立体几何历年试题讲义.docx

立体几何历年试题讲义.docx

《立体几何历年试题讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何历年试题讲义.docx（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

立体几何历年试题讲义

立体几何专题复习补充讲义

一、专题热点透析

高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。

近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。

考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。

其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。

二、热点题型范例

题型一、平行与垂直的证明；题型二、空间角与距离；题型三、探索性问题

题型四、折叠、展开问题；题型五、表面积与体积问题

三、空间向量的应用

1．异面直线所成的角

设a、b是异面直线，，分别是直线a,b上的向量，则异面直线a,b所成的角

2．点、面距离：

设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且。

则点P到平面α的距离为。

3.解决有关垂直问题的方法：

（1）．线线垂直a•b=0

（2）．线面垂直a•l1=0a•l2=0（其中l1、l2为平面内两条相交直线）

（3）．面面垂直N1•N2=0（N1、N2分别是两个平面的法向量

1．已知A（2，－5,1），B（2，－2,4），C（1，－4,1），则AC→与AB→的夹角为（　　）

A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°

2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，AM→＝12MC→，点N为B1B的中点，则线段MN的长度为（　　）

A.216B.66C.156D.153

3．如图，点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则AP→•AB→的值为

A．0B．1C．0或1D．任意实数

4．已知a＝（2，－1,3），b＝（－1,4，－2），c＝（7,5，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ等于（　　）

A.627B.637C.647D.657

5．已知a＝（1,2x－1，－x），b＝（x＋2,3，－3），若a∥b，则x＝________.

6.（2011年高考浙江卷文科4）若直线不平行于平面，且，则

（A）内的所有直线与异面（B）内不存在与平行的直线

（C）内存在唯一的直线与平行（D）内的直线与都相交

7.（2011年高考四川卷文科6），，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

（A）//（B）,//

（C）////，，共面（D），，共点，，共面

8．（2011年高考重庆卷文科10）高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、、、、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为

A．B．C．D．

9.（2011年高考海南卷文科16）已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.

10.（2011年高考四川卷文科15）半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差是.

11.（2011年高考全国卷文科8）已知直二面角，点为垂足，为垂足，若则到平面的距离等于

（A）（B）（C）（D）

12．设在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．

（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的余弦值；

（2）求点B1到平面AEF的距离．

13．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．

（1）求证：

平面PDC⊥平面PAD；

（2）求点B到平面PCD的距离；

（2）方法1：

过A作AF⊥PD，垂足为F.

14.如图，长方体中，，

，是的中点，是的中点.

（1）求证：

平面；

（2）求证：

平面平面.

15．在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，

G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.

（Ⅰ）求证：

AG⊥平面PCD；

（Ⅱ）求证：

AG∥平面PEC；

（Ⅲ）求点G到平面PEC的距离.

16．已知四棱锥中平面，且，底面为直角梯形，分别是的中点．

（1）求证：

//平面；

（2）求点到平面的距离．

17.在如图4所示的几何体中，，，，，

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证：

平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

18.已知直角梯形中,,过作,垂足为,的中点,现将沿折叠,使得.

（1）求证：

；

（2）设四棱锥D-ABCE的体积为V，其外接球体积为，求V的值.

19.如图1，直角梯形中，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图2的位置，使．

（1）求证：

平面；

（2）求四棱锥的体积.

20．如图，为圆的直径，点、在圆上，∥，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.

（1）求证：

平面；

（2）设的中点为，求证：

∥平面；

（3）设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，，

求．

21.如图是以正方形为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形为截面，且，,，

（Ⅰ）证明：

截面四边形是菱形；

（Ⅱ）求几何体的体积．

22.（2011年高考江西卷文科18）（本小题满分12分）

如图，在交AC于点D,现将

（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；

（2）若点P为AB的中点，E为

立体几何专题复习补充讲义

一、专题热点透析

高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。

近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。

考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。

其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。

二、热点题型范例

题型一、平行与垂直的证明；题型二、空间角与距离；题型三、探索性问题

题型四、折叠、展开问题；题型五、表面积与体积问题

三、空间向量的应用

1．异面直线所成的角

设a、b是异面直线，，分别是直线a,b上的向量，则异面直线a,b所成的角

2．点、面距离：

设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且。

则点P到平面α的距离为。

3.解决有关垂直问题的方法：

（1）．线线垂直a•b=0

（2）．线面垂直a•l1=0a•l2=0（其中l1、l2为平面内两条相交直线）

（3）．面面垂直N1•N2=0（N1、N2分别是两个平面的法向量

1．已知A（2，－5,1），B（2，－2,4），C（1，－4,1），则AC→与AB→的夹角为（　　）

A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°

1AB→＝（0,3,3），AC→＝（－1,1,0）．设〈AB→，AC→〉＝θ，则cosθ＝AB→•AC→|AB→|•|AC→|＝332•2＝12，∴θ＝60°.

2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，AM→＝12MC→，点N为B1B的中点，则线段MN的长度为（　　）

A.216B.66C.156D.153

2[解析]　MN→＝AN→－AM→＝AN→－13AC→＝AB→＋BN→－13AB→＋AD→＋AA1→＝23AB→＋16AA1→－13AD→.

∴MN＝|MN→|＝49|AB→|2＋136|AA1→|2＋19|AD→|2＝216.

3．如图，点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则AP→•AB→的值为

A．0B．1C．0或1D．任意实数

3[解析]　AP→可为下列7个向量：

AB→，AC→，AD→，AA1→，AB1→，AC1→，AD1→，其中一个与AB→重合，AP→•AB→＝|AB→|2＝1；AD→，AD1→，AA1→与AB→垂直，这时AP→•AB→＝0；AC→，AB1→与AB→的夹角为45°，这时AP→•AB→＝2×1×cosπ4＝1，最后AC1→•AB→＝3×1×cos∠BAC1＝3×13＝1，故选C.

4．已知a＝（2，－1,3），b＝（－1,4，－2），c＝（7,5，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ等于（　　）

A.627B.637C.647D.657

4[解析]　∵a，b，c三向量共面，∴存在实数m，n使c＝ma＋nb，

即（7,5，λ）＝（2m－n，－m＋4n,3m－2n），

∴2m－n＝7－m＋4n＝5λ＝3m－2n，∴λ＝657.

5．已知a＝（1,2x－1，－x），b＝（x＋2,3，－3），若a∥b，则x＝________.

5[解析]　∵a∥b，∴1x＋2＝2x－13＝－x－3，由1x＋2＝2x－13得，2x2＋3x－5＝0，∴x＝1或－52，

由2x－13＝－x－3得x＝1，∴x＝1.

6.（2011年高考浙江卷文科4）若直线不平行于平面，且，则

（A）内的所有直线与异面（B）内不存在与平行的直线

（C）内存在唯一的直线与平行（D）内的直线与都相交

6【解析】：

直线不平行于平面，所以与相交，故选B

7.（2011年高考四川卷文科6），，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

（A）//（B）,//

（C）////，，共面（D），，共点，，共面

7答案：

B,若则有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对.虽然，或共点，但是可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确.

8．（2011年高考重庆卷文科10）高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、、、、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为

A．B．C．D．

8【答案】A

9.（2011年高考海南卷文科16）已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.

9【解析】设圆锥的底面半径为,球半径为,则,解得,所以对应球心距为,故小圆锥的高为,大圆锥的高为,所以之比为.

10.（2011年高考四川卷文科15）如图，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差是.

10

11.（2011年高考全国卷文科8）已知直二面角，点为垂足，为垂足，若则到平面的距离等于

（A）（B）（C）（D）

11【解析】如图，作于，由为直二面角，，得平面，进而,又,,

于是平面。

故为到平面的距离。

在中，利用等面积法得

12．设在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．

（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的余弦值；

（2）求点B1到平面AEF的距离．

12[解析]　以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则各点坐标为A1（0,0,2），B（2,0,0），B1（2,0,2），E（0,2,1），F（1,1,0），

（1）A1B→＝（2,0，－2），EF→＝（1，－1，－1），

cosθ＝A1B→•EF→|A1B→|•|EF→|＝422×3＝63，

（2）设平面AEF的一个法向量为n＝（a，b，c），

∵AE→＝（0,2,1），AF→＝（1,1,0），

由n•AE→＝0n•AF→＝0得，2b＋c＝0a＋b＝0，令a＝1可得n＝（1，－1,2），

∵AB1→＝（2,0,2），∴d＝|AB1→•n||n|＝66＝6.∴点B1到平面AEF的距离为6.

13．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．

（1）求证：

平面PDC⊥平面PAD；

（2）求点B到平面PCD的距离；

（2）方法1：

过A作AF⊥PD，垂足为F.

在RtPAD中，PA＝2，AD＝BC＝4，PD＝42＋22＝25，

AF•PD＝PA•AD，∴AF＝2×425＝455，即点B到平面PCD的距离为455.

方法2：

如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，则依题意可知A（0,0,0），B（0,2,0），C（4,2,0），D（4,0,0），P（0,0,2），

PD→＝（4,0，－2），CD→＝（0，－2,0），BC→＝（4,0,0），

设面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），则

n•CD→＝0n•PD→＝0⇒－2y＝04x－2＝0⇒y＝0x＝12，

14.如图，长方体中，，

，是的中点，是的中点.

（1）求证：

平面；

（2）求证：

平面平面.

14.【解析】

（1）连接交于点，连接，

可得是的中位线，，

又平面，平面，

所以平面………6分

（2）计算可得，又是的中点，

所以，

又平面，所以，

又，所以平面

又平面，所以平面平面………12分

15．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，

G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.

（Ⅰ）求证：

AG⊥平面PCD；

（Ⅱ）求证：

AG∥平面PEC；

（Ⅲ）求点G到平面PEC的距离.

15．（Ⅰ）证明：

∵CD⊥AD，CD⊥PA

∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，

又PD⊥AG，∴AG⊥平面PCD…………4分

（Ⅱ）证明：

作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD

∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD

∴EF∥AG，又AG面PEC，EF面PEC，

∴AG∥平面PEC………………7分

（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等

由（Ⅱ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD∴AE∥平面PCD

∴AE∥GF，∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE＝GF……………8分

PA＝AB＝4，G为PD中点，FGCD

∴FG＝2∴AE＝FG＝2………………………9分

∴………………………10分

又EF⊥PC，EF＝AG

∴………………………11分

又，∴，即，∴

∴G点到平面PEC的距离为.………………………13分网

16．已知四棱锥中平面，且，底面为直角梯形，分别是的中点．

（1）求证：

//平面；

（2）求点到平面的距离．

16．

解析

（一）：

以为原点，以分别为建立空间直角坐标系，

由，分别是的中点，

可得：

，∴，………2分

[来源:

Zxxk.Com]设平面的的法向量为，

则有：

令，则，

……………3分

∴，又平面

∴//平面……………4分

（2）∵，∴所求的距离

解析

（二）：

（1）//…………1分

…………2分

又平面，平面,∴//平面……………4分

（2）

17.在如图4所示的几何体中，，，，，

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证：

平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

17.解：

（Ⅰ）证明：

取的中点，连接

在中，分别的中点，∴

又∵∴平行且等于

∴四边形为平行四边形

∴又∵，

∴…………………………4分

（II）证明：

∵为的中点

∴

又，

∴又，∴

由

（1）得，∴…………………………8分

（III）解：

∵∴

∴…………………12分

18.已知直角梯形中,,过作,垂足为,的中点,现将沿折叠,使得.

（1）求证：

；

（2）设四棱锥D-ABCE的体积为V，其外接球体积为，求V的值.

19.如图1，直角梯形中，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图2的位置，使．

（1）求证：

平面；

（2）求四棱锥的体积.

19.解

（1）证：

面面，又面所以平面.--------------------------6分

（2）取的中点，连接，平面

又平面

面--------------------------------------9分

所以四棱锥的体积.---------------12分

20．如图，为圆的直径，点、在圆上，∥，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.

（1）求证：

平面；

（2）设的中点为，求证：

∥平面；

（3）设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，，

求．

20．解

（1）平面平面,,

平面平面=，平面，

平面，,……　2分

又为圆的直径，，

平面。

…………　4分

（2）设的中点为，则，又，

则，为平行四边形，

，又平面，平面，

平面.……………　8分

（3）过点作于，平面平面，

平面，，

平面，

，

．…………　12分

21.如图是以正方形为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形为截面，且，,，

（Ⅰ）证明：

截面四边形是菱形；

（Ⅱ）求几何体的体积．

21.【解析】（Ⅰ）证明：

因为平面∥平面，且平面分别交平面、平面于直线、，所以∥．

同理，∥．

因此，四边形为平行四边形．……

（1）

因为，而为在底面上的射影，所以．

因为，所以∥．

因此，．……

（2）

由

（1）、

（2）可知：

四边形是菱形；…………………6分

（Ⅱ）连结、、、,则

，且几何体是以正方形为底面的正四棱柱的一部分，该几何体的体积为,

同理,得，所以，，

即几何体的体积为2．…………………12分

22.（2011年高考江西卷文科18）（本小题满分12分）

如图，在交AC于点D,现将

（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；

（2）若点P为AB的中点，E为

22【解析】

（1）设，则

令,则

单调递增极大值单调递减

由上表易知：

当时，有取最大值.

（2）证明：

作得中点F，连接EF、FP,由已知得：

为等腰直角三角形，,所以.