（三）温馨提示
1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：
（1）B＝0；
（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.
2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
（2）圆心在任一弦的中垂线上．
（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3、中点坐标公式：
已知平面直角坐标系中的两点A（x1，y1），B（x2，y2），点M（x，y）是线段AB的中点，则x＝
，y＝
.
二、典例归纳
考点一：
有关圆的标准方程的求法
【例1】圆的圆心是，半径是.
【例2】点（1,1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4内，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－1,1）B．（0,1）
C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）D．（1，＋∞）
【例3】圆心在y轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程为（ ）
A．x2＋（y－2）2＝1B．x2＋（y＋2）2＝1
C．（x－1）2＋（y－3）2＝1D．x2＋（y－3）2＝1
【例4】圆（x＋2）2＋y2＝5关于原点P（0,0）对称的圆的方程为（ ）
A．（x－2）2＋y2＝5 B．x2＋（y－2）2＝5
C．（x＋2）2＋（y＋2）2＝5D．x2＋（y＋2）2＝5
【变式1】已知圆的方程为
，则圆心坐标为
【变式2】已知圆C与圆
关于直线
对称，则圆C的方程为
【变式3】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．（x－3）2＋
2＝1B．（x－2）2＋（y－1）2＝1
C．（x－1）2＋（y－3）2＝1D.
2＋（y－1）2＝1
【变式4】已知
的顶点坐标分别是
，
，
，求
外接圆的方程.
方法总结：
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r的方程组．
2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
考点二、有关圆的一般方程的求法
【例1】若方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆，则
的取值范围是（ ）
A.
＜m＜1 B．m＜
或m＞1C．m＜
D．m＞1
【例2】将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是（ ）
A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0
【例3】圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋
y－3＝0的距离为________．
【变式1】已知点
是圆
上任意一点，P点关于直线
的对称点也在圆C上，则实数
=
【变式2】已知一个圆经过点
、
，且圆心在
上，求圆的方程.
【变式3】平面直角坐标系中有
四点，这四点能否在同一个圆上？
为什么？
【变式4】如果三角形三个顶点分别是O（0,0），A（0,15），B（－8,0），则它的内切圆方程为________________．
方法总结：
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D，E，F的方程组．
2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化
考点三、与圆有关的轨迹问题
【例1】动点P到点A（8,0）的距离是到点B（2,0）的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．（x－1）2＋y2＝16D．x2＋（y－1）2＝16
【例2】方程
表示的曲线是（）
A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆
【例3】在
中，若点
的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是（）
A.
B.
C.
D.
【例4】已知一曲线是与两个定点O（0,0），A（3,0）距离的比为
的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．
【变式1】方程
所表示的曲线是（）
A.一个圆B.两个圆C.一个半圆D.两个半圆
【变式2】动点P到点A（8,0）的距离是到点B（2,0）的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．（x－1）2＋y2＝16D．x2＋（y－1）2＝16
【变式3】如右图，过点M（－6,0）作圆C：
x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹．
【变式4】如图，已知点A（－1,0）与点B（1,0），C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．
方法总结：
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
（1）直接法：
根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．
（2）定义法：
根据直线、圆等定义列方程．
（3）几何法：
利用圆与圆的几何性质列方程．
（4）代入法：
找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
考点四：
与圆有关的最值问题
【例1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________
【例2】已知x，y满足x2＋y2＝1，则
的最小值为________．
【例3】已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆（x＋1）2＋（y＋1）2＝1上的动点，则|MN|的最小值是（ ）
A.
B．1C.
D.
【例4】已知实数x，y满足（x－2）2＋（y＋1）2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．
【变式1】P（x，y）在圆C：
（x－1）2＋（y－1）2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________．
【变式2】由直线y＝x＋2上的点P向圆C：
（x－4）2＋（y＋2）2＝1引切线PT（T为切点），当|PT|最小时，点P的坐标是（ ）
A．（－1,1）B．（0,2）C．（－2,0）D．（1,3）
【变式3】已知两点A（－2,0），B（0,2），点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．
【变式4】已知圆M过两点C（1，－1），D（－1,1），且圆心M在x＋y－2＝0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
方法总结：
解决与圆有关的最值问题的常用方法
（1）形如u＝
的最值问题，可转化为定点（a，b）与圆上的动点（x，y）的斜率的最值问题
（2）形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
（3）形如（x－a）2＋（y－b）2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：
（其中d为圆心到直线的距离）
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