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数学物理方法
数学物理方法课程教学大纲
一、课程说明
（一）课程名称：
数学物理方法
所属专业：
物理、应用物理专业
课程性质：
数学、物理学
学分：
5
（二）课程简介、目标与任务
这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。
本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。
这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。
一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接
本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。
（四）教材：
《数学物理方法》杨孔庆编
参考书：
1.《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著
2.《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著
3.《物理中的数学方法》李政道著
4.《数学物理方法》梁昆淼编
5.《数学物理方法》郭敦仁编
6.《数学物理方法》吴崇试编
二、课程内容与安排
第一部分线性空间及线性算子
第一章R3空间的向量分析
第一节向量的概念
第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析
第四节R3空间的向量分析的一些重要公式
第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析
第一节R3空间中的曲线坐标系
第二节曲线坐标系中的度量
第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式
第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式
第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式
第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式
第三章线性空间
第一节线性空间的定义
第二节线性空间的内积
第三节Hilbert（希尔伯特）空间
第四节线性算符
第五节线性算符的本征值和本征向量
第二部分复变函数
第四章复变函数的概念
第一节映射
第二节复数
第三节复变函数
第五章解析函数
第一节复变函数的导数
第二节复变函数的解析性
第三节复势
第四节解析函数变换
第六章复变函数积分
第一节复变函数的积分
第二节Cauchy（柯西）积分定理
第三节Cauchy（柯西）积分公式
第四节解析函数高阶导数的积分表达式
第七章复变函数的级数展开
第一节复变函数级数
第二节解析函数的Taylor（泰勒）展开
第三节Taylor展开的理论应用
第四节解析函数的Laurent（洛朗）展开
第八章留数定理
第一节留数定理
第二节留数的一般求法
第三节解析函数在无穷远点的留数
第四节留数定理在定积分中的应用
第五节Hilbert（希尔伯特）变换
第三部分积分变换与δ函数
第九章Fourier（傅里叶）变换
第一节Fourier级数
第二节Fourier变换
第三节Fourier变换的基本性质
第十章Laplace（拉普拉斯）变换
第一节Laplace变换
第二节Laplace变换基本性质
第三节Laplace变换的应用
第四节关于Laplace变换的反演
第十一章δ-函数
第一节δ-函数的定义
第二节δ-函数的性质
第三节δ-函数的导数
第四节三维δ-函数
第五节δ-函数的Fourier变换和Fourier级数展开
第四部分数学物理方程
第十三章波动方程、输运方程、Poisson（泊松）方程及其定解问题
第一节二阶线性偏微分方程的普遍形式
第二节波动方程及其定解条件
第三节输运方程及其定解条件
第四节Poisson方程及其定解条件
第五节Laplace方程和调和函数
第六节三类方程定解问题小结
第十四章分离变量法
第一节齐次方程齐次边界条件下的分离变量法
第二节Sturm—Liouville（斯特姆-刘维尔）本征值问题
第三节非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法
第四节非齐次边界条件下的分离变量法
第五节分离变量法小结
第十五章曲线坐标系下方程的分离变量
第一节球坐标系下方程的分离变量
第二节柱坐标系下方程的分离变量
第三节二阶线性常微分方程的级数解法
第十六章球函数
第一节Legendre（勒让德）多项式
第二节Legendre多项式的性质
第三节具有轴对称的Laplace方程的求解
第四节连带Legendre函数
第五节球函数
第十七章柱函数
第一节Bessel（贝塞尔）函数
第二节Bessel函数的递推关系
第三节柱函数的定义
第四节整数阶Bessel函数Jn（x）的生成函数
第五节Bessel方程的本征值问题
第六节球Bessel函数
*第十八章Green（格林）函数法
第一节微分算子的基本解和Green函数的定义
第二节Laplace算子的基本解
第三节Laplace算子的Green函数
第四节Laplace算子的镜像Green函数法
第五节Helmhotz（霍姆赫兹）算子的基本解
第六节输运算子的Green函数
第七节波动算子的基本解
（一）教学内容与学时分配
本课程讲授90学时（不包括习题课）。
学时分配及进度表
周 次
内 容
讲授
学时
第一周-
第四周
第一章R3空间的向量分析
§1.1向量的概念
§1.2R3空间的向量代数
§1.3R3空间的向量分析
§1.4R3空间的向量分析的一些重要公式
第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析
§2.1R3空间中的曲线坐标系
§2.2曲线坐标系中的度量
§2.3曲线坐标系中标量场梯度的表达式
§2.4曲线坐标系中向量场散度的表达式
§2.5曲线坐标系中向量场旋度的表达式
§2.6曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式
第三章线性空间
§3.1线性空间的定义
§3.2线性空间的内积
§3.3Hilbert（希尔伯特）空间
§3.4线性算符
§3.5线性算符的本征值和本征向量
20
第五周-
第六周
第四章复变函数的概念
§4.1映射 §4.2复数 §4.3复变函数
第五章解析函数
§5.1复变函数的导数 §5.2复变函数的解析性
§5.3复势 §5.4解析函数变换
第六章复变函数积分
§6.1复变函数的积分
§6.2Cauchy（柯西）积分定理
§6.3Cauchy（柯西）积分公式
§6.4解析函数高阶导数的积分表达式
10
第七周-
第九周
第七章复变函数的级数展开
§7.1复变函数级数
§7.2解析函数的Taylor（泰勒）展开
§7.3Taylor展开的理论应用
§7.4解析函数的Laurent（洛朗）展开
第八章留数定理
§8.1留数定理 §8.2留数的一般求法
§8.3解析函数在无穷远点的留数
§8.4留数定理在定积分中的应用
§8.5Hilbert（希尔伯特）变换
15
第十周-
第十二周
第九章Fourier（傅里叶）变换
§9.1Fourier级数 §9.2Fourier变换
§9.3Fourier变换的基本性质
第十章Laplace（拉普拉斯）变换
§10.1Laplace变换 §10.2Laplace变换基本性质
§10.3Laplace变换的应用
§10.4关于Laplace变换的反演
第十一章δ-函数
§11.1δ-函数的定义 §11.2δ-函数的性质
§11.3δ-函数的导数 §11.4三维δ-函数
§11.5δ-函数的Fourier变换和Fourier级数展开
15
第十三周-
第十五周
第十三章波动方程、输运方程、Poisson（泊松）方程及其定解问题
§12.1二阶线性偏微分方程的普遍形式
§12.2波动方程及其定解条件
§12.3输运方程及其定解条件
§12.4Poisson方程及其定解条件
§12.5Laplace方程和调和函数
§12.6三类方程定解问题小结
第十四章分离变量法
§13.1齐次方程齐次边界条件下的分离变量法
§13.2Sturm—Liouville（斯特姆-刘维尔）本征值问题
§13.3非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法
§13.4非齐次边界条件下的分离变量法
§13.5分离变量法小结
第十五章曲线坐标系下方程的分离变量
§14.1球坐标系下方程的分离变量
§14.2柱坐标系下方程的分离变量
§14.3二阶线性常微分方程的级数解法
15
第十六周-
第十八周
第十六章球函数
§15.1Legendre（勒让德）多项式
§15.2Legendre多项式的性质
§15.3具有轴对称的Laplace方程的求解
§15.4连带Legendre函数 §15.5球函数
第十七章柱函数
§16.1Bessel（贝塞尔）函数
§16.2Bessel函数的递推关系
§16.3柱函数的定义
§16.4整数阶Bessel函数Jn（x）的生成函数
§16.5Bessel方程的本征值问题
§16.6球Bessel函数
*第十八章Green（格林）函数法
§18.1微分算子的基本解和Green函数的定义
§18.2Laplace算子的基本解
§18.5Helmhotz（霍姆赫兹）算子的基本解
§18.6输运算子的Green函数
§18.7波动算子的基本解
15
（二）内容及基本要求
第一章 R3空间的向量分析
主要内容：
1.R3空间中的向量分析（§1.1）
2.R3空间中的向量代数与分析（§1.2、§1.3）
3.R3空间中的向量分析的一些重要公式（§1.4）
【掌握】1.向量的概念及运算规则；
2.Einstein求和约定、Kroneckerdelta符号
ij及Levi－civita符号
ijk的用法；
3.标量场、向量场的定义及“del”算符的定义；
4.R3空间中向量分析的一些基本运算公式及其推导方法；
【了解】标量场的梯度、向量场的散度和旋度的定义。
第二章 R3空间曲线坐标系中的向量分析
主要内容：
1.R3空间中的曲线坐标系及其度量（§2.1）（§2.2）
2.曲线坐标系中标量场的梯度（§2.3）
3.曲线坐标系中向量场的散度、旋度（§2.4）（§2.5）
4.曲线坐标系中Laplace算符▽2（§2.6）
【掌握】1.R3空间曲线坐标系度量的概念及含义；
2.曲线坐标系中标量场梯度的表达式；
3.曲线坐标系中向量场散度的表达式；
4.曲线坐标系中向量场旋度的表达式；
5.曲线坐标系中Laplace算符▽2的表达式。
【了解】梯度、散度、旋度及Laplace算符
2在正交曲线坐标系中表达式的推导过程，并能由此推出在直角坐标系、球坐标系及柱坐标系中的表达式。
第三章 线性空间
主要内容：
1.线性空间的定义及其内积（§3.1）（§3.2）
2.Hilbert空间的定义（§3.3）
3.常见线性算符（§3.4）
4.线性算符的本征值与本征向量（§3.5）
【掌握】1.线性空间ℒ的定义以及内积和内积空间的定义；
2.Hilbert（希尔伯特）空间的定义；
3.向量空间中线性算符及线性变换的定义，几种简单的线性算符的形式；
4.线性算符的本征值及本征向量的定义及物理意义；
5.本征值与本征向量的求解。
【了解】1.施密特正交归一化方法；
2.几种线性算符的证明过程。
第四章 复变函数的概念
主要内容：
1.映射的概念（§4.1）
2.复数与复变函数（§4.2）（§4.3）
【掌握】：
1.映射的定义，掌握复变数、复变函数及区域的概念；
2.无穷运点的定义；
3.几种常见的初等函数的定义及性质；
4.复数的几何表示及其他表达式。
【了解】：
1.复数的定义及其运算法则；
2.函数的多值性及处理办法；
3.复球面的概念。
第五章 解析函数
主要内容：
1.复变函数导数与解析性和复势的概念（§5.1、§5.2、§5.3）
2.解析函数变换（§5.4）
【掌握】1.复变函数的极限及连续性的定义，导数的定义及求导的基本公式和规则；
2.解析函数的定义、条件及解析函数实虚部的关系；
【了解】1.复势的概念；
2.保角（共型）变换的概念；
第六章 复变函数积分
主要内容：
1.复变函数的积分（§6.1）（§6.2）
2.Cauchy（柯西）积分定理及其公式（§6.3）
3.解析函数高阶导数的积分表达式（§6.4）
【掌握】：
1.复变函数积分的定义；
2.利用Cauchy积分定理求解某些回路积分。
【了解】：
1.复变函数积分的某些性质；
2.柯西积分公式的推导；
3.多连通区域柯西积分定理的推导。
第七章 复变函数的级数展开
主要内容：
1. 复变函数的级数（§7.1）
2. 解析函数的Taylor（泰勒）展开（§7.2）
3. Taylor展开的理论应用（§7.3）
4. 解析函数的Laurent（洛朗）展开（§7.4）
【掌握】1.幂级数的定义及收敛的概念，
2.解析函数的Taylor展开及Laurent展开的概念和展开方法；
3.函数孤立奇点的定义、奇点的类型、阶数和特点；
4.复数级数的定义及收敛性的概念，收敛判据及收敛性质，掌握函数项级数一致收敛的性质。
【了解】1.最大模定理；
2.Liouville定理。
第八章 留数定理
主要内容：
1.留数定理及其一般求法（§8.1、§8.2）
2.留数定理在实积分中的应用（§8.4）
3.希尔伯特变换（§8.5），
【掌握】1.留数定理的概念；
2.极点的留数计算方法；
3.
型积分、
型积分、
型积分、实轴上有单极点的函数积分的特点及计算方法。
【了解】1.利用留数定理计算某些其他类型积分的方法；
2.解析函数在无穷远点除的留数；
3.希尔伯特变换。
第九章 Fourier变换
主要内容：
1.Fourier级数与变换（§9.1、§9.2）
2.Fourier变换的基本性质（§9.3）
【掌握】有理分式的反演方法、延迟定理、位移定理、卷积定理。
【了解】延迟定理、位移定理及卷积定理。
第十章 Laplace变换
主要内容：
1.Laplace变换与其基本性质（§10.1、§10.2）
2.Laplace变换的反演（§10.3）
3.Laplace变换的应用（§10.4）
【掌握】延迟定理、位移定理及卷积定理。
【了解】普遍反演公式。
第十一章
函数
主要内容：
1.
函数的定义与性质（§11.1、§11.2）
2.
函数的导数和三维
函数（§11.3、§11.4）
3.
函数的Fourier变换及Laplace变换（§11.5）
【掌握】1.
-函数的定义及性质；
2.
-函数的意义；
【了解】1.
-函数的导数；
2.普遍反演公式；
3.
-函数的其他表达式。
第十三章 波动方程、输运方程、泊松方程及其定解问题
主要内容：
1.二阶线性偏微分方程的普遍形式（§12.1）
2.波动方程及其定解条件（§12.2）
3.输运方程及其定解条件（§12.3）
4.泊松方程及其定解条件（§12.4）
5.三类方程定解问题小结（§12.6）
【掌握】1.比较简单的几类定解条件的形式及意义，问题适定性的意义；
2.将某物理问题通过建立模型，利用物理规律转化为数学物理方程的基本方法。
【了解】数学物理方程（如弦的横振动方程、杆的纵振动方程、热传导方程、膜的横振动方程、电磁场的波动方程等）的推导过程。
第十四章 分离变量法
主要内容：
1.直角坐标系中利用分离变量法求解方程（§13.1）（1.5学时）
2.Sturm-Liouville型方程的本征值问题（§13.2）（1.5学时）
3.不同边界条件下的分离变量法（§13.3、§13.4）
【掌握】1.通过求解有界空间的定解问题掌握分离变量（Fourier级数）法的基本要点；
2.非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法；
3.非齐次边界条件下的分离变量法；
4.利用Fourier积分法求解无界空间的定解问题。
【了解】Sturm-Liouville型方程的本征值问题
第十五章曲线坐标系下方程的分离变量法
主要内容：
1.Laplace方程在球坐标系下的分离变量（§14.1）
2.球坐标系下的分离变量（§14.1）
3.自Helmhotz方程导出Bessel方程（§14.2）
4.二阶线性常微分方程的级数解法（§14.3）
【掌握】1.球坐标系下Laplace方程得出径向方程与球函数方程的过程；
2.柱坐标系下的分离变量过程；
3.方程正常点与奇点的概念和含义；
4.指数方程的概念和含义。
【了解】Helmhotz方程在球坐标下的分离变量。
第十六章球函数
主要内容：
1.Legendre多项式的定义、来源与主要性质（§15.1、§15.2）
2.具有轴对称的Laplace方程的求解（§15.3）
3.连带Legendre函数的定义与性质（§15.4）
4.一般球函数的性质（§15.5）
【掌握】1.Legendre多项式的来源；
2.Legendre多项式一般形式；
3.Legendre多项式的微分表达式和生成函数；
4.Legendre多项式的递推公式；
5.轴对称的Laplace方程求解过程与对应的物理模型；
6.连带Legendre函数的定义与性质；
7.一般球函数的性质与对应物理图像。
【了解】1.Legendre多项式一般形式的推导过程；
2.Legendre多项式的正交性、模、完备性及广义Fourier展开；
3.球函数的正交关系；
4.球函数构成的希尔伯特空间的物理意义。
第十七章柱函数
主要内容：
1.Bessel函数及其递推关系（§16.1、§16.2）
2.柱函数的定义（§16.3）
3.整数阶Bessel函数Jn（x）的生成函数（§16.4）
4.Bessele函数的本征值问题（§16.5）
5.虚宗量的Bessel函数与球Bessele函数（§16.6）
【掌握】1.Bessele函数的来源与一般性质；
2.Bessele函数的递推关系；
3.柱函数的概念与定义；
4.整数阶Bessel函数Jn（x）的生成函数与积分形式；
5.Bessel函数的渐近形式、本征值的确定方法；
6.Bessel函数的正交性、模及Fourier-Bessel展开，Bessel函数的母函数。
【了解】1.Bessele函数的递推关系过程；
2.虚宗量的Bessel函数。
*第十八章格林函数法
主要内容：
1.格林函数的定义、来源与主要性质（§18.1）
2.Laplace算子的基本解（§18.2）
3.Helmhotz（霍姆赫兹）算子的基本解（§18.5）
4.输运算子的Green函数（§18.6）
5.波动算子的基本解（§18.7）
【了解】1.格林函数的物理图像；
2.常用算子的基本解。
说明：
1.对于大纲所列内容与学时分配建议，教师可根据实际情况及专业特点，适当取舍调整，标有*的内容可以从简或者舍去。
2.习题课可根据实际需要另行安排。
制定人：
黄亮、俞连春、黄子罡
审定人：
批准人：
日期：
2016年6月
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