版高考文科数学一轮复习文档第一章第二节 命题及其关系充分条件与必要条件Word版含答案文档格式.docx

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（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。

（2）若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。

（3）若A＝B，则p是q的充要条件。

一、走进教材

1．（选修1－1P8A组T2改编）命题“若x2>

y2，则x>

y”的逆否命题是（　　）

A．“若x<

y，则x2<

y2”B．“若x>

y，则x2>

y2”

C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”

解析　根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>

y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”。

故选C。

答案　C

2．（选修1－1P10练习T3

（2）改编）“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的（　　）

A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　若x＝1，则（x－1）（x＋2）＝0显然成立，但反之不成立，即若（x－1）（x＋2）＝0，则x的值也可能为－2。

故选B。

答案　B

二、走近高考

3．（2018·

天津高考）设x∈R，则“x3>

8”是“|x|>

2”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

解析　由x3>

8可得x>

2，由|x|>

2可得x>

2或x<

－2。

故“x3>

2”的充分而不必要条件。

故选A。

答案　A

4．（2018·

北京高考）设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（　　）

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析　a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则

＝

，此时a，b，c，d不一定成等比数列；

反之，若a，b，c，d成等比数列，则

，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B。

三、走出误区

微提醒：

①对“p∧q”的否定出错；

②分类讨论不全面；

③充分条件与必要条件的判定出错。

5．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是____________。

解析　“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，又a＝b＝0的实质为a＝0且b＝0，故其否定为a≠0或b≠0。

答案　若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0

6．若命题“ax2－2ax－3≤0成立”是真命题，则实数a的取值范围是________。

解析　由已知可得ax2－2ax－3≤0恒成立。

当a＝0时，－3≤0恒成立；

当a≠0时，得

解得－3≤a<

0。

故－3≤a≤0。

答案　[－3,0]

7．“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－

＋a为奇函数”的________条件。

解析　显然a＝0时，f（x）＝sinx－

为奇函数；

当f（x）为奇函数时，f（－x）＋f（x）＝0。

又f（－x）＋f（x）＝sin（－x）－

＋a＋sinx－

＋a＝0。

因此2a＝0，故a＝0。

所以“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－

＋a为奇函数”的充要条件。

答案　充要

考点一四种命题及其关系

【例1】　

（1）（2019·

西安八校联考）已知命题p：

“正数a的平方不等于0”，命题q：

“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的（　　）

A．逆命题B．否命题

C．逆否命题D．否定

（2）原命题为“若

<

an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，真，真B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

解析　

（1）命题p：

“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题。

（2）原命题即“若an＋1<

an，n∈N*，则{an}为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：

“若{an}为递减数列，n∈N*，则an＋1<

an”为真命题，所以否命题也为真命题。

答案　

（1）B　

（2）A

1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：

（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提。

2．

（1）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；

判断一个命题是假命题，只需举出反例；

（2）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断。

【变式训练】　

（1）（2019·

武汉模拟）对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列叙述正确的是（　　）

A．否命题是“正弦函数是分段函数”

B．逆命题是“分段函数不是正弦函数”

C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”

D．以上都不正确

（2）设原命题：

若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（　　）

A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

解析　

（1）原命题可写成“若一个函数是正弦函数，则该函数不是分段函数”，否命题为“若一个函数不是正弦函数，则该函数是分段函数”，逆命题为“若一个函数不是分段函数，则该函数是正弦函数”，逆否命题为“若一个函数是分段函数，则该函数不是正弦函数”，可知A、B、C都是错误的。

故选D。

（2）可以考虑原命题的逆否命题，即a，b都小于1，则a＋b<

2，显然为真。

其逆命题，即若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2为假，如a＝1.2，b＝0.2，则a＋b<

2。

答案　

（1）D　

（2）A

考点二充分条件与必要条件的判定

【例2】　

（1）（2019·

成都市毕业班模拟）“φ＝－

”是“函数f（x）＝cos（3x－φ）的图象关于直线x＝

对称”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

（2）已知p：

x＋y≠－2，q：

x，y不都是－1，则p是q的（　　）

（3）若集合A＝{x|x－x2>

0}，B＝{x|（x＋1）（m－x）>

0}，则“m>

1”是“A∩B≠∅”的（　　）

解析　

（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝

对称，则

－φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝

－kπ，k∈Z，故“φ＝－

对称”的充分不必要条件。

（2）因为p：

x，y不都是－1，所以綈p：

x＋y＝－2，綈q：

x＝－1，且y＝－1。

因为綈q⇒綈p，但綈pD⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件。

（3）化简集合A＝{x|0<

x<

1}，若m>

1，则B＝{x|－1<

m}，此时A∩B≠∅，反之，若A∩B≠∅，则m>

0，因（1，＋∞）⊂（0，＋∞）。

答案　

（1）A　

（2）A　（3）A

充要条件的三种判断方法

1．定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断。

2．集合法：

根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断。

3．等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。

这个方法特别适合以否定形式给出的问题。

石家庄市质量检测）已知p：

－1<

2，q：

log2x<

1，则p是q成立的（　　）

（2）已知函数f（x）＝

则“x＝0”是“f（x）＝1”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

（3）（2019·

南昌调研）已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·

n＝|m·

n|”的（　　）

解析　

（1）由log2x<

1，解得0<

2，所以p是q成立的必要不充分条件。

（2）若x＝0，则f（0）＝e0＝1；

若f（x）＝1，则ex＝1或ln（－x）＝1，解得x＝0或x＝－e。

故“x＝0”是“f（x）＝1”的充分不必要条件。

（3）当m与n反向时，m·

n<

0，而|m·

n|>

0，故充分性不成立。

若m·

n|，则m·

n＝|m|·

|n|cos〈m，n〉＝|m|·

|n||cos〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°

≤〈m，n〉≤90°

，此时m与n不一定共线，即必要性不成立。

故“m与n共线”是“m·

n|”的既不充分也不必要条件，故选D。

答案　

（1）B　

（2）B　（3）D

考点三充分条件、必要条件的应用

【例3】　

（1）已知函数f（x）＝

则函数f（x）有两个零点成立的充分不必要条件是a∈（　　）

A．[1,2]B．（1,2]

C．（1,2）D．（0,1]

（2）已知集合A＝

，B＝{x|log3（x＋a）≥1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________。

解析　

（1）因为函数f（x）＝

所以函数f（x）有两个零点等价于函数g（x）＝

的图象与直线y＝a的图象有两个交点，绘制函数g（x）的图象如图所示，结合函数图象可得1<

a≤2，所以a∈（1,2）是函数f（x）有两个零点成立的充分不必要条件。

（2）由

≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，故A＝{x|x≤－2或x≥3}。

由log3（x＋a）≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，故B＝{x|x≥3－a}。

由题意可知BA，所以3－a≥3，解得a≤0。

故实数a的取值范围是（－∞，0]。

答案　

（1）C　

（2）（－∞，0]

根据充分、必要条件求参数范围的思路方法

1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式（组）求解。

2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象。

【变式训练】　设集合P＝{t|数列{n2＋tn（n∈N*）}单调递增}，集合Q＝{t|函数f（x）＝kx2＋tx在区间[1，＋∞）上单调递增，k≠0}，若t∈P是t∈Q的充分不必要条件，则实数k的最小值为________。

解析　因为数列{n2＋tn}（n∈N*）单调递增，所以（n＋1）2＋t（n＋1）>

n2＋tn，解得t>

－2n－1，又n∈N*，所以t>

－3。

因为函数f（x）＝kx2＋tx（k≠0）在区间[1，＋∞）上单调递增，且其图象的对称轴为直线x＝－

，所以－

≤1，且k>

0，故t≥－2k，所以－2k≤－3，即k≥

，故实数k的最小值为

。

答案　

　1．（配合例1使用）命题p：

“若a≥b，则a＋b>

2018且a>

－b”的逆否命题是（　　）

A．若a＋b≤2018且a≤－b，则a<

b

B．若a＋b≤2018且a≤－b，则a>

C．若a＋b≤2018或a≤－b，则a<

D．若a＋b≤2018或a≤－b，则a>

解析　根据逆否命题的写法可得命题p：

－b”的逆否命题是“若a＋b≤2018或a≤－b，则a<

b”。

2．（配合例1使用）下列有关命题的说法正确的是（　　）

A．命题“若x2＝4，则x＝2”的否命题为“若x2＝4，则x≠2”

B．命题“∃x∈R，x2＋2x－1<

0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x－1>

0”

C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为假命题

D．若“p∨q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题

解析　一个命题的否命题是对命题的条件和结论同时否定，对于A，只否定了结论，未否定条件，故A项错误；

对于B，命题“∃x∈R，x2＋2x－1<

0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x－1≥0”，故B项错误；

对于C，命题“若x＝y，则sinx＝siny”是真命题，所以该命题的逆否命题为真命题，故C项错误；

对于D，若“p∨q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题是正确的。

答案　D

3．（配合例2使用）已知数列{an}，{bn}满足bn＝an＋an＋1，则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的（　　）

解析　若数列{an}为等差数列，设其公差为d1，则bn＋1－bn＝（an＋1＋an＋2）－（an＋an＋1）＝an＋2－an＝2d1，所以数列{bn}是等差数列；

若数列{bn}为等差数列，设其公差为d2，则bn＋1－bn＝（an＋1＋an＋2）－（an＋an＋1）＝an＋2－an＝d2，不能推出数列{an}为等差数列。

4．（配合例3使用）设命题p：

x2－（2a＋1）x＋a2＋a<

0，命题q：

lg（2x－1）≤1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解析　命题p：

a<

a＋1，命题q：

x≤

，因为p是q的充分不必要条件，所以

则

≤a≤

答案　A