版高中数学苏教版必修一学案342 函数模型及其应用.docx
《版高中数学苏教版必修一学案342 函数模型及其应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版高中数学苏教版必修一学案342 函数模型及其应用.docx（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
版高中数学苏教版必修一学案342函数模型及其应用
3.4.2 函数模型及其应用
学习目标
1.理解函数模型的概念和作用.2.能用函数模型解决简单的实际问题.3.了解建立拟合函数模型的思想和步骤，并了解检验和调整的必要性．
知识点一 函数模型
思考 自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？
它怎么来的？
有什么用？
梳理 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．
知识点二 用函数模型解决实际问题
（1）解答应用问题的基本思想
（2）解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即
①审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
②建模：
将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③求模：
求解数学模型，得出数学结论；
④还原：
将数学结论还原为实际应用问题的结论．
知识点三 数据拟合
思考1 我们知道不同的身高需要坐不同高度的桌椅，但你知道任一确定的身高对应的桌椅的最佳高度吗？
如何解决？
梳理 现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的，反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系．这些关系的发现，通常是通过试验或实验测定得到一批数据，再经过分析处理得到的．
数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法，根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制．
此类题的解题过程一般有如下五步：
（1）作图：
即根据已知数据，画出散点图；
（2）选择函数模型：
一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试；
（3）求出函数模型：
求出
（2）中找到的几个函数模型的解析式；
（4）检验：
将（3）中求出几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型；
（5）利用所求出的函数模型解决问题．
思考2 数据拟合时，得到的函数为什么要检验？
类型一 利用已知函数模型求解实际问题
例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程．
反思与感悟 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式．再根据解题需要研究函数性质．
跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
类型二 自建确定性函数模型解决实际问题
命题角度1 非分段函数模型
例2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝
－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？
反思与感悟 自建模型时主要抓住四个关键：
“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
跟踪训练2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝
x，Q2＝
.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？
命题角度2 分段函数模型
例3 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
旅游点规定：
每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．（日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得）
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？
日净收入最多为多少元？
反思与感悟 自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应应变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型时应注意：
（1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
（2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
（3）分段函数的值域求法为：
逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
跟踪训练3 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40min的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：
min）之间的关系满足如图所示的图象．当x∈（0,12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10,80），过点B（12,78）；当x∈[12,40]时，图象是线段BC，其中C（40,50）．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．
（1）试求y＝f（x）的函数关系式；
（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？
请说明理由．
1．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为________．
2．某同学最近5年内的学习费用y（千元）与时间x（年）的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是________．（填序号）
①y＝ax＋b;②y＝ax2＋bx＋c；
③y＝aex＋b;④y＝alnx＋b.
3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是________．
4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是________．
①y＝2x－1;②y＝x2－1；
③y＝2x－1;④y＝1.5x2－2.5x＋2.
5．一家庭（父亲、母亲和孩子们）去某地旅游，甲旅行社说：
“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：
“家庭旅行为集体票，按原价的
优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
1．几类常见的函数模型：
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）
反比例函数模型
f（x）＝
＋b（k，b为常数且k≠0）
二次函数模型
f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
指数型函数模型
f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）
对数型函数模型
f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）
幂函数型模型
f（x）＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）
2.解函数应用问题的步骤（四步八字）
（1）审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：
将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求模：
求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：
将数学问题还原为实际问题．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 函数模型来源于现实（伽利略斜塔抛球），通过收集数据（打点计时器测量），画散点图分析数据（增长速度、单位时间内的增长量等），寻找或选择函数（假说）来拟合，这个函数即为函数模型．函数模型通常用来解释已有数据和预测．
知识点三
思考1 我们知道桌椅高度与身高有关系，但我们不知道具体的对应关系是什么．这需要调查获得大量的数据，再从数据中找出规律或近似的规律．
思考2 因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验，调整模型或改选其他函数模型．
题型探究
例1 解 因为火车匀速运动的时间为（277－13）÷120＝
（h），
所以0≤t≤
.
因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t（0≤t≤
）.2h内火车行驶的路程S＝13＋120×（2－
）＝233（km）．
跟踪训练1 2
解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），则水面和拱桥交点A（2，－2），设抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2（a≠0），则－2＝a·22，∴a＝－
，∴y＝－
x2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B（b，－3），将B点的坐标代入y＝－
x2，得b＝±
，因此水面宽2
米．
例2 解 设可获得总利润为R（x）万元，
则R（x）＝40x－y
＝40x－
＋48x－8000
＝－
＋88x－8000
＝－
（x－220）2＋1680（0≤x≤210）．
∵R（x）在[0,210]上是单调增函数，
∴当x＝210时，
R（x）max＝－
（210－220）2＋1680
＝1660.
∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．
跟踪训练2 解 设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资（3－x）万元，总利润为y万元．
所以Q1＝
x，Q2＝
.
所以y＝
x＋
（0≤x≤3），
令t＝
（0≤t≤
），则x＝3－t2.
所以y＝
（3－t2）＋
t
＝－
（t－
）2＋
.
当t＝
时，ymax＝
＝1.05（万元），
即x＝
＝0.75（万元），
所以3－x＝2.25（万元）．
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元．
例3 解
（1）当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3.
又因为x∈N，所以3≤x≤6，且x∈N.
当6＜x≤20，且x∈N时，
y＝[50－3（x－6）]x－115
＝－3x2＋68x－115，
综上可知y＝f（x）
＝
（2）当3≤x≤6，且x∈N时，
因为y＝50x－115是单调增函数，
所以当x＝6时，ymax＝185.
当6＜x≤20，且x∈N时，
y＝－3x2＋68x－115
＝－3
2＋
，
所以当x＝11时，ymax＝270.
综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．
跟踪训练3 解
（1）当x∈（0,12]时，
设f（x）＝a（x－10）2＋80（a≠0）．
因为该部分图象过点B（12,78），将B点的坐标代入上式，得a＝－
，
所以f（x）＝－
（x－10）2＋80.
当x∈[12,40]时，设f（x）＝kx＋b（k≠0）．因为线段BC过点B（12,78），C（40,50），将它们的坐标分别代入上式，得方程组
解得
所以f（x）＝－x＋90.
故所求函数的关系式为
f（x）＝
（2）由题意，得
或
解得4＜x≤12或12＜x＜28，
即4＜x＜28.
故老师应在x∈（4,28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
当堂训练
1．19 2.② 3.y＝0.9576
4.④
5．解 设家庭中孩子数为x（x≥1，x∈N*），旅游收费为y，旅游原价为a.
甲旅行社收费：
y＝a＋
（x＋1）
＝
（x＋3）；
乙旅行社收费：
y＝
（x＋2）．
∵
（x＋2）－
（x＋3）＝
（x－1），
∴当x＝1时，两家旅行社收费相等．
当x＞1时，甲旅行社更优惠．
升级会员 