分式方程及分式复习.docx
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分式方程及分式复习
16.3.1分式方程
（一）
教学内容
本节课主要学习可化为一元一次方程的分式方程以及应用课本P149～P151．
教学目标
1．知识与技能
能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想．
2．过程与方法
经历探索分式方程概念的过程，探索“实际问题”建立模型的方法．
3．情感、态度与价值观
培养从实际问题抽象、概括分式方程的数学化思想，体会数学的应用价值．
重难点、关键
1．重点：
理解“实际问题”──分式方程模型的过程．
2．难点：
建立分式方程的“建模”方法．
3．关键：
分析实际问题中的量与量之间的关系，正确把握“建模”思想．
教学准备
教师准备：
投影仪，将有关材料（含补充材料）制作成投影片．
学生准备：
复习一元一次方程解法，预习本节课内容．
学法解析
1．认知起点：
本节课是在学习了整式方程“建模”以及解法的前提下进行学习的，学生对应题已经经历了几次的认识．
2．知识线索：
3．学习方式：
采用先回顾已学过的一元一次方程概念、解法、建模，然后利用本章引言中的问题引入，理解分式方程化归成整式方程这一本质思想．
教学过程
一、回顾交流，情境导入
【问题提出】
1．前面我们已经学过了哪些方程？
是怎样的方程？
如何求解呢？
教师活动：
提问，引导学生回忆旧知识．（提问个别学生）
学生活动：
思考后回答：
（1）前面已经学过了一元一次方程．
（2）一元一次方程是整式方程．
（3）一元一次方程解法步骤是：
①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一．
2．（显示投影片1）一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
思路点拨：
这是一道实际建模型的题目，但是又是我们过去熟悉的模型的演变，在设出江水的流速为v千米/时，可列出顺流航速（20+v）千米/时，逆流航速（20-v）千米/时，抓住“时间相等”建横模型
．
【活动方略】
教师活动：
操作投影片，分析问题情境，帮助学生回顾原有的方程模型，迁移到现有问题中去．
学生活动：
共同参与到老师的分析中去，发现所得到的模型是一种新的方程．
教师引出定义：
上面的方程分母含有字母，也就是说左右两边都出现了分式，我们把这样的方程称为分式方程．
教师提问：
分式方程与整式方程的区别在哪里？
学生活动：
通过观察，容易得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母．未知数在分母的方程是分式方程．未知数不在分母的方程是整式方程．
教师活动：
叙述提问，前面我们已经学过了一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，你又该如何解这个方程呢？
学生活动：
与同伴交流后，有部分学生会想到将分式方程化归到我们熟悉的整式方程的思路．
师生共识：
应用数学化归思想，可以通过“去分母”将分式方程转化成整式方程．
师生实践：
①
去分母：
方程两边都乘以最简公分母（20+v）（20-v）
得：
100（20-v）=60（20+v）②
解得：
v=5
教师提问：
观察方程①、②中的v的取值范围相同吗？
学生活动：
①由于是分式方程v≠±20，而②是整式方程v可取任何实数，数的范围在去分母的过程中扩大了．
【适时点评】
教师抓住学生的认知盲区，说明解分式方程可能产生“增根”（解释），因此必需注意检验，检验方程是将求出的根（如v=5），代入方程，左边等于右边，使等式仍然成立的根是方程根否则是增根．介绍简便方法是将根代入分式中使每一个分母不为零则是方程根．只要有一个为零，这个根就是增根．
二、随堂练习，巩固深化
【课堂演练】（教师板书）
解下列分式方程．
【活动方略】
教师活动：
板书课堂演练，组织学生演练，引导学生观察根的情况，验证、归纳验根的方法．
学生活动：
课堂演练：
1．解：
方程两边都乘以（x+1）（x-1）
得：
2（x-1）+3（x+1）=6
解得：
x=1
检验：
当x=1时（x+1）（x-1）=0所以x=1是增根，原方程无解．
2．解：
方程两边都乘以（x+2）（x-2）得
（x+3）（x-2）+（x+1）（x+2）=2（x2-4）
整理得：
4x+4=0
解得：
x=-1
检验：
当x=-1时x2-4≠0，所以，原方程的根是x=-1．
【师生共识】
归纳小结：
（1）解分式方程的关键是如何转化成整式方程来解，转化的方法是在方程两边都乘以最简公分母，从而去掉分母．
（2）由于转化过程中同乘了含有未知数的一个整式，因而可能使未知数的取值范围扩大，容易造成增根，所以解分式方程一定要验根．
（3）验根的方法是把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
三、阅读理解，以练促思
【指导阅读】
教师指导学生阅读课本P32～P34．思考下列问题．
1．课本P152“练习”解方程的
（1）
（2）（3）（4）．
2．【探研时空】
有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收取小麦9000kg和15000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量．（设第一块试验田每公顷的产量为xkg，列式为
）
四、课堂总结，发展潜能
1．解分式方程的基本思路，是把分式方程转化为整式方程来解，即把方程两边同时乘以各分母的最简公分母，从而约去分母，化为整式方程，然后再解整式方程．
2．解分式方程的一般步骤：
（1）在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；（3）验根．
3．用一个整式（各分式的最简公分母）去乘分式方程的两边时，有可能产生增根，因此要验根，验根的方法有两种：
（1）代入原分式方程检验，即把约去分母变为整式方程后求得的根，代入原方程中去直接检验；
（2）代入所乘的整式（即最简公分母）检验它的值是否为零，即把求得的整式方程的根，代入变形时所乘整式，如果不使所乘的整式为零，就是原方程的根，否则就是增根．
五、布置作业，专题突破
1．课本P154“习题15．3”第1题中
（1）（3）（5）（7）题；第2
（1）题．
2．选用课时作业设计．
六、课后反思
第一课时作业设计
【驻足“双基”】
1．要使得分式
的值为0，x的值应取_____．
2．当x_____时，分式
的值为1．
3．要使得关于x的方程
的解为正数，a的取值范围是（）．
A．a>
B．a<
C．a=
D．以上答案都不对
4．如果分式
的值为零，则x=（）．
A．±2B．-2C．+2D．以上结论都不对
5．如果关于x的方程
有增根，求a的值．
【聚集“中考”】
6．解方程：
=6
7．为适应国民经济持续快速协调地发展，自2004年4月18日起，全国铁路实施第五次提速，提速后，火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1326千米，提速前火车的平均速度为x千米/时，提速后火车的平均速度为y千米/时，则x、y应满足的关系式是（）．
答案:
1．
2．x=13．B4．B5．-26．x=
7．C
16.3.1分式方程
（二）
教学内容
本节课主要学习分式方程的应用，对如何“建模”进行深入的探讨．
教学目标
1．知识与技能
理解分式方程的“建模”思想，掌握实际应用的方法．
2．过程与方法
经历探索建立分式方程的模型，领会它的解题方法，发展学生分析问题，解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生以积极的态度探究“建模”思想，增强他们的应用意识，体会数学建模的实际价值．
重难点、关键
1．重点：
将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结论．
2．难点：
寻找实际问题中的等量关系，正确地“建模”．
3．关键：
把握不同的模型思想，合理使用等量关系．
教学准备
教师准备：
投影仪，将有关内容（含补充内容）制作成投影片．
学生准备：
1．复习分式方程解法；2．预习本节课内容．
学法解析
1．认知起点：
在学习了分式方程解法、一元一次方程应用（建模）的基础上学习本节课内容的．
2．知识线索：
3．学习方式：
采用情境导入，激趣促思、合作交流的方式求得问题的解决．
教学过程
一、创设情境，领会新知
【显示投影片1】
例1两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
思路点拨：
这是一道“工程工效”的模型，分析方面是先将两队的单位工效列出，可以设乙工程队单独完成施工需x个月，每个月
，由于已知甲队每个月完成工程的工效是
，那么半个月完成工程的工效为
，乙队半个月完成工程的
，再以总工程量1为不变量，列出等量关系：
+
+
＝1，解之x=1．
【活动方略】
教师活动：
操作投影仪，引导学生把整个工程看作单位1，应用工程模型设未知数（间接设法），列出分式方程．（板书）
学生活动：
参与教师讲例分析，充分应用已学过的“建模”类型列出分式方程．
例2从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶S千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
思路点拨：
首先应明确这里的字母v，S表示已知量，采用直接设的方法，设提速前列车的平均速度为x千米/时，然后充分应用提速前后的行驶路程不变“建模”列出方程．
．
【活动方略】
教师活动：
指导学生阅读例2，领会其“建模”思想，然后请部分学生来分析例2（上讲台），其他学生补充．
学生活动：
阅读理解例2，归纳出“建模”思路，踊跃发表自己的看法，并小结出列分式方程解应用题的方法和步骤．
方法：
与列一元一次方程解应用题一样，着眼于找出应用题中数量间的相等关系进行“建模”．
步骤：
（1）弄清题意；
（2）设元；（3）找相等关系，建立模型；（4）解方程并验根；（5）写出答案．
【设计意图】
教师先以例1为素材，引导学生“建模”，然后放手让学生阅读理解例2，培养学生自主合作的思想．
二、合作学习，感知轻重
【显示投影片2】
演练题1某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组工作效率高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加1800个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时加工多少个零件？
思路点拨：
设乙组每小时加工x个零件，则甲组每小时加工（1+25%）x个零件．根据甲、乙两组所用时间的相等关系建立分式方程的模型：
，解出x=400．
演练题2某校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程可在下午5点到达，后来由于把速度加快
，结果于下午4点到达，求原计划行车的速度．
思路点拨：
设原计划的速度为x千米/时，则实际行军速度为（1+
）x千米/时，由此可以表示原计划行军时间以及实际行军时间，再根据实际行军比原计划提前1小时到达目的地．列出分式方程模型为
，解出x=10．
【活动方略】
教师活动：
操作投影仪，巡视、引导学生完成演练题，关注“学困生”．请部分学生上台“板演”．
学生活动：
先独立完成上面的演练题1，2，然后再与同伴交流、上台演示．
【设计意图】
在学习完例1、例2之后，学生的“建模”意识已拓展，再通过两个演练题加以巩固．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P154“练习”第1、2题；P155“习题16．3”第7题．
2．【探研时空】
甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程．已知甲队单独完成工程所需天数是乙队单独完成所需天数的
，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
（4天，6天）
四、课堂总结，发展潜能
提问：
1．将实际问题转化为数学模型，应把握哪些主要问题？
请你归纳方法．
2．对于从数学模型中得到的解的合理性方面你是怎么看的？
3．本节课的分式方程的应用方面应注意些什么？
举例说明．
五、布置作业，专题突破
1．课本P154“习题15．3”第1．（6）（8），2．
（2），3，4，5，7，8题．
2．选用课时作业设计．
六、课后反思
第二课时作业设计
【驻足“双基”】
1．当x=_______时，分式
与
的值相等．
2．当x=_______时，分式
与
互为相反数．
3．A、B两地相距80千米，甲骑车从A地出发1小时后乙也从A地出发，以相当甲1.5倍的速度追赶，当追到B地时甲比乙先到20分钟，求甲、乙速度．
4．某自来水公司水费计算办法如下：
若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m3，则超过部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的
，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元，超过5m3的部分每立方米收费多少元？
【聚集“中考”】
5．甲、乙两个工程队挖水渠，已知甲队挖420米所用时间与乙队挖490米所用时间相等，且乙队平均每小时比甲队多挖10米，问甲、乙两队每小时各挖多少米？
答案:
1．-12．-53．40千米/时，60千米/时4．设超过5m3部分每立方米收费x元，则
+5）×
得x=25．60米，70米.
第十六章分式复习与交流
教学内容
本节课主要内容是对本单元进行回顾．
教学目标
1．知识与技能
会进行分式的基本运算（加、减、乘、除、乘方），熟练掌握分式方程的解法，能应用“建模”思想解决实际问题．
2．过程与方法
经历回顾分式概念、计算、应用的过程，提高观察、类比归纳、猜想等能力，．领会其算理．
3．情感、态度与价值观
培养学生的自主、合作、交流的意识，和严谨的学习态度，让学生体会知识的内在价值．
重难点、关键
1．重点：
通过理解分式的基本性质，掌握分式的运算、应用．
2．难点：
分式的通分以及分式方程的“建模”．
3．关键：
把握分式的基本性质，领会算理．
教学准备
教师准备：
投影仪，制作与本节课有关的投影片，图片等．
学生准备：
做一份本单元知识小结．
学法解析
1．认知起点：
在学习了不等式基本性质、约分、通分、混合运算，以及分式方程、应用内容后进行反思．
2．知识线索：
3．学习方式：
采用知识体系梳理，合作交流的学习方式达到巩固提高本单元知识的目的．
教学过程
一、回顾交流，巩固反馈
【组织交流】
教师活动：
打开投影机，先将学生分成四人小组，交流各自准备的单元小结，然后开展小组汇报．
学生活动：
小组合作交流，交流内容是
（1）单元知识结构图；
（2）课本P157“回顾与思考”的5个问题；（3）自己的单元小结．
活动形式：
先小组合作交流，再小组汇报，师生互动．
媒体使用：
学生汇报中，可借用投影仪，辅助讲解．
教师归纳：
本章主要内容是分式的概念；分式的基本性质；分式混合运算和可化为一元一次方程的分式方程及其应用，这些内容在今后进一步学习方程、函数等知识时占有重要地位和作用．（投影显示本单元知识体系，见课本P157）
1．分式的基本性质是分式恒等变形的依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，因此学习中要注意以下三点：
（1）基本性质中的字母表示整数，（
，M≠0）
（2）要特别强调M≠0，且是一个整式，由于字母的取值可以是任意的，所以M就有等于零的可能性，因此，应用基本性质时，重点要考查M的值是否为零．
2．约分，约分的目的是化简，关键是找分子和分母的最高公因式，即系数的最大公约数、相同因式的最低次幂．
3．通分，通分关键是确定n个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫最简公分母．
4．分式的乘除法本质就是
（1）因式分解，
（2）约分．
5．分式的加减法本质就是
（1）通分，
（2）分解因式，（3）约分．
6．解分式方程的本质就是将分式方程化成整式方程，但要注意验根．
【设计意图】
让学生掌握课堂的主动权，以自主、合作、交流的手法调动学生的主观能动性．
二、寓思与练，讨论交流
【显示投影片1】
演练题1：
当x取什么数时，下列分式有意义？
（1）
．
思路点拨：
（1）令5x+1=0，相应求出x的值，然后x不取这个值时分式必有意义．（x≠-
）；
（2）由于无论x取何值x2+2的值均大于零，因此，x取任何实数，此分式都有意义；（3）因为任何数的平方均为非负数，则m2≥0，所以m≠0即可．
演练题2：
当x取什么数，下列分式的值为零？
（1）
．
思路点拨：
令分子等于零，由此求出x的值，此时应考虑分母是否等于零，若等于零，则分式无意义，应舍去．
（1）x=-
；
（2）x=2．
【活动方略】
教师活动：
操作投影仪，引导学生训练，并请学生上台板演．
学生活动：
独立完成演练题1，2，以练促思．
三、随堂练习，巩固深化
1．x为何值时，
的值为零；（x±5）
2．x为何值时，
没有意义；（x=9）
3．x为何值时，
的值等于1．（a=2）
4．课本P158复习题15第6题．
四、范例学习，提高认知
例1计算．
思路点拨：
按法则进行分式乘除法运算，应注意，如果运算结果不是最简分式，一定要约分，对于分式的乘除混合运算，按乘除的顺序依次进行；当分子、分母是多项式时，一般先分解因式，并在运算过程中约分，使运算简化．
例2计算．
思路点拨：
（1）分式的加减运算就是把异分母的加减化成同分母的分式的加减，因此，在通分过程中找出最简公分母是关键．
（2）对于分式的混合运算，应注意运算顺序．
【活动方略】
教师活动：
通过分析例1、例2的算理，增强学生的运算能力，提高运算的准确性．学生活动：
参与例1、例2的分析，同老师一道领会算理，掌握正确的学习方法．
五、随堂练习，巩固深化
1．计算．
2．先化简，再求值：
，其中x=
六、联系实际，实践应用
【显示投影片2】
例3解分式方程：
1-
[x=2]
思路点拨：
解分式方程基本思路是方程两边都乘以各分母的最简公分母，使方程化为整式方程，但解后必须验根．
例4某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为了支援祖国现代化建设，每天比原计划增加25%，可提前10天完成任务，问原计划每天生产多少台？
（80台）
思路点拨：
工程问题常用的关系式是时间＝
，设原计划每天生产x台，列式
＝10．
【活动方略】
教师活动：
操作投影仪，启发引导学生弄清题意，正确解答．
学生活动：
利用例3、例4，复习分式方程解法，以及应用题“建模”方法，并归纳小结．
七、继续演练，反复认识
【显示投影片3】
1．解方程：
=8（无解）
2．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因出现特殊情况多停一些，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度．
[提示：
设火车原速为x千米/小时，列车
，x=75]
3．课本P158“复习题15”第11，12题．
八、布置作业，专题突破
1．课本P158“复习题15”第1，2（3）（4）（6），3
（2）（4）（6），4，5，8，9，10题．
2．选用课时作业设计．
九、课后反思
课时作业设计
【驻足“双基”】
1．x______时，分式
有意义．
2．分式
的最简公分母是________．
3．计算：
（a+b）·
=______．
4．当x=______时，分式
的值相等．
5．当m=______时，方程
会产生增根．
6．若分式
的值为零，则a的值是（）．
A．±3B．-3C．3D．以上结论都不对
7．能使分式
-2值为零的x的值是（）．
A．x=4B．x=-4C．x=-4或x=4D．以上结论都不对
8．计算．
（1）
9．化简求值：
．
10．解方程：
=-3
【提升“学力”】
11．a为何值时，关于x的方程
的解等于零？
12．某个体商贩一次同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，讨论在这次买卖中，该商贩能否赚到钱？
13．南京到上海铁路长300千米，为适应两省、市经济发展的要求，客车的行车速度每小时比原来增加了40千米，这样使得由南京至上海的时间缩短了1.5小时，求列车原来的速度及现在的速度．
请参照上面的应用题，编一道类似的应用题（不需要求解）这道应用题应满足：
（1）不改变分式方程的形式；
（2）改变实际背景和数据．
答案:
1．x≠52．m（m+1）（m-1）3．a+b4．-55．-36．C7．A
8．
（1）
（提示：
先把a看作已知数，按照解分式方程的步骤求出x，然后令x=0，得到关于a的方程，求出a值．（8-a）x=1-5a，当a≠8时，x=
．）
12．赚不到13．设列车原来的速度为x千米/时，则
=1.5．
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