实验报告2.docx
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实验报告2
数学与计算科学学院
实验报告
实验项目名称人口的预测和控制
所属课程名称数学实验
实验类型综合
实验日期2013年4月3日
班级数学1102班
学号201164100226
姓名周涛
成绩
一、实验概述：
【实验目的】
【实验原理】
【实验环境】
二、实验内容：
【实验方案】
1、条件假设：
假设：
人口增长率
是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）；目前的人口数为x0，t年后人口为xt，最大人口数量为xm。
2、符号说明
人口增长率（固有增长率）
x0
今年的人口数
xt
t年后人口
xm
有限空间最大人口数量
3、模型的建立
表1是近两百年美国人口的统计数据，我们对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口。
表1美国人口统计数据
年（公元）
人口（百万）
1790
3.9
1800
5.3
1810
7.2
1820
9.6
1830
12.9
1840
17.1
1850
23.2
年（公元）
人口（百万）
1860
31.4
1870
38.6
1880
50.2
1890
62.9
1900
76.0
1910
92.0
1920
106.5
年（公元）
人口（百万）
1930
123.2
1940
131.7
1950
150.7
1960
179.3
1970
204.0
1980
226.5
1990
251.4
1.指数增长模型
记时刻t=0时人口数为x0,时刻t的人口为
，由于量大，
可视为连续、可微函数.t到
时间内人口的增量为：
于是
满足微分方程：
（1）
2.阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
（a）人口增长率
为人口
的函数
（减函数），最简单假定
（线性函数），
叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量
.
[2]建立模型：
当
时，增长率应为0，即
=0，于是
，代入
得：
（2）
将
（2）式代入
（1）得：
模型：
（3）
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
1.指数增长模型：
【1】解微分方程
（1）得
（4）
表明：
时，
（
>0）.
【2】模型的参数估计：
要用模型的结果（4）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到。
通过表中1790—1980的数据拟合得：
=0.307.
【3】模型检验：
将x0=3.9，
=0.307代入公式（4），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
（公元）
实际人口
（百万）
指数增长模型
预测人口（百万）
误差（%）
1790
3.9
1800
5.3
1810
7.2
7.3
1.4
1820
9.6
10.0
4.2
1830
12.9
13.7
6.2
1840
17.1
18.7
9.4
1850
23.2
25.6
10.3
1860
31.4
35.0
10.8
1870
38.6
47.8
23.8
1880
50.2
65.5
30.5
1890
62.9
89.6
42.4
1900
76.0
122.5
61.2
1910
92.0
167.6
82.1
1920
106.5
229.3
115.3
2.阻滞增长模型：
【1】模型的求解：
解方程组（3）得
（5）
根据方程（3）作出
曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.
对于阻滞增长模型作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序lsqcurvefit
得到拟合函数为y=（3.54e-011）*exp（0.0149*x）,当x=2010时，预测的人口为359.4916。
由源程序（详见附录1（3））可得如图3所示：
图3阻滞增长模型拟合图形
由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，运用Logistic模型对微分方程的解进行拟合，得到y2=360.4/（1+53.11*exp（-0.02342*（x-1790）））
到2010年时，预计人口数量为y2=275.6894，
如下图4（源程序详见附录1（4））可以看出两条曲线拟合程度较高相比基本模型，改进模型更接近实际。
4
图4阻滞增长模型最优化拟合图形
【2】模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对
和
拟合得：
=0.2072,
=464.
【3】模型检验：
将
=0.2072,
=464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（3）离散化，得
t=0,1,2,…,（6）
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
表3美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
年
实际
人口
（百万）
阻滞增长模型
公式（5）
公式（6）
预测人口（百万）
误差（%）
预测人口（百万）
误差（%）
1790
3.9
1800
5.3
5.9025
0.1137
3.9000
0.2642
1810
7.2
7.2614
0.0085
6.5074
0.0962
1820
9.6
8.9332
0.0695
8.6810
0.0957
1830
12.9
10.9899
0.1481
11.4153
0.1151
1840
17.1
13.5201
0.2094
15.1232
0.1156
1850
23.2
16.6328
0.2831
19.8197
0.1457
1860
31.4
20.4621
0.3483
26.5228
0.1553
1870
38.6
25.1731
0.3478
35.4528
0.0815
1880
50.2
30.9687
0.3831
43.5329
0.1328
1890
62.9
38.0986
0.3943
56.1884
0.1067
1900
76.0
46.8699
0.3833
70.1459
0.0770
1910
92.0
57.6607
0.3733
84.7305
0.0790
1920
106.5
70.9359
0.3339
102.4626
0.0379
1930
123.2
87.2674
0.2917
118.9509
0.0345
1940
131.7
107.3588
0.1848
137.8810
0.0469
1950
150.7
132.0759
0.1236
148.7978
0.0126
1960
179.3
162.4835
0.0938
170.2765
0.0503
1970
204.0
199.8919
0.0201
201.1772
0.0138
1980
226.5
245.9127
0.0857
227.5748
0.0047
1990
251.4
302.5288
0.2034
250.4488
0.0038
3.模型的参数估计、检验和预报：
【1】模型求解：
为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将x（t）=x0*exp（rt）两边取对数可得lnx（t）=lnx0*exp（rt）,lnx（t）=lnx0+rt,另y=lnx（t）,a=lnx0,所以可得y=rt+a。
根据所提供的数据用MATLAB函数p=polyfit（t,x,1）拟合一次多项式，然后用画图函数plot（t,x,’+’,t,x0*exp（rt）,’-’）,画出实际数据与计算结果之间的图形。
【2】模型检验：
（1）利用1790-1900年的数据进行试验，程序见附录1
（1）：
以1790年至1900年的数据拟合y=rt+a，用软件计算可得r=0.2743/10年,x0=4.1884，下图为拟合的图象:
图31790至1900年数据拟合图
（2）利用1790-2000年的数据进行试验，程序见附录1
（2）：
以1790年至2000年的数据拟合y=rt+a，用软件计算可得r=0.2022/10年，x0=6.0450,下图为拟合的图象:
图41790至2000年数据拟合图
【实验结论】（结果）
1.从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个.
2.现模型应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得
=0.2083,
=457.6.用公式（6）作预测得：
x（2000）=275;x（2010）=297.9.
也可用公式（5）进行预测，得到人口预测和控制相关数据的最优解。
【实验小结】（收获体会）
1.要做最合理的假设：
本次模型中，最关键的一个假设就是人口增长率r保持不变，即为一个常数。
其次要针对不同的模型，做不同的变换，使用不同的解模方法
2.只有多接触一些数模方法才能了解生活中的很多事与学科的联系，不再是学习死的理论，而是将这些死的理论运用到实践中，从而解决这些所谓的困难，也体现了这些学科的价值。
比如灰色预测以及聚类分析这些方法，原本是很枯燥的东西，但将它运用到实际的数模中，他们就有了很高的使用价值。
三、指导教师评语及成绩：
评语
评语等级
优
良
中
及格
不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强
2.实验方案设计合理
3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）
4实验结论正确.
成绩：
指导教师签名：
批阅日期：
附录1：
源程序
（1）>>clear；
>>clc；
>>t=linspace（0,11,12）;
>>x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0];
>>p=polyfit（t,log（x）,1）;
>>r=p
（1）
>>x0=exp（p
（2））
>>plot（t,x,'+',t,x0*exp（r*t）,'-'）
（2）>>clear；
>>clc；
>>t=linspace（0,21,22）;
>>x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];
>>p=polyfit（t,log（x）,1）;
>>r=p
（1）
>>x0=exp（p
（2））
>>plot（t,x,'+',t,x0*exp（r*t）,'-'）
（3）
>>clear
>>clc；
>>x=[1790:
10:
1980]';
>>y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5]';
>>st_=[500300.2];
>>ft_=fittype（'a/（1+b*exp（-k*（x-1790）））',...
'dependent',{'y'},'independent',{'x'},...
'coefficients',{'a','b','k'}）;
>>cf_=fit（x,y,ft_,'Startpoint',st_）
>>plot（cf_,'fit',0.95）;holdon,plot（x,y,'*'）
（4）函数的文件fitful2.m
functiony=fitful2（a,x）
y=a
（1）.*exp（a
（2）.*x）;
命令文件
>>clear;
>>clc；
>>a0=[50,0.02];
>>xdata=[1790:
10:
1980];
>>ydata=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];
>>[a,resnorm,residual,flag,output]=lsqcurvefit（'fitful2',a0,xdata,ydata）;
>>xi=[1790:
10:
1980];
>>yi=fitful2（a,xdata）
>>plot（xdata,ydata,'r-o',xi,yi,'b-+'）
>>xlabel（'x'）,ylabel（'y=f（x）'）;
附录2：
实验报告填写说明
1．实验项目名称：
要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：
目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：
简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：
实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：
这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：
写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：
根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：
本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：
指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
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