反比例函数与一次函数的综合应用.docx
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反比例函数与一次函数的综合应用
1
函数y=-x与y=在同一直角坐标系中的图象是（）
反比例函数与一次函数
1、反比例函数与一次函数的比较
函数
正比例函数
反比例函数
解析式
ykxk0
k
y一k是常数，k0x
图象形状
直线
双曲线
K>0
位置
第、三象限f
r产
第一、三象限
增减性
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
K<0
位置
第二、四象限
第二、四象限
k
增减性
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
举一反三：
函数的关系式为
=”填空）
3、求一次函数和反比例函数的关系式.
k
例：
如图，反比例函数y—的图象与一次函数yaxb的图象交于MN两点。
x
（1）求反比例函数和一次函数的解析式。
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的
k
解：
（1）将点N（-1,-4）代入y，得k=4
X
4
•••反比例函数的解析式为y4
x
4
又TM边在y上
X
•m=2
x的取值范围。
9b4，解得a2,b2
2ab2
•一次函数的解析式为y2x2
（2）由图象可知
当x1和0x2时，反比例函数的值大于一次函数的值
举一反三：
x的取值范围。
（1）求反比例函数与一次函数的表达式
（2）根据图象求出一次函数大于反比例函数的值时
2.
如图所示，已知一次函数y=kx+b（k却的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点，且与反比例函数
m
y=
x
（m^0
的图象在第一象限交于C点,CD丄x轴，垂足为D,若0A=0B=0D=1求
（1）点A,B,D坐标；
（2）一次函数与反比例函数
的解析式。
41一
3.如图，反比例函数y—的图象与直线y-x的交点为A,B，过点A作y轴的平行线与过点B作
x4
x轴的平行线相交于点C。
求
（1）点A、B的坐标；
（2）△ABC的面积。
4.如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数ym的图象交于A（21）,B（1,n）两点.
x
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积.
8
5.已知一次函数ykxb的图像与反比例函数y—的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐
x
标都是一2,求
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积
第1题图
4、实际问题与反比例函数
用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题,什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数,式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象,样有利于分析和解决问题。
教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。
（1）由题意列关系式
例：
某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示帕是-
（1）
（2）
（3）的体积应不小于多少立方米？
分析：
（1）题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点
96
析式，得P一,
（2）
V
当P不超过144千帕时，
——
看看各变量间应满足以便写出正确的函数关系要做到数形结合，这
」种压强单位）写出这个函数的解析式；
当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球
千帕时所对应的气体体积，
96
当v=8m3时代入P=得P=120千帕；（3）
v
是安全范围。
根据反比例函数的图象和性质，
2
—立方米
3
再分析出最后结果是不小于
MU
L尸
\
151
100
斤「
0
o'si
1：
522；53^
（千
A,利用待定系数法可以求出P与V的解
问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即
P随V的增大而减小，可先求出气压P=144
举一反三：
1•京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为
2•完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬的函数关系式
y（元）与人数
3•一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V=10时,
求与V的函数关系式；
（2）求当V=2时氧气的密度
4•小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为
（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？
5•学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：
按每天用煤算）刚好用完.若每天的耗煤量为
（1）
（2）
（3）
x吨，那么这批煤能维持y天则y与x之间有怎样的函数关系？
画函数图象
若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？
利用图象列关系式
例：
为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药
物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范
为.；
药物燃烧后，y关于x的函数关系式为.
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，
那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，员工才能回到办公室；
（2）
t（h）与行驶
=1.43,
（1）
v（米/分）,所需时间为
0.6吨计算，一学期
t（分）
（按150天计
1
€
0
求得y
48
48
x
⑶研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌,
那么此次消毒是否有效？
为什么？
分析：
（1）药物燃烧时，由图象可知函数y是x的正比例函数，设yk1x，将点（8,6）代人解析式,
自变量0vxw8；药物燃烧后，由图象看出y是x的反比例函数，设y呂，用待定系数法求得y
x
（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，
48
求得
将药含量y=1.6代入y,求出x=30,根据反比例函数的图象与性质知药含量y随时间x的增大而减小,
x
时间至少要30分钟
3
（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y=3时，代入yx中，得x=4,即当药物燃烧4分钟时，药
4
含量达到3毫克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y=3时，代入y
数关系式y1500还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举1例
x
7•有一容量为180升的太阳能热水器，设其工作时间为y（分），每分钟的排水量为x（升）。
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）若热水器可连续工作的最长时间为1小时，求自变量x的取值范围；
（3）若每分钟排放热水4升，则热水器不断工作的时间为多少？
D、不能确定
D、无法确定
k
3、如图，函数yk（x1）与y在同一坐标系中，图象只能是下图中的（）
k
-k0的图象上有两点A（x1,y1）>B（x2,y2）,且x1
x
A、正数B、负数C非负数
5、在电压一定时，通过用电器的电流与用电器的电阻之间成（）
A、正比例B、反比例C一次函数
k
6、函数y
y—
kx与x（k0）
的图象的交点个数是（
）
A.、2
B、1
C0
D、不确定
二、填空题
（每小题4分，计32分）
7、一般地，函数是反比例函数，其图象是，当k0时，图象两支在—象限内。
2
8、反比例函数y=—，当y=6时，x。
x
9、若正比例函数y=mx（m^0和反比例函数y=n（n丰0的图象有一个交点为点（2,3）,贝Um=,n=
10、若反比例函数y=（2m-1）xm2的图象在第一、三象限，则函数的解析式为
11、反比例函数的图像过点（一3,5）,则它的解析式为。
k21
12、在函数y（k为常数）的图象上有三个点（-2，y1）,（-1，y2）,（―，y），函数值y1，y，y
2
的大小为；
2
13、函数y=2的图象，在同一直角坐标系内，如果将直线y=—x+1沿y轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函
x
2
数y=一的图象的交点共有个
x
14、老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四人各指出这个函数的一个性质，甲：
函数图象不经过第三象限；乙：
函数
图象经过第一象限；丙：
y随x的增大而减小；丁：
当x2时，y0。
已知这四人叙述都正确，请构造出满足上
述所有性质的一个函数。
三、解答题（共50分）
k
15、（6分）反比例函数y—的图象经过点A（2,3）.
x
（1）求这个函数的解析式；
（2）请判断点B（1,6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由
8
16、（9分）作出函数y—的图象，并根据图象回答下列问题：
x
（1）当x4时，求y的值•
（2）当2y3时，求x的取值范围
（3）当3x2时，求y的取值范围•
6a
17、（8分）若正比例函数yax的图象与反比例函数y的图象有一个交点的横坐标是1•求
（1）两个函数
x
的解析式•
（2）它们两个交点的坐标•
2m5n
y
18、（8分）已知关于x的一次函数y=mx+3n和反比例函数x图象都经过点（1,—2），求这个一次函数
与反比例函数的解析式
1
19、（9分）如图，正比例函数ykxbk0与反比例函数y—的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线
x
于B，连接BC,求厶ABC的面积户Z
20、（10分）在压力不变的情况下，某物承受的压强P（Pa）是
它的受力面积S（m2）的反比例函数，其图象如右图所示•*
（1）求P与S之间的函数关系式；］丄
（2）求当S=0.5m2时物体所受的压强P.'.11a...
°□.!
C,2OJ
（第20题图）
课堂检测
（二）
、选择题（每小题3分，计18分）
k
1、若函数y—的图象过点（3,-7）,那么它一定还经过点（）
x
A、（3,7）
B、（-3,-7）
C、（-3,7）
D、（2,-7）
2、反比例函数y
（m为常数）当
x
x0时，
y随x的增大而增大，则m的取值范围是
1
1
1
A、m0
B、m—
C、m—
D、m-
2
2
2
1、
3、若点（xi,yi）,（X2,y2）,（X3,y3）都是反比例函数y=-的图象上的点拼且xiX
A、yik
4、如图，已知关于x的函数y=k（x-i）和y=-（k丰0）它们在同一坐标系内的图象大致是（）
x
y化y札yf
5、已知力F所做的功是i5焦,则力F与物体在力的方向上通过的距离S的图象大致是如图中的（）
图象在每个象限内y随x的增大而增大;
10、已知Pi（xi,yi）,P2（x2,y2）是反比例函数
k
y（k工I图象上的两点，且％X2<0时，y1y?
，则k
x
k
11、已知正比例函数y=kx（k丰0）随x的增大而减小，那么反比例函数y=，当x<0时,y随x的增大而
x
12、已知yi与x成正比例（比例系数为
1
k1）,y2与x成反比例（比例系数为k2）若函数y=y1+y2的图象经过点（1,2）,（2,）,
2
则8k1+5k2的值为
13、若mv—1，则下列函数：
①y
mx0:
②y=—mx+1;③y=mx;④y=（m+1）x中，y随x增大而增大的是
x
15、（6分）
在反比例函数y=2k2008图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，求k的取值范围。
x
16、（9分）
已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8,求：
23
（1）y和x的函数关系式；⑵当x2-时，y的值；⑶当x取何值时，y—?
32
m3
17、（8分）已知反比例函数y经过点A（2,—m）和B（n,2n），求：
（1）m和n的值；
（2）若图象上有两点P1（x1,y1）
x
和P2（X2,y2），且X1V0vx2，试比较y1和y2的大小.
18、（8分）已知一次函数y=kx+b的图象过点A（0,1）和点B（a,—3a）（a>0），且点B在反比例函数y-的图
x
象上，求a及一次函数式.
1ki
19、（9分）如图，点P是直线y—x2与双曲线y—在第一象限内的一个交点，直线y-x2与x轴、y
2x2
轴的交点分别为A、C,过P作PB垂直于x轴，若AB+PB=9.
（1）求k的值；
（2）求厶PBC的面积.
20、（10分）制作一种产品，需先将材料加热达到60C后，再进行操作•设该材料温度为y（C）,从加热开始计算
的时间为x（分钟）.据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与
时间x成反比例关系（如图）.已知该材料在操作加工前的温度为15C,加热5分钟后温度达到60C.
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15C时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
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