面积计算奥数题.docx

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面积计算奥数题

六年奥数综合练习题十答案（图形面积）

简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，第一要能辨别一些特

其余图形：

正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，而后会计算这些图形的面积.

假如我们把这些图形画在方格纸上，不只简单辨别，并且简单计算.

上边左图是边长为4的正方形，它的面积是4×4＝16（格）；右图是3×5的长方形，它的面积是3×5＝15（格）.

上边左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是5×4÷2＝10（格）；右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2＝8（格）.这里特

别说明，这两个三角形的高线相同长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.

上边左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是5×3＝15（格）；右图是一个梯形，上底是4，下底是7，高是4，它的面积是

（4+7）×4÷2＝22（格）.

上边面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.假如小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；假如小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，

我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.

一、三角形的面积

用直线构成的图形，都能够区分红若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：

三角形面积=底×高÷2.

这个公式是很多面积计算的基础.所以我们不单要掌握这一公式，并且要会灵巧

运用.

例1右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？

解：

三角形ABD与三角形ADC的高相同.

三角形ABD面积=4×高÷2.

三角形ADC面积=2×高÷2.

所以三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：

三角形的随意一边都能够看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可当作有三个底，和相应的三条高.

例2右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.

解：

BC＝2＋4＋2＝8.

三角形ABC面积=8×4÷2＝16.

我们把A和D连成线段，构成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，所以三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.相同道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.

三角形DFE面积=16÷4＝4.

例3右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部暗影部分面积.

解：

ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形暗影部分高都与BE相同长.

而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.所以这三个三角形的面积之和是

FE×BE÷2，

它恰巧是长方形ABEF面积的一半.

相同道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（暗影部分）面积之和是它的

面积的一半.

所以全部暗影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是

20×12÷2＝120.

经过方格纸，我们还能够从另一个门路来求解.当我们画出中间两个三角形的高

线，把每个三角形分红两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的

一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.所以全部这些直角三角形（暗影部分）的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.

例4右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（暗影部分）的面积是多少？

解：

把A和C连成线段，四边形ABCD就分红了两个，三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，所以面积=4×10÷2＝20.

对三角形ADC来说，DC是底边，高是8，所以面积=7×8÷2＝28.

四边形ABCD面积=20＋28＝48.

这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.

例5在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面积.

解：

要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但简单求出下边列的三个直角三角形的面积

三角形ABE面积=3×6×2＝9.

三角形BCF面积=6×（6-2）÷2＝12.

三角形DEF面积=2×（6-3）÷2＝3.

我们只需用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：

三角形BEF面积=6×6-9-12-3＝12.

例6在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度以下图，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（暗影部分）的面积.

解：

四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不行能的，我们想法求出三

角形DCE与三角形MBE的面积，而后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就能够求

得四边形ABMD的面积.

把M与C用线段连起来，将三角形DCE分红两个三角形.三角形DCE的面积是7

×2÷2＝7.

由于M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE

面积是7÷2＝3.5.

由于BE＝8是CE＝2的4倍，三角形MBE与三角形MCE高相同，所以三角

形MBE面积是

3.5×4＝14.

长方形ABCD面积=7×（8＋2）=70.

四边形ABMD面积=70-7-14＝49.

二、相关正方形的问题

先从等腰直角三角形讲起.

一个直角三角形，它的两条直角边相同长，这样的直角三角形，就叫做等腰直

角三角形.它有一个直角（90度），还有两个角都是45度，往常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.

两个相同的等腰直角三角形，能够拼成一个正方形，如图（a）.四个相同的等腰直角三角形，也能够拼成一个正方形，如图（b）.

一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是直角边长的平方÷2.

当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是斜边的平方÷4

例7右图由六个等腰直角三角形构成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个

三角形的直角边长，恰巧是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.

解：

以前面的图形上能够知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，

等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因今后一个三角形面积是前一个三

角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2＝32.

这一个图形的面积是

32＋16＋8＋4＋2＋1＝63.

例8如右图，两个长方形叠放在一同，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中暗影部分的总面积是多少？

解：

为了说明的方便，在图上标上英文字母D，E，F，G.

三角形ABC的面积=2×2÷2＝2.

三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.

三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边相同长，所以三角形ADE面积=ABC

面积×2＝4.

三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边相同长.所以三角形EFG面积=ABC面

积÷2＝1.

暗影部分的总面积是4＋1＝5.

例9如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD＝7，BC＝3，三个角的度数：

角B和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积.

解：

这个图形能够看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形

BCE.

由于

A是45°，角D是90°，角E是

180°-45°-90°＝45°，

所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即

7×7÷2-3×3÷2＝20.

这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.本来试题图上并无画出虚线三角形.

参赛同学是不大简单想到把图形补全成为等腰直角三角形.所以做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分红两个直角三角形，并以为这两个直角三角形是相同的，这就大错特错了.这样做，角A是45°，这一条件还用得上吗？

图形上线段相等，两个三角形相等，是不可以靠眼睛来测定的，一定从几何学上找出

依据，小学同学还没有学过几何，千万不要随意对图形下结论.我们应当从题目中已有的条件作为思虑的线索.有45°和直角，你应第一考虑等腰直角三角形.

此刻我们转向正方形的问题.

例10在右图11×15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（暗影部分）面积是多少？

解：

长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.

长-宽=15-11＝4

是“三”正方形的边长.

宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因其中间小正方形边长=11-4×2＝3.中间小正方形面积=3×3＝9.

假如把这一图形，画在方格纸上，就了如指掌了.

例11从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.

解：

剩下的长方形土地，我们已知道

长-宽=1（米）.

还知道它的面积是15.75平方米，那么可否从这一面积求出长与宽之和呢？

假如能求出，那么与上边“差”的算式就形成和差问题了.

我们把长和宽拼在一同，如右图.

从这个图形还不可以算出长与宽之和，但是再拼上相同的两个正方形，以下列图就

拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰巧是长方形的长与宽之和.

但是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，认真察看一下，就

会发现，它的边长，恰巧是长方形的长与宽之差，等于1米.

此刻，我们就能够算出大正方形面积：

15.75×4+1×1＝64（平方米）.

64是8×8，大正方形边长是8米，也就是说长方形的

长+宽=8（米）.

所以

长=（8＋1）÷2＝4.5（米）.

宽=8-4.5＝3.5（米）.

那么划出的长方形面积是

4.5×1＝4.5（平方米）.

例12如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一同.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG（暗影部分）的面积.

解：

四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，所以四边形AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2

三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=（小正方形边长+大正方形边

长），所以

三角形ADG面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2.

四边形AECD与三角形ADG面积相同大.四边形AHCD是它们二者共有，所以，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有

暗影部分面积=三角形ECG面积

=小正方形面积的一半

=6×6÷2＝18.

十分风趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长相关，而与大正方形边长却

没相关系.

三、其余的面积

这一节将侧重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但能够给

你启迪的内容许多，请读者认真领会.

例13画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图），求它的面积.

解：

直接计算粗线围成的面积是困难的，我们经过扣除四周正方形和直角三角

形来计算.

四周小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，

所以围成面积是

4×4-3-5-1.5＝6.5.

例6与此题在解题思路上是完整类同的.

例14下列图中ABCD是6×8的长方形，AF长是4，求暗影部分三角形AEF的面

积.

解：

三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.假如把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就能够求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很简单算出它的面积.所以

三角形AEF面积＝（三角形AEB面积）-（三角形AFB面积）

＝8×6÷2-4×8÷2

＝8.

这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，自然扩大的部分也要简单求出，进而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这类思路.

例15下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（暗影部分）有多大？

解：

我们第一要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.

从图上能够看出，底是2，高恰巧是长方形的宽度.所以这个平行四边形的面积与10×2的长方形面积相等.

能够假想，把这个平行四边形换成10×2的长方形，再把横竖两条都移至边上（如前页右图），草地部分面积（暗影部分）仍是与本来相同大小，所以

草地面积=（16-2）×（10-2）＝112.

例16右图是两个相同的直角三角形叠在一同，求暗影部分的面积.

解：

实质上，暗影部分是一个梯形，但是它的上底、下底和高都不知道，不可以直接来求它的面积.

暗影部分与三角形BCE合在一同，就是原直角三角形.你能否看出，ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一同，也是原直角三角形.所以，梯形ABCD的面积与暗影部分面积相同大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.所以暗影部分面积等于

梯形ABCD面积=（8＋8-3）×5÷2＝32.5.

上边两个例子都启迪我们，怎样把不简单算的面积，换成简单算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这类“换”的本事，第一要提升对图形的察看能力.

例17下列图是两个直角三角形叠放在一同形成的图形.已知AF，FE，EC都等于3，CB，BD都等于4.求这个图形的面积.

解：

两个直角三角形的面积是很简单求出的.

三角形ABC面积=（3＋3＋3）×4÷2＝18.

三角形CDE面积=（4＋4）×3÷2＝12.

这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只需减去这个重叠部分，所

求图形的面积立刻能够得出.

由于AF＝FE＝EC＝3，所以AGF，FGE，EGC是三个面积相等的三角形.

由于CB＝BD＝4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.

2×三角形DEC面积

=2×2×（三角形GBC面积）＋2×（三角形GCE面积）.

三角形ABC面积

=（三角形GBC面积）＋3×（三角形GCE面积）.

四边形BCEG面积

=（三角形GBC面积）＋（三角形GCE面积）

=（2×12＋18）÷5

＝8.4.

所求图形面积=12＋18-8.4＝21.6.

例18以下页左图，ABCG是4×7长方形，DEFG是2×10长方形.求三角形BCM与三角形DEM面积之差.

解：

三角形BCM与非暗影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非暗影部分合起来是两个长方形的和.

（三角形BCM面积）-（三角形DEM面积）

=（梯形ABEF面积）-（两个长方形面积之和

=（7＋10）×（4＋2）÷2-（4×7＋2×10）

=3.

例19上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是

13，

35，49.那么图中暗影部分的面积是多少？

解：

所求的影阴部分，恰巧是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，

49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE遮住的部分，所以

（三角形ABC面积）+（三角形CDE面积）＋（13＋49＋35）

＝（长方形面积）＋（暗影部分面积）.

三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽；三角形CDE，底是长方形的

宽，高是长方形的长.所以，三角形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面

积的一半，就有

暗影部分面积=13＋49＋35＝97.

内容总结

（1）六年奥数综合练习题十答案（图形面积）

简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，第一要能辨别一些特

其余图形：

正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，而后会计算这些图形的面积.

假如我们把这些图形画在方格纸上，不只简单辨别，并且简单计算.

上边左图是边长为4的正方形，它的面积是4×4＝16（格）