高考一轮人教版A数学文科 第1章 第2节 命题及其关系充分条件与必要条件.docx

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高考一轮人教版A数学文科第1章第2节命题及其关系充分条件与必要条件

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

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[考纲传真]　1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系

图121

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

（2）如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

（3）如果pD

q，且qD

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

4．集合与充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．

（2）若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．

（3）若A＝B，则p是q的充要条件．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）“x2＋2x－3<0”是命题．（　　）

（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（　　）

（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　　）

（4）“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．（　　）

[解析]　

（1）错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．

（2）错误．否命题既否定条件，又否定结论．

（3）正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．

（4）正确．原命题与逆否命题是等价命题．

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

2．（教材改编）命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆否命题是（　　）

A．若α≠

，则tanα≠1

B．若α＝

，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠

D．若tanα≠1，则α＝

C　[“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：

tanα

≠1，綈p：

α≠

，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠

”．]

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

【导学号：

31222005】

A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

A　[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.

但A⊆B时，a＝2或3.

∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]

4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（　　）

A．1　　　　B．2

C．3　　　　D．4

B　[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．

因此4个命题中有2个假命题．]

5．（2016·天津高考）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（　　）

A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

C　[当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；

若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.

所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．]

四种命题的关系及其真假判断

（1）命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为

（　　）

A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题

B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题

D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题

（2）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，假，真　　　　B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

（1）C　

（2）B　[

（1）根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．

（2）由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．

当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题亦为假命题．]

[规律方法]　1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，如果命题不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式．

2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．

3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．

[变式训练1]　原命题为“若

＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，真，真B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

A　[由

＜an，得an＋an＋1＜2an，即an＋1＜an.

所以当

＜an时，必有an＋1＜an，

则{an}是递减数列．

反之，若{an}是递减数列，必有an＋1＜an，

从而有

＜an.

所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命题．]

充分条件与必要条件的判断

（1）（2014·全国卷Ⅱ）函数f（x）在x＝x0处导数存在．若p：

f′（x0）＝0；q：

x＝x0是f（x）的极值点，则（　　）

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

（2）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

（1）C　

（2）A　[

（1）当f′（x0）＝0时，x＝x0不一定是f（x）的极值点，

比如，y＝x3在x＝0时，f′（0）＝0，但在x＝0的左右两侧f′（x）的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．

由极值的定义知，x＝x0是f（x）的极值点必有f′（x0）＝0.

综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．

（2）|x－2|＜1⇔1＜x＜3.

由于{x|1＜x＜2}是{x|1＜x＜3}的真子集，

所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分不必要条件．]

[规律方法]　充分条件、必要条件的三种判断方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

（2）集合法：

根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

[变式训练2]　（2016·武汉模拟）设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（　　）【导学号：

31222006】

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

B　[若a＝1，则集合N＝{1}，此时满足N⊆M.若N⊆M，则a2＝1或2，所以a＝±1或a＝±

.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．]

充分条件、必要条件的应用

　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

[解]　由x2－8x－20≤0得

－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}.3分

∵x∈P是x∈S的必要条件，

则S⊆P，

∴

∴0≤m≤3.8分

综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.12分

[迁移探究1]　本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

[解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.2分

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴

8分

∴

这样的m不存在.12分

[迁移探究2]　本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

[解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．

∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P是S的充分不必要条件，

∴P⇒S且SD

P，4分

∴[－2,10][1－m,1＋m]，

∴

或

8分

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）.12分

[规律方法]　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．

（2）要注意区间端点值的检验．

[变式训练3]　

（1）（2017·长沙模拟）已知命题p：

a≤x≤a＋1，命题q：

x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

（2）方程ax2＋2x＋1＝0（a∈R，a为常数）的解集只有一个负实根的充要条件是________．

（1）（0,3）　

（2）a≤0或a＝1　[

（1）令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

∵p是q的充分不必要条件，∴MN，

∴

解得0

（2）当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，

∴原方程有一个负实根x＝－

.

当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根．

∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根，当方程有一正一负根时，则x1x2＜0，

∴

＜0，且Δ＝4－4a＞0，解得a＜0.

当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，此时方程的根为－1，符合题意，

综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a≤0或a＝1.]

[思想与方法]

1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．

2．充分条件、必要条件的几种判断方法

（1）定义法：

直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．

（2）等价法：

利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

（3）利用集合间的包含关系判断：

设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．

[易错与防范]

1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．

2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．

3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言的含义．

课时分层训练

（二）

命题及其关系、充分条件与必要条件

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．（2015·山东高考）设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（　　）

A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0

B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0

D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

D　[根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．]

2．（2017·杭州调研）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的（　　）【导学号：

31222007】

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[m⊂α，m∥β

α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]

3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

A　[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．]

4．给出下列命题：

①“若a2

②“全等三角形面积相等”的逆命题；

③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；

④“若

x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．

其中正确的命题是（　　）

A．③④B．①③

C．①②D．②④

A　[对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]

5．（2017·南昌调研）m＝－1是直线mx＋（2m－1）y＋1＝0和直线3x＋my＋9＝0垂直的（　　）【导学号：

31222008】

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

A　[由直线mx＋（2m－1）y＋1＝0与3x＋my＋9＝0垂直可知3m＋m（2m－1）＝0，∴m＝0或m＝－1，∴m＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．]

6．设p：

1

2x>1，则p是q成立的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

A　[由2x>1，得x>0，所以p⇒q，但q

p，所以p是q的充分不必要条件．]

7．已知条件p：

x2－2ax＋a2－1>0，条件q：

x>2，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（　　）

A．a≥1B．a≤1

C．a≥－3D．a≤－3

B　[条件p：

x>a＋1或x

x>2，

又q是p的充分不必要条件，

故q⇒p，pD

q，所以a＋1≤2，即a≤1.]

二、填空题

8．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.

【导学号：

31222009】

2　[由a＞b

ac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b.

所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．

从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]

9．“m＜

”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．

充分不必要　[x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，

即m≤

，因为m＜

⇒m≤

，反之不成立．

故“m＜

”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．]

10．已知集合A＝{x|y＝lg（4－x）}，集合B＝{x|x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

（4，＋∞）　[A＝{x|x＜4}，由题意知AB，所以a＞4.]

B组　能力提升

（建议用时：

15分钟）

1．（2017·西安调研）“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的（　　）

A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

A　[cos2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cosα＝±sinα.

由cosα＝sinα可得到cos2α＝0，反之不成立．]

2．（2016·四川高考）设p：

实数x，y满足x>1，且y>1，q：

实数x，y满足x＋y>2，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[∵

∴x＋y>2，即p⇒q.

而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3>2，但不满足x>1且y>1，即qD⇒/p.故p是q的充分不必要条件．]

3．有下列几个命题：

①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．

②③　[①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．

②原命题的逆命题为：

“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．

③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．]

4．已知不等式|x－m|＜1成立的充分不必要条件是

＜x＜

，则实数m的取值范围是________.【导学号：

31222010】

　[由|x－m|＜1得－1＋m＜x＜1＋m，

由题意知

{x|－1＋m＜x＜1＋m}，

所以

解得－

≤m≤

，

所以实数m的取值范围是

.]