最新导数的几何意义教案后附教学反思.docx

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最新导数的几何意义教案后附教学反思

导数的几何意义教案（后附教学反思）

导数的几何意义教案（后附教学反思）

永嘉中学数学组周瑛08.4.13

【教学目标】

知识与技能目标：

（1）使学生掌握函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的导数«SkipRecordIf...»的几何意义就是函数«SkipRecordIf...»的图像在

«SkipRecordIf...»处的切线的斜率。

（数形结合），即：

«SkipRecordIf...»＝切线的斜率

（2）会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法：

通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

情感态度与价值观：

导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。

培养学生学数学，用数学的意识。

【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。

【课型】探究课

【教学重点与难点】

重点：

导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。

难点：

发现、理解及应用导数的几何意义

【教学过程】

（一）课题引入，类比探讨：

让学生回忆导数的概念及其本质。

（承上启下，自然过渡）。

师：

导数的本质是什么？

写出它的表达式。

（一位学生板书），其他学生在“学案”中写：

导数«SkipRecordIf...»的本质是函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的瞬时变化率，即：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　«SkipRecordIf...»

（注记：

教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）

师：

导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？

（教师引导学生：

数形结合是重要的思想方法。

要研究“形”，自然要结合“数”）

生1：

研究导数的代数表达式。

师：

那必然就要回忆求导数«SkipRecordIf...»的步骤了。

生（齐）：

分三步：

第一步：

求«SkipRecordIf...»

第二步：

求平均变化率«SkipRecordIf...»；

第三步：

当«SkipRecordIf...»趋近于0时，平均变化率«SkipRecordIf...»无限趋近于的常数就是«SkipRecordIf...»。

（回归本质，数形结合）

教师进一步引导学生：

这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分三个步骤：

师：

第一步：

«SkipRecordIf...»的几何意义。

（并在学案的图（二次函数）中画出）

生：

当«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»所对应的函数值的差量。

师：

很好，那么第二步：

平均变化率«SkipRecordIf...»的几何意义是什么？

（同样请在函数图像中画出来）；由于上节探究中做过，所以还是比较简单。

生2：

平均变化率«SkipRecordIf...»的几何意义是割线AB的斜率。

其中«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。

（提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。

）

师：

第二步：

«SkipRecordIf...»时，割线«SkipRecordIf...»有什么变化？

请用你的笔描绘出来。

（有静态到动态的过渡，比较考察学生的观察能力，动手能力与独立思考能力）很快，有几个学生又画了三条直线（其中横坐标在«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»之间。

）

教师让生3用投影仪展示自己的作品，并向其它学生介绍自己作图的意图，由此引导同伴观察到：

«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

师（趁胜追击）：

很好，那么当«SkipRecordIf...»，于是A，B之间的差距越来越小，B一直，一直这样靠近A，最后会---------

生（齐）:

重合。

师：

那么直线AB？

生（齐）：

变成一条切线了。

师：

大家真不错，确实，当«SkipRecordIf...»，割线«SkipRecordIf...»有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在«SkipRecordIf...»处的切线，下面请把它画出来。

等学生化出切线AD后，教师用Flash展示动态过程，引导学生回顾过程。

结论：

（形）«SkipRecordIf...»，割线«SkipRecordIf...»切线«SkipRecordIf...»，

则割线«SkipRecordIf...»的斜率«SkipRecordIf...»切线«SkipRecordIf...»的斜率。

（口述）

由数形结合，得　«SkipRecordIf...»＝切线«SkipRecordIf...»的斜率。

（板书）

所以，函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的导数«SkipRecordIf...»的几何意义就是函数«SkipRecordIf...»的图像在«SkipRecordIf...»处的切线AD的斜率。

（数形结合）。

（说明：

动手实践，探索发现。

使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。

）

（二）深入研究，知识拓展

师：

好，我们现在清楚导数的几何意义就是在该点处切线的斜率。

其中切线很关键，但是它与以前学过的切线定义有什么不同呢？

见P77的探究问题。

生4：

初中平面几何中，如圆的切线的的定义：

直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。

这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。

师：

讲得非常好，确实如此，但从刚才那刻开始，将会有变数。

（展示如下动画，A点----直线l1----B----直线l2）。

学生们发现生4讲的初中切线的定义已不适合这里了。

«SkipRecordIf...»

师：

圆是一种特殊的曲线。

这种定义并不适用于一般曲线的切线。

例如上图中，直线«SkipRecordIf...»虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线«SkipRecordIf...»虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。

因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。

通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。

所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。

（三）“以直代曲”思想

利用PPT做出三个切点附近的近景，而且由小放到大，类似于放大镜的效果，让学生观察切点附近曲线与直线的位置关系。

学生发现，它们越来越靠近，几乎重合。

此时，教师点出：

根据导数的几何意义，在点P附近，曲线«SkipRecordIf...»可以用在点P处的切线近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。

（动画演示：

通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）

（说明：

适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。

）

（四）例题讲解，加强理解

例1在函数«SkipRecordIf...»的图像上，用图形来体现导数«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»的几何意义，并用数学语言表述出来。

变式：

请描述、比较曲线«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»附近增（减）以及增（减）快慢的情况。

在«SkipRecordIf...»附近呢？

（如下图）

（注记：

要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（同桌讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

）

从中小结出:

1.点附近的增减-----导数的正负-----过该点切线的斜率正负;

2.增减快慢-----导数的绝对值大小-------过该点切线的斜率大小的绝对值---曲线在该点附近的陡峭程度。

（板书）

例2如图表示人体血管中的药物浓度«SkipRecordIf...»（单位：

«SkipRecordIf...»）随时间«SkipRecordIf...»（单位：

«SkipRecordIf...»）变化的函数图像，根据图像，估计«SkipRecordIf...»（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。

（精确到0.1）

«SkipRecordIf...»

0.2

0.4

0.6

0.8

药物浓度的

瞬时变化率

（注记：

要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

）

（五）抽象概括，归纳小结

（先由学生小结）

1．抽象概括：

由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念：

«SkipRecordIf...»是确定的数（静态），«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的函数（动态）

由«SkipRecordIf...»（特殊——一般）

　　　«SkipRecordIf...»（静态——动态）

（说明：

体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想

2．归纳小结：

由学生进行开放式小结：

（1）函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的导数«SkipRecordIf...»的几何意义就是函数«SkipRecordIf...»的图像在

«SkipRecordIf...»处的切线AD的斜率。

（数形结合），即：

«SkipRecordIf...»＝切线«SkipRecordIf...»的斜率

（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

（3）导函数（简称“导数”）的概念。

«SkipRecordIf...»

（六）作业布置

1．习题P80.A5,6;B1

2．（给好的学生）请给出求函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。

（探索：

若把3．“在点«SkipRecordIf...»处”改为“过点«SkipRecordIf...»”，算法有何不同？

并小组自编四个求切线的题目。

）

附：

教学反思

本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义,由于新教材未设计极限,于是我尽量采用形象直观的方式,让学生通过动手作图,自我感受整个逼近的过程,并用形象的几何画板及Flash展示动态的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想。

本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。

先回忆导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。

完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。

本节课注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，本教师只是在关键处加以引导。

从学生的作业看来，效果较好。

在例题讲解时，注重审题（分析关键的词句）和解题反思，感觉效果不错！

但是，作为探究课，时间如果控制不好，易讲不完，我就是例2来不及分析完，于是当作课外作业，所以时间要注意调配。

还有有些学生对如何画出过该点的切线有点困难，此时，教师给予示范。