解排列组合应用题的解法技巧Word格式.docx

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种可能的结果。

解法2：

用分步记数的原理。

第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。

例2：

同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）

（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种

解：

设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。

第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；

第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：

（1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，

（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。

根据加法原理和乘法原理，一共有

种分配方式。

二.特殊元素（位置）优先----（优待法）

所谓“优待法”是指在解决排列组合问题时，对于有限制条件的元素（或位置）要优先考虑．

例3：

从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？

个位选0，有

个，个位不选0且万位不能选0，有

个，所以一共可以得到

个偶数。

注0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。

例4：

8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？

解：

先排甲，有

种排法。

再排乙，有

种排法，再排其余的人，又有

种排法，所以一共有

【eg】在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有（）个．

（解法一）　元素优先数字0、1、2、3、4、5中含有0元素，组成四位数时，0不能放在首位．又所求四位数不能被5整除，因而可以根据是否含有0和5两个元素将所求四位数分成四类：

第一类：

含0不含5的四位数，共有

=48（个）；

第二类：

含5不含0的四位数，共有

=72（个）；

第三类：

含0也含5的四位数，共有

＝48（个）；

第四类：

不合0也不含5的四位数，共有

＝24（个）．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192（个）.

（解法二）　位置优待根据所求四位数对首末两个位置的特殊要求可以分步解答：

第一步：

排个位——个位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中任选一个，共有

种选法；

第二步；

排首位——首位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字被个位选掉后剩余的三个数字及数字5中任选一个，共有

第三步：

排中间两位，中间两柱可以从个位和首位排好后剩余的数字四个数字中任选两个，共有

种排法．所以符合条件的四位数共有

=4×

4×

3=192（个）．

〔注〕这道例题是典型的限制排列组合题．解题时，若从元素入手（即元素优先），常要分类讨论，分类时要注意堵漏防重；

若从位置入手（即位置优待1，常要分步解答，分步时要注意分步完整，各步相连．

三.捆绑法

在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．

例5：

8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？

把甲、乙、丙先排好，有

种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有

=1440种排法。

〔注〕运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题．

四.插空法

不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法．

例6：

排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？

先排5个不是小品的节目，有

种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙，将3个小品插入进去，有

=7200种排法。

注：

捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题

【eg】用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。

这样的八位数共有（）个．（用数字作答）

解：

由于要求1与2相邻，2与4相邻，可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素，这个大元素的内部中间只能排2，两边排1和4，因此大元素内部共有

种排法，再把5与6也捆绑成一个大元素，其内部也有

种排法，与数字3共计三个元素，先将这三个元素排好，共有

种排法，再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字7和8插入即可，共有

种插法，所以符合条件的八位数共有

＝288（种）．

〔注〕运用插空法解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置．

五.正难则反——排除法

对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．

例7；

求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。

从8个点中取4个点，共有

种方法，其中取出的4个点共面的有

种，所以符合条件的四面体的个数为

个。

例8：

100件产品中有3件是次品，其余都是正品。

现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？

从100件产品中取5件产品，有

种取法，从不含次品的95件中取出5件产品有

种取法，所以符合题意的取法有

种。

例9：

8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？

无限制条件有

A与B或A与C在一起各有

种排法，A、B、C三人站在一起且A在中间有

+

=21600种排法。

【eg】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种．

A．140种B．80种

C．70种D．35种

　解：

在被取出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符合题意的抽取方法有

=70（种），故选C．

应该指出的是，上述介绍的各种方法并非绝对的。

同一问题有时会有多种解法，这时，要认真思考和分析，灵活选择最佳方法．

〔注〕这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题

六.机会均等法

例10：

10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？

甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中各种排列顺序在10个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为

。

例11：

用1，4，5，

四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求

若

不为0，在每一个数位上1，4，5，

，出现的机会是均等的。

由于一共可以得到24个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现6次，于是得到：

，解得

若

为0，无解。

七.转化法

例12：

一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？

10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。

显然，必须有2步中每步走2级，6步中每步走一级。

记每次走1级台阶为A，记每次走2级台阶为B，则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B。

其余的填写A，这是一个组合问题，所以一共有

种走法。

例13：

动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？

动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14，把动点运动1个单位看成是1步，则动点走了14步，于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8个“右”，这也是一个组合的问题，于是得到一共有

八.隔板法

例14：

20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？

将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（两个隔板可以插在同一空隙中），规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别分给3个人，则每一种隔法对应了一种分法，每一种分法对应了一种隔法，于是分法的总数为

种方法。

本题可转化成求方程

的非负整数解的个数。

【eg】10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？

　　解：

这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格（构成5个盒子）有C94种方法。

　　注：

档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。

【eg】10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？

每人至少两个呢？

（答：

36；

15）；

分析：

显然，直接讨论分配方案复杂而又易错，采用隔板模型法，能化繁为简：

取10枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的9个空隙中选取2个空隙，分别插入1个隔板（共两个隔板），讲10枚棋子分割成3部分，因此名额分配方案的种数与隔板插入的组合数相等为

如果没人至少两个，可以这样理解：

先每人发一本，然后剩下7本每人至少1本按上面的方法有

（二）排列、组合、解题技巧

排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，本文介绍十二类典型排列组合题的解答策略．

1．相邻问题并组法2．相离问题插空法3．定序问题缩倍法

4．标号排位问题分步法5．有序分配问题逐分法6．多元问题分类法

7．交叉问题集合法8．定位问题优先法9．多排问题单排法

10．“至少”问题间接法11．选排问题先取后排法12．部分合条件问题排除法

13、均匀分配问题-均分法

1．相邻问题并组法

题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列．

【例1】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有

A．60种B．48种C．36种D．24种

分析把A、B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4

2．相离问题插空法

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．

【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是

A．1440B．3600C．4820D．4800

3．定序问题缩倍法

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．

【例3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边（A、B可不相邻），那么不同的排法种数有

A．24种B．60种C．90种D．120种

分析B在A右边与B在A左边排法数相同，所以题设的排法只是

4．标号排位问题分步法

把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．

【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有

A．6种B．9种C．11种D．23种

分析先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；

第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×

3×

1＝9种填法，故选B．

5．有序分配问题逐分法

有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．

【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有

A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种

分析先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1个承担两项任务，不同

6．多元问题分类法

元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．

【例6】由数字0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有

A．210个B．300个C．464个D．600个

分析按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，

【例7】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

分析被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被7整除的数的集合记作A，则A＝｛7，14，…98｝共有14个元素，不能被7整除

【例8】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少？

分析将Ⅰ＝｛1，2，…，100｝分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A＝｛4，8，…，100｝；

被4除余1的数集B＝｛1，5，…，97｝；

被4除余2的数集为C＝｛2，6，…98｝；

被4除余3的数集为D＝｛3，7，…99｝，易见这四个集合，每一个都含25个元素；

从A中任取两个数符合要求；

从B、D中各取一个数的取法也符合要求；

从C中任取两个数的取法同样符合要求；

此外其它取法都

7．交叉问题集合法

某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n（A∪B）＝n（A）＋n（B）－n（A∩B）

【例9】从6名运动员中选出4个参加4×

100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？

分析设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

8．定位问题优先法

某个（或几个）元素要排在指定位置，可先排这个（几个）元素，再排其他元素．

【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种．

【eg】书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不变，再放上2本不同的书，有种不同的放法

法一：

分两部完成，第一步，固定3本不同的书前后顺序进行排列，设其排列数为N，第二步，再对三本书进行内部排列，有

种不同的方法，由分布计数原理，

，所以

种不同的方法。

法二：

可理解为从5个位置中选2个进行排列

，三本书放剩余位置。

9．多排问题单排法

把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．

【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是

A．36B．120C．720D．1440．

分析前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素

【例12】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素要排在后排，有多少种排法？

（高中代数甲种本第三册P82，23②）．

10．“至多”、“至少”问题间接法

关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．

【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有

A．140种B．80种C．70种D．35种

分析逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取

如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种（答：

596）

提醒：

亦可分类来求.

11．选排问题先取后排法

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．

【例14】四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种

【例15】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？

如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_____（答：

576）。

12．部分合条件问题排除法

在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．

【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有

A．70个B．64个C．58个D．52个

面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所

【例17】正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．

【例17】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：

（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；

（2）分为三份，每份2本；

（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；

（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；

（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本

（1）根据分步计数原理得到：

种；

（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有

种方法，这个过程可以分两步完成：

第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；

第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有

种方法．根据分步计数原理可得：

．因此，分为三份，每份两本一共有15种方法．

点评：

本题是分组中的“均匀分组”问题．

一般地：

将

个不同元素均匀分成

组（每组

个元素），共有

种方法．

（3）这是“不均匀分组”问题，一共有

（4）在（3）的基础上再全排列，一共有

（5）可以分为三类情况：

①“2、2、2型”即

（1）中的分配情况，有

种方法；

②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有

③“1、1、4型”，有

所以，一共有90+360+90＝540种方法．

本题第（3）种类型为部分均匀分组再分配，其分组总数为

．

思考

（1）：

8名球员住A、B、C三个房间，每个房间最多住3人，有多少种住宿方法？

思考

（2）：

六本相同的书发给甲、乙、丙三人，要求全部分完，不管三人是否均分到书．问有多少种不同的分法？

用档板法处理，○|○○|○○○，结果为

〖类题〗求不定方程

的非负整数解的个数？

练习：

（1）四本不同的书，分给三个人，每人至少一本，全部分完，有几种分法？

先分组，再分配有

种．

（2）

本不同的书，分给

个人，每人至少1本，全部分完，有几种分法？

（3）

本相同的书，分给

共

种分法．

（4）10个相同的小球放入编号为1、2、3的盒子中，球数不少于编号数的放法有多少种？

按要求放6个，其余4个按上题的方法放有

【eg】．3名飞行员和6名特勤人员分别上3架不同型号的直升飞机执行任务,每机11中飞行员和两名特勤人员，有多少种分配方法？

先分组，再分配，

类题：

20名同学分两组，每组10人去某地社会实践，其中6名干部，每组3人，不同分法总数是多少？