第三章几何.docx
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第三章几何
第三章几何
§3.1自我检测
1.Inthefigureshownbelow,BE//CD,AC//ED.CAbisects
bad,andDAbisects
cae,whatisthemeasureof
cad?
2.thetrianglebelowhasahypotenusewithalengthof13feet.whatisthelengthofBC?
3.AsmallsquaretableandanL-shapedtablefittogetherwithnospacebetweenthemtocreatealargesquaretable.theareaofthelargesquaretableis25squarefeetandis9squarefeetgreaterthanthesmallsquare.whatisthevalueofx,oneedgeoftheL-shapedfigure?
4.Howmanydiagonalsdoesoctagonhave?
A
5.inthecirclebelow,Oisthecenterandis5feetfromthechordAB.Theareaofthecircleis169πsquarefeet.WhatisthelengthofAB,infeet?
6.thetentillustratebelowisintheshapeofarighttriangularprismandismadeofnylon.Howmanysquarefeetofnylonisrequiredforthefront,rear,and2sidesofthetent?
⾃自测答案：
1.60°考点：
§3.2.1点线⾯面pointline&plane
2.4.4考点：
§3.2.3三⾓角形triangels
3.1考点：
§3.2.3四边形quadrilaterals
4.6考点：
§3.2.4多边形polygons
5.24考点：
§3.2.5圆circle
6.94考点：
§3.2.6⽴立体⼏几何solidgeometry
§3.2.1点线面pointline&plane
1.点point
两条线如果相交，会得到一个交点intersection;除了圆之外的几何图形都有顶点vertice;一个线段的两端叫做端点endpoint;中间叫做中点midpoint。
两个点可以确定一条直线line,三个点可以确定一个平面plane。
2．直线Line
没有端点的线朝两端无限延长，叫做Line;有一个端点的线朝一端无限延长叫射线ray;有两个端点的线有固定的长度，叫做线段linesegment。
中点平分bisect—条线段。
直线在平面内有两种位置关系，第一种是相交intersect,第二种是平行parallel。
直线相交有一种特殊的关系叫做垂直perpendicular,两条直线之间所成的夹角为90°。
3.平面plane
平面是无限个点的一个集合，有着无限的长度和宽度，没有厚度。
§3.2.2angles角
在角的分类上，我们把0°到90°之间的角叫做锐角acuteangle;90°角叫做直角rightangle;90°到180°之间的角叫做钟角obtuseangle。
直线所成的角是180°，围绕一个点一周所称的角为360°
在平行线里有一系列的角的性质如下：
对顶角相等，同旁角相等。
在三角形里，外角exteriorangle等于相对的两个内角之和。
§3.2.2三角形triangels
三角形有一系列的性质，在此我们一起回顾一下。
1.边sides
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，否则不能构成三角形。
所以如果告诉一边长为a，另一边长为b，那么第三边的范围就是大于|a-b|而小于a+b。
2.内角interiorangels
所有三角形都有一个共同的性质：
三个内角之和为180°。
3.周长和面积perimeter&area
三角形的周长P=a+b+c，三边之和
三角形的面积S=1/2（底
高），底可以为任意一边，高就是对应顶点到此边的垂线段。
如果知道任意两边及其夹角，面积公式还可以写成：
S=
absinθ
a,b为任意两边长，θ为这两边的夹角。
4.特殊三角形
在考查三角形时，一般会出现对几种特殊三角形的考查。
我们要记住它们的英文名，以及对应的性质。
等腰三角形isoscelestriangles:
如果三角形有两条边相等，我们把这样的三角形称为等腰三角形，如果沿着顶点做底边的垂线，交点刚好平分底边，这是等腰三角形的性质。
等边三角形equilateraltriangles:
如果三角形三边都相等，那么我们
把这种三角形称为等边三角形。
等边三角形三边相等，三个内角也相等，分别是60°。
如果设a为边长，等边三角形的周长和面积分别为：
周长P=3a
面积S=
a2
直角三角形righttriangles:
如果三角形有一个内角为90°,那么我们把这种三角形称为直角三角形。
直角的两条临边我们称为Legs,对边称为hypotenuse。
在直角三角形里有一个著名的定理叫勾股定理PythagreanTheorem:
设a,b为直角边，c为斜边，那么一定有：
a2+b2=c2
如果三角形的三边满足勾股定理，那么它也一定是直角三角形。
了解几组能够构成直角三角形的勾股数也没有坏处，（3,4,5），（6,8，10），（7，12，13），（7，24，25）。
在直角三角形里，两个直角边互为底和高，所以：
面积S=
ab
周长P=a+b+
还有一种特殊的直⾓角三⾓角形是等腰直⾓角三⾓角形，也就是两条直⾓角边相
等，两个底⾓角等于45°。
等腰直⾓角三⾓角形边⻓长的⽐比例为1：
1：
，这个性质在
很多地⽅方⽤用起来⾮非常⽅方便。
5相似和全等similar&congruenttriangles
如果两个三角形三个角完全相同，只是边的长度不同，我们把这样的三角形叫做相似三角形similartriangels，它们的形状完全相同，只是大小不—样。
对应边的比例叫做相似比。
如果a1:
a2=x,那么b1:
b2=c1:
c2=x如果其次如果边的相似比为X，那么面积之比就是x2。
如果两个三角形完全相同，就叫做全等三角形congruenttriangles。
§3.2.3四边形quadrilaterals
四边形也是几何常考的图形，需要掌握各种四边形的名称，周长和面积的算法以及一些特殊的性质。
下面我们分类讨论几种特殊的四边形。
1.正方形square
四条边都相等，而且内角都是直角的四边形称为正方形。
设正方形边长为a，那么：
周长P=4a面积S=a2
对角线trigonal=
a长方形rectangle
2.内角都是直角的四边形称为长方形，设长方形的长length为a,宽width为b,那么：
周长P=2（a+b）面积S=ab
对角线trigonal=
3.平行四边形parallelgram
如果一个四边形对边两两平行，那么这样的四边形叫做平行四边形，从这个意义上讲，正方形和长方形都是特殊的平行四边形。
假设平行四边形边长分别为a,b那么：
周长P=2（a+b）
面积S=absin
其中
为ab的夹角。
4.菱形rhombus
如果一个四边形四边相等，我们把这种四边形称为菱形。
从本质上讲，菱形就是a=b的平行四边形，所以周长和面积的算法同上。
菱形有一个值得注意的性质就是两条对角线是相互垂直的。
5.梯形trapezoid
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
梯形只需要掌握面积的算法即可。
面积S=
h
a,b分别是上底和下底的长度，h是高。
§3.2.4多边形polygons
ACT数学一般考查的是正多边形regularpolygons。
需要了解正多边形内角的算法，以及面积的算法。
我们以六边形hexagon为例。
多边形内角和为（n-2）180°。
其中n为边的数目。
所以每一个角的大小为
180。
对六边形，内角和为（6-2）180°=720°，内角大小为720°/6=120°。
多边形的面积算法，一般是把多边形切割成几个规则的形状，比如六边形就可以切割成两个等腰梯形，或者六个等边三角形。
如果我们切割成六个三角形，设正六边形的边长为a，每一个三角形的面积是
a2,所以六边形的面积是
a2。
其他多边形可以用此方法以此类推。
注意几种常见多边形的英文，五边形pentagon,八边形octagon。
§3.2.5圆circle
在平面内，绕着一个点等距的点的集合叫圆。
中心的这个点叫做圆心center,等距的距离叫半径radius,圆上任意两点之间的连线叫弦chord,最长的弦是直径diameter,直径刚好是半径的两倍d=2r。
关于圆要知道周长面积的算法，切线的意义，扇形弧长的算法等等。
1.周长和面积circumference&area
圆的周长C=2πr=2πd
面积S=πr2
这两个公式对中国考生来讲并不陌生。
其中n是圆周率，是一个常数。
大部分时候约等于3.14计算。
2.切线tangent
一条直线与圆有三种关系：
没有交点；有两个交点；只有一个交点，这种情况我们称之为相切。
切线有一条非常重要的性质就是，圆心到切点的连线和切线垂直。
3.扇形sector
圆的两条半径就可以把圆割成两个封闭图形，我们称之为扇形。
扇形的一个重要的量是圆心角centralangle。
一般用
表示。
扇形的弧长
arc=
r
其中
角必须转换成弧度制。
面积S=
4.内切和外接inscribe
如果一个三角形内切一个圆，英文表达成acircleisinscribedinatriangle。
如果一个圆内接一个三角形，应为表达成atriangleisinscribedinacircle。
内接三角形有一个重要的性质是，如果三角形的一边通过圆心，也就是直径，那么这条边对应的角为直角。
§3.2.6立体几何solidgeometry
立体几何涉及到一些三维立体图形three-dimentionalfigures的面积以及表面积的计算。
下面我们一一复习
1.正方体cube
正方体是长宽高都相等的立体图形。
在立体图形里我们一般把边长称之为棱长edge。
设正方体棱长为a。
表面积surfacearea:
S=6a2
体积volume:
V=a3
体对角线diagonal:
l=
a
2.长方体rectangularsolid
设长方体的长宽高分别是a,b,c。
表面积：
S=2ab+2ac+2bc
体积：
V=abc
体对角线：
l=
3.棱柱prism
一个平面多边形向垂直纸面方向平移所扫过的空间构成了棱柱。
我们设这个平面多边形的周长为P,面积为A,扫过的高度为h。
表面积:
S=Ph+2A
相当于两个底面面积加上侧面面积。
体积:
V=Ah
其实正方体和长方体都是特殊的棱柱。
4.圆柱circularcylinder
圆柱跟棱柱的构成非常相似，只不过底面是一个圆。
所以对于圆柱来讲上面的公式同样适用：
表面积:
S=Ph+2A
体积:
V=Ah
其中A=π
为底面圆的面积。
5.圆锥cone
关于圆锥我们只需要知道体积如何计算。
圆锥的体积是等底等高的圆柱的体积的三分之一，所以有：
6.棱锥pyramid
棱锥同理，它的体积等于等底等高的棱柱体积的三分之一，所以有:
V=
其中A是底面多边形的面积。
7.球sphere
球的表面积S=4π
;体积V=
π
§3.3成果检测
C
1.thedegreemeasureoftheinterioranglesofaabc,shownbelow,formaarithmeticsequencewithcommondifferenceof15°.Whatisthelasttermofthesequence?
2.Inthefigurebelow,whatisthelengthofAE?
A.39.B.273C.100D.91E.150
3.RectangleABCDconsistsof5congruentrectanglesasshownbelow.WhichofthefollowingistheratioofABtoAD?
A.4:
3B.5:
3C.6:
3D.3:
2E.4:
3
4.fortherectangleshowninthestandard（x,y）coordinateplanebelow,whatarethecoordinatesoftheunlabeledvertex?
A.（4,5）B.（4,7）C.（6,7）D.（5,6）E.（10,4）
5.whatistheareaofthefigurebelow?
A.22B.20C.38D.29E.30
6.Asquareisinscribedinaregularoctagon,asshownbelow.whatistheratiooftheperimetersoftheperimetersofthem?
A．4：
2+
B.4：
1+
C.2:
1+
D.2:
1E.
：
1
7.Inthefigurebelow,OA=AB,bothAandBarepointsonthecircle,withradiushavingalengthof4inches.Whatistheareaofthetriangle,insquareinches?
A.
B.2
C.3
D.2
E.
8.Inthefigureshownbelow,thecirclewitharadiusof6isdividedintothreeparts.whatistheareaofthesmallestregion?
A．6π-9
B.36π-12
C.9πD.9
E.30π
检测答案：
1-5DDBCA6-8AEA
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