数列竞赛习题及解答.docx

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数列竞赛习题及解答

高中数学竞赛专题讲座之数列一、选择题部分2aaa1．（2006年江苏）已知数列的通项公式，则的最大项是（B）nnn2n4n5DABCaaaa12343.（2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=（p，p，„，p），P的“蔡查罗和”定义为s、s、„12n12s、的算术平均值，其中s=p+p+„p（1≤k≤n），若数列（p，p，„，p）的“蔡查罗和”为2007，那nk12k122006么数列（1，p，p，„，p）的“蔡查罗和”为（A）122006A.2007B.2008C.2006D.10044．（集训试题）已知数列{a}满足3a+a=4（n≥1），且a=9，其前n项之和为S。

则满足不等式nn+1n1n1|S-n-6|<的最小整数n是（）n125B．6C．7D．8A．51解：

由递推式得：

3（a-1）=-（a-1），则{a-1}是以8为首项，公比为-的等比数列，n+1nn31n8[1（）]1113nnn-1∴S-n=（a-1）+（a-1）+„+（a-1）==6-6×（-），∴|S-n-6|=6×（）<，得：

3>250，n12nn13312513∴满足条件的最小整数n=7，故选C。

20053x1nx5．（集训试题）给定数列{x}，x=1，且x=，则=（）n1n+1n3xn1n33A．1B．-1C．2+D．-2+3xn333解：

x=，令x=tanα，∴x=tan（α+）,∴x=x,x=1，x=2+,x=-2-,x=-1,n+1nnn+1nn+6n1234631xn3200533xx1x=-2+,x=2-,x=1，„„，∴有。

故选A。

567n1n1AB{a}、b{}6、（2006陕西赛区预赛）已知数列的前n项和分别为，记nnnnCaBbAab（n1）C则数列{}的前10项和为（C）nnnnnnnnAB1010ABABABA.B.C.D.1010101010102f（n）7．（2006年浙江省预赛）设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如222f（n）f（n）f（n）f（f（n））f（123）12314k1,2,3,，f（2006）则＝。

记，，20061k1k（A）20（B）4（C）42（D）145.（D）200640）40f（2006记做，于是有解：

将200640163758891454220416f（2006）f（16）f（16）f（16）145.f从16开始，是周期为8的周期数列。

故20062004425084n正确答案为D。

111二、填空题部分121111331aSS（a）1.数列的各项为正数,其前n项和满足,则nnnn146412an15101051nn1a=______.n0abcdda90a,b,c,da,b,c2．（2006天津）已知都是偶数，且，，若成等差数abcdb,c,d列，成等比数列，则的值等于194．

3.（2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，„，记这3n个数列前n项和为S（n），则=___________。

limS（n）n1nqfna2020a4．（2006年江苏）等比数列的首项为，公比．设表示这个数列的前1n2nfn项的积，则当12时，有最大值．32xyxA,j1,2,5.在轴的正方向上，从左向右依次取点列，以及在第一象限内的抛物线j2B,k1,2,ABAAk1,2,上从左向右依次取点列，使（）都是等边三角形，其中是坐标kk1kk0原点，则第2005个等边三角形的边长是2005。

Ba【解】：

设第n个等边三角形的边长为。

则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为nnaa3nnaaaaaa（。

），12n112n12222312Baaa再从第n个等边三角形上，我们可得的纵坐标为。

从而有nnnn22a1a332nnaaaaaaaa，即有。

n12n1n12n122222a1a12n2n1aaaaaaaa由此可得

（1）,以及

（2）12nn12n1n1222211a（aa）（aa）（aa）

（1）－

（2）即得.nnn1nn1nn122（aa1）（aa）0变形可得.nn1nn1112a0a1aa1aa0aa由于，所以。

在

（1）式中取n＝1，可得，而，故。

1111nn1nn122a2005因此第2005个等边三角形的边长为。

20052005!

1x2（n1）xxnxx6.（2005年浙江）已知数列，满足,且，则=。

1n1nn20052005!

x1n（n1）xxnx1【解】：

由，推出。

因此有n1n1nn1x1x1x1x11n1n2n1x1.n1n1（n1）n（n1）n（n1）（n1）n（n1）2（n1）!

2005!

11x1x。

从而可得即有。

n120052005!

（n1）!

aaaa3412|aT,i1,2,3,4},T{0,1,2,3,4,5,6},M{将M中的元素7.（2005全国）记集合i2347777按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）5563556211041103A．B．C．D．23423423423477777777777777774[aaa]7解：

用，得表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以12kp32M{a7a7a7a|aT,i1,2,3,4}{[aaaa]|aT,i1,2,3,4}.1234i12347i[6666][2400]M中的最大数为。

在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个71011044.[396][1104]7数是2400-2004=396。

而将此数除以，便得M中的数故选C。

1072347777

n1a,a,a,...,a,...,（3a）（6a）18,且a38．（2004全国）已知数列满足关系式，则012nn1n0aioi的值是_________________________。

111,n0,1,2,...,则（3）（6）18,b即解：

设nabbnn1n11113b6b10.b2b,b2（b）{b}故数列是公比为2的等比数列，n1nn1nn1nn3333111111nnn1n1b2（b）2（）2b（21）。

n0n33a3330n1nnn11112（21）n2i1b（21）（n1）2n3。

i321a33ioi0i0irst{a|a222,0tsr}r,s,t9．（2005四川）设为整数，集合中的数由小到大组成数列a{a}7,11,13,14,：

，则131。

36n2r0tsrC1r,s,t解：

∵为整数且，∴最小取2，此时符合条件的数有22r3C30,1,2s,t，可在中取，符合条件有的数有32r4C6同理，时，符合条件有的数有42r5C10时，符合条件有的数有52r6C15时，符合条件有的数有62r7C21时，符合条件有的数有7017ar7a222131因此，是中的最小值，即3636三、解答题部分apap1a2aan20{a}p1．（2006天津）已知数列满足，，，其中是12n2n1nnnna给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小．na2aan20baabbn20n1,2,【解】令，由题设，有，且n2n1nnn1nn1nn1n1b1bb[12（n1）]2n（n1）（bb）（i20）„„„5分于是，即．i1i1n1i1i1（n1）（n40）b1∴．（※）„„„„„„„10分n2apap1a2aa120p17aa又，，则．1232112aaaaan3∴当的值最小时，应有，，且．nnn1nn1baa0baa0即，．„„„„„„„„15分nn1nn1nn1（n1）（n40）2n40*nNn3由（※）式，得由于，且，解得，（n2）（n41）2n40an40∴当时，的值最小．„„„„„„„„„„„„„„„„„20分40

sin

（2）3sintanx,tanyyf（x）2．（2006陕西赛区预赛）（20分）已知,设,记。

xf（x）f（x）

（1）求的表达式;212xn2122*{a};a,a2af（a）（nN）{a}a

（2）定义正数数列。

试求数列的通项公式。

.nn1n1nnnn12213．（2006安徽初赛）已知数列满足，对于所有，有an0a0nN0n，求的通项公式．aa230a5a11a1nn1nnn4.（2006吉林预赛）设{a}为一个实数数列，a=t，a=4a（1－a）。

求有多少个不同的实数t使n1n+1nn2004得a=0。

（2+1）2006*aa4n1（nN）5．（2006年南昌市）将等差数列{}:

中所有能被3或5整除的数删去后,剩nnbb下的数自小到大排成一个数列{},求的值.n2006aa60aa解:

由于,故若是3或5的倍数,当且仅当是3或5的倍数.n15nn15n现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:

（0,+）＝（0,60]∪（60,120]∪（120,180]∪„,注意第一ba个区间段中含有{}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{}的项nnb7b11b23b19b31b43b47b598个,为:

,,,,,,,于是每个区间段中12435678bbb60ka恰有15个{}的项,8个{}的项,且有,k∈N,1≤r≤8.n8krrnb60250b602504315043b43由于2006＝8×250+6,而所以.,200666a1,a2aaa（n1,2,3,{a}6．（2004湖南）设数列满足条件：

，且）12n2n1nn1a1求证：

对于任何正整数n，都有nn1annaakk1aaaa11（k1,2,）证明：

令,则有，且，于是k1kk10aak1k1nnaaaaaaaakk10n1n1121n由算术-几何平均值不等式，可得+nnaaaaaaaak1k123n123n1k1k1111aa11a1注意到，可知，即n01n1aaaannnn1nn1na1,当n为偶数时，n2a1an2a7．（2006年上海）数列定义如下：

，且当时，11nn,当n为奇数时．an130a，求正整数n．已知n19a0,n1,2,a1a1n

（1）解由题设易知，．又由，可得，当n为偶数时，；当是奇n1n1a1数时，．„„„„„„（4分）nan1

30n3011aa111，所以n为偶数，于是，所以，是奇数．由nn19219192nn2198191a1a11于是依次可得：

是奇数，，是偶数，，n2n24111111142n6n611113aa111是偶数，是奇数，，，n6n248888148n14n14885a11a1是偶数，，是偶数，，n14n68163331816n1452a11是奇数，„„„„„（9分），n14323332n46n46331a11a1是偶数，，是奇数，，n14n46326422213264n110a211a21是偶数，，，n110n4664164128n1101，解得，n＝238．„„„„„„（14分）所以，12827a45a36nn{a}a1,a,nN.13.（2005全国）数列满足：

n0n12nN,anN,aa1证明：

（1）对任意为正整数；

（2）对任意为完全平方数。

nnn122a7a45a36,a5,{a}证明：

（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边n1nn1n22a7aaa90平方整理得①n1nn1n22a7aaa90②nn1nn1（aa）（aa7a）0,aa,aa7a0①-②得n1n1n1n1nn1nn1n1na7aa.③n1nb1a1,a5nN,a由③式及可知，对任意为正整数.„„„„„„„„„„10分01naa22n1n（aa）9（aa1）,aa1（）.

（2）将①两边配方，得④n1nnn1nn13（aa）mod3aa9a（aa）由③≡n1nnn1nnn1aannn1

（1）aaaa∴≡≡0（mod3）∴为正整数n1n103aa1④式成立.是完全平方数.„„„„„„„„„„„„„„20分nn1