1）一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（squareroot），也叫做a的二次方根。

2）一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

3）一个正数a的平方根用

表示（读做“正负根号a”），其中a叫做被开方数。

4）求一个数的平方根的运算叫做开平方。

3.2实数

1）无限不循环小数叫做无理数（irrationalnumber）。

有理数和无理数统称实数（realnumber）。

正有理数

有理数

零

实数

负有理数

正无理数

自然数

无理数

负无理数

2）在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数；实数和数轴上的点一一对应。

3）在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。

3.3立方根

1）一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根（cuberoot），也叫做a的三次方根，记做

。

其中a是被开方数，3是根指数。

2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

3）一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

3.4用计算器进行数的开方

3.5实数的运算

1）实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。

如果遇到括号，则先进行括号里的运算。

第四章代数式

4.1用字母表示数

4.2代数式

1）含有字母的数学表达式称为代数式（algebraicexpression）。

一个代数式由数、表示数的字母和运算符号组成。

单独的一个数或者一个字母也称代数式。

4.3代数式的值

1）一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

2）数学中的符号一般有以下几种：

a）数量符号：

如1.42，

，a;

b）运算符号：

如+，-，÷，×，：

，√

c）关系符号：

如=，<，>，//，⊥，≈，≠

d）结合符号：

如（），【】

e）性质符号：

如+，-，||；（正，负，绝对值）

f）省略符号：

如∆，∵，∴

4.4整式

1）由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式（monomial）。

单独一个数或一个字母也叫单项式。

2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（coefficient）。

3）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数（degree）。

4）由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式（polynomial）。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项（term），不含字母的项叫做常数项（constantterm），次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。

5）单项式、多项式统称为整式。

4.5合并同类项

1）多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项（liketerm）。

所有常数项也看做同类项。

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项（combiningliketerms）。

2）合并同类项的法则：

把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

4.6整式的加减

1）代数式运算的去括号法则：

括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变号；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里的各项都改变符号。

第五章一元一次方程

5.1一元一次方程

1）方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次，这样的方程就叫一元一次方程（linearequationinoneunknown）。

2）使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解（solution）。

5.2一元一次方程的解法

1）一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这种变形叫做移项（transpositionofterms）。

移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。

2）一般地，解一元一次方程的基本程序是：

去分母→去括号→移项→合并同类项→两边同除以未知数的系数

5.3一元一次议程的应用

1）运用方程解决实际问题的一般过程是：

1.审题：

分析题意，找出题中的数量及其关系；

2.设元：

选择一个适当的未知数用字母表示（如x）;

3.列方程：

根据相等关系列出方程；

4.解方程：

求出未知数的值；

5.检验：

检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。

5.4问题解决的基本步骤

1）理解问题：

审题

2）制订计划：

设元，列方程

3）执行计划：

解方程

4）回顾：

检验

第六章数据与图表

6.1数据的收集与整理

1）将数据分类，排序是整理数据的常用方法。

6.2统计表

1）数据经整理后进一步使之表格化，便形成统计表（statisticaltable）,统计表主要由标题（统计表的名称）、标目和数据三部分组成。

统计表中一般应注明数据的单位和制表日期等。

6.3条形统计图和拆线统计图

1）条形统计图（bargraph）一般由两条互相垂直的数轴和若干长方形组成，两条数轴分别表示两个不同的标目，长方形的高表示其中一个标上的数据。

2）拆线统计图（linegraph）在反映数据变化的走向，以及同时反映若干组不同类别数据之间的相互关系方面尤为见长。

6.4扇形统计图

1）扇形统计图（piechart）是用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图，特点是能直观地、生动地反映各部分在总体中所占的比例。

第七章图形的初步知识

7.1几何图形

1）点、线、面、体这些基本图形都称为几何图形（geometricfigure）.

2）各个部分不在同一个平面内的图形称为立体图形（solidfigure）.各个部分都在同一个平面内的图形称为平面图形（planefigure）.

7.2线段、射线和直线

1）已学过线段（segment）、射线（ray）、直线（straightline）。

2）直线基本性质：

经过两点有且只有一条直线。

7.3线段的长短比较

1）线段的性质：

在所有连接两点的线中，线段最短。

简单地说，两点之间线段最短。

2）连线两点的线段的长度叫做这两点之间的距离（distance）.

7.4角与角的度量

1）角（angle）是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做这个角的顶点（vertex）。

度、分、秒是角的基本度量单位。

7.5角的大小比较

7.6余角和补角

1）如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是别一个角的余角（complementaryangle）.

2）如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角（supplementaryangle）.

3）同角或等角的余角相等。

同角或等角的补角相等。

7.7相交线

1）如果两条直线只有一个公共占，就说这两条直线相交（intersection）。

该公共点叫做这两条直线的交点（intersectionpoint）。

两条直线相交，其中相对的任何一对角，叫做对顶角（oppositeangle）.

2）对顶角的顶点相同，角的两边互为反向延长线。

任意两个对顶角，由于它们的补角相同，所以它们是相等的。

3）对顶角的性质：

对顶角相等。

4）当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们就说这两条直线互相垂直（perpendicular）,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点垂足（perpendicularfoot）。

5）一般地，在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线。

6）一般地，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

7）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

7.8平等线

1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（parallellines）。

平行用符号“//”表示。

2）一般地，经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线。

七年级下

第一章三角形的初步知识

1.1认识三角形

1）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形（triangle）。

用符号“∆”表示。

2）由两点之间线段最短，得到如下性质：

三角形任何两边的和大于第三边。

3）三角形的三个内角的和等于180o

锐角三角形（acutetriangle）三个内角都是锐角

4）三角形可以按内角的大小进行分类：

直角三角形（righttriangle）有一个内角是直角

三角形

钝角三角形（obtusetriangle）有一个内角是钝角

5）由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角（exteriorangle）。

6）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

1.2三角形的角平分线和中线

1）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

2）在三角形中，连续一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）。

1.3三角形的高

1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（height）。

1.4全等三角形

1）能够重合的两个图形称为全等图形（congruentfigures）。

2）能够重合的两个三角形叫做全等三角形（congruenttriangles）。

3）两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。

4）全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

1.5三角形全等的条件

1）三边对应相等的两个三角形全等（简写为“边边边”或“SSS”）。

2）有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。

3）垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

4）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

5）有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。

6）有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角“或”AAS“）。

7）角平分线上的点到角两边的距离相等。

1.6作三角形

1）在几何作图中，把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图（rulerandcompassconstruction）。

第二章图形和变换

2.1轴对称图形

1）如果把一个图形沿着一条直线折起来，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形（axialsymmetricfigure），这条直线叫做对称轴（axisofsymmetry）。

2）一般地，轴对称图形有如下性质:

对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段。

2.2轴对称变换

1）由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换，也叫反射变换，简称反射，经变换所得的新图形叫做原图形的像（image）。

2）一般地，轴对称变换有下面的性质：

轴对称变换不改变原图形的形状和大小。

2.3平移变换

1）由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向运动，且运动相等的距离，这样的图形改变叫做图形的平移变换，简称平移（translation）。

2）一般地，图形的平移变换有下面的性质：

平衡变换不改变图形的形状、大小和方向。

连结对应点的线段平行（或在同一条直线上）而且相等。

2.4旋转变换

1）由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋转（rotation），这个固定的点叫做旋转中心（centreofrotation）。

2）一般地，图形的旋转变换有下面的性质：

旋转变换不改变图形的形状和大小。

对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。

2.5相似变换

1）由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中保持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫做图形的相似变换（similaritytransformation）.图形的放大（enlargement）和缩小（reduction）都是相似变换。

原图形和经过相似变换的得到的像，称它们为相似图形（similarfigures）。

2）一般地，图形的变换有下面的性质：

图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数。

2.6图形变换的简单应用

第三章事件的可能性

3.1认识事件的可能性

1）在数学中，我们把在一定条件下必然会发生的事件叫做必然事件（certainevent）;在一定条件下必然不会发生的事件叫做不可能事件（impossibleevent）;在一定下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件（uncertainevent）或随机事件。

3.2可能性的大小

3.3可能性和概率

1）在数学中，我们把的可能性的大小也称为事件发生的概率（probability），一般用P表示。

事件A发生的概率也记为P（A）。

2）如果事件发生的可能性相同，并且知道所有事件可能发生的总数与事件A发生的的结果总数，那么就可用以下式子表示事件A发生的概率：

P（A）=事

/所有事件可能发生的结果总数。

第四章二元一次方程组

4.1二元一次方程

1）含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程（linearequationintwounknowns）。

4.2二元一次方程组

1）由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组（linearsystemintwounknowns）。

4.3解二元一次方程组

1）代入法：

把二元一次方程组化为一元一次方程，消元的方法是“代入”，这种解方程组的方法称为代入消元法（substitutionmethod）。

2）用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：

1．将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；

2.用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；

3把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；

4.写出方程组的解。

3）通过将方程组中的两个方程相加或相减，消去其中的一个未知数，转化为一元一次方程。

这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法（eliminationmethod）。

4）用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：

1.将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）;

2.通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；

3.解这个一元一次议程，得到这个未知数的值；

4.将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；

5.写出方程组的解。

4.4二元一次方程组的应用

第五章整式的乘除

5.1同底数幂的乘法

1）同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：

am··an=am+n（m,n都是正整数）；

2）幂的乘方法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：

（am）n=amn;（m,n都是正整数）；

3）积的乘方法则：

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即：

（ab）n=anbn;（n为正整数）；

5.2单项式的乘法

1）一般地，单项式与单项式相乘有以下的法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2）一般地，单项式与多项式相乘有以下的法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

5.3多项式的乘法

1）一般地，多项式与多项式相乘有以下的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即：

（a+n）（b+m）=ab+am+nb+mn

5.4乘法公式

1）平方差公式：

两数和的与这两数差的积等于这两数的平方差，即：

（a+b）（a-b）=a2-b2。

2）两数和的完全平方公式：

两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍，即：

（a+b）2=a2+2ab+b2；

3）两数差的完全平方公式：

两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍，即：

（a-b）2=a2-2ab+b2；

这两个公式统称完全平方公式。

平方差公式与完全平方公式也称乘法公式。

5.5整式的化简

1）整式的化简应遵循先乘方，再乘除，最后再加减的顺序，能运用乘法公式的则运用公式。

5.6同底数幂的除法

1）一般地，同底数幂相除的法则是：

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即：

am÷an=am-n（a≠0,m,n都是正整数，且m>n）。

2）我们规定：

任何不等于零的整数的零次幂都等于1，即：

a0=1（a≠0）.

任何不等于零的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数。

即：

a-p=1/ap（a≠0,p是正整数）。

5.7整式的除法

1）单项式除以单项式的法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

2）多项式除以单项式法则：

多项式除以单项式，先马这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

即：

（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m（m≠0）。

第六章因式分解

6.1因式分解

1）一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（factorization）,有时也把这一过程叫做分解因式。

显然，因式分解和整式乘法具有互逆的关系。

6.2提取公因式

1）一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。

这种分解因式的方法，叫做提取公因式。

应提取的多项式各项的公因式就是各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。

2）一般地，添括号的法则如下：

括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。

6.3用乘法公式分解因式

1）根据平方差公式可得：

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

即：

a2-b2=（a+b）（a-b）；

2）根据完全平方公式可得：

两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方。

即：

a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2

6.4因式分解的简单应用

1）若A*B=0，则A和B同时都为零，即A=0且B=0，或A和B中至少有一个为零，即a=0或B=0；

第七章分式

7.1分式

1）代数式表示两个整式相除，且除式中含有字母，这样的代数式叫做分式（algebraicfraction）.

2）分式中字母的聚会不能使分母为零，当分母的值为零时，分式就没有意义。

3）分式的分子与分母都乘以（或除以