完整版同济第六版《高等数学》教案WORD版第06章定积分的应用doc.docx
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高等数学教案§6定积分的应用
第六章定积分的应用
教学目的
1、理解元素法的基本思想；
2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体
积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。
3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。
教学重点：
1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。
2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。
教学难点：
1、截面面积为已知的立体体积。
2、引力。
§61定积分的元素法
回忆曲边梯形的面积
设yf（x）0（x[ab]）如果说积分
b
Aaf（x）dx
是以[ab]为底的曲边梯形的面积则积分上限函数
x
A（x）af（t）dt
就是以[ax]为底的曲边梯形的面积而微分dA（x）f（x）dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面
积的近似值Af（x）dxf（x）dx称为曲边梯形的面积元素
以[ab]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f（x）dx为被积表达式以
[ab]为积分区间的定积分
b
Aaf（x）dx
一般情况下为求某一量U先将此量分布在某一区间[ab]上分布在[ax]上的量用函数
U（x）表示再求这一量的元素dU（x）设dU（x）u（x）dx然后以u（x）dx为被积表达式以[ab]为积
分区间求定积分即得
b
Uaf（x）dx
用这一方法求一量的值的方法称为微元法（或元素法）
内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室
高等数学教案§6定积分的应用
§62定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积
1．直角坐标情形
设平面图形由上下两条曲线yf上（x）与yf下（x）及左右两条直线xa与xb所围成则面积元
素为[f上（x）f下（x）]dx于是平面图形的面积为
b
Sa[f上（x）f下（x）]dx
类似地由左右两条曲线x左（y）与x右（y）及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为
d
Sc[右（y）左（y）]dy
例1计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积
解
（1）画图
（2）确定在x轴上的投影区间:
[01]
（3）
确定上下曲线
f上（x）
x,f下（x）x2
（4）
计算积分
1
3
1x3]1
1
S（xx2）dx[2x2
0
3
3
0
3
例2计算抛物线
y22x与直线y
x4所围成的图形的面积
解
（1）画图
（2）确定在y轴上的投影区间:
[24]
（3）
确定左右曲线
左（y）
1
2
右（y）y
4
2y
（4）
计算积分
4
[1y24y1y3]4218
S（y41y2）dy
2
2
2
6
例3求椭圆x2y21所围成的图形的面积a2b2
解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍
椭圆在第一象限部分在
x轴上的投影
区间为[0a]
因为面积元素为
ydx所以
a
S40ydx
椭圆的参数方程为:
xacosty
bsint
于是
a
0
S40ydx
4
2
bsintd（acost）
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高等数学教案
§6定积分的应用
4ab
0
sin2tdt
2ab02（1cos2t）dt2ab2
ab
2
2．极坐标情形
曲边扇形及曲边扇形的面积元素
由曲线
（）及射线
围成的图形称为曲边扇形
曲边扇形的面积元素为
dS
1[（
）]2d
2
曲边扇形的面积为
S
1[
（
）]2d
2
例4.
计算阿基米德螺线
a
（a>0）上相应于
从0变到2
的一段弧与极轴所围成的图形的
面积
解:
S
21（a）2d
1a2[
13]02
4a23
0
2
2
3
3
例5.计算心形线a（1cos）（a>0）所围成的图形的面积
解:
S2
1
[a（1cos
]2d
a2
（1
2cos
1cos2）d
0
2
0
2
2
a2[3
2sin
1sin2
]
3a2
2
4
0
2
二、体积
1．旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体
这直线叫做旋转轴
常见的旋转体
圆柱、圆锥、圆台、球体
旋转体都可以看作是由连续曲线
yf（x）、直线xa
、ab及x轴所围成的曲边梯形绕
x轴旋
转一周而成的立体
设过区间[a
b]内点x
且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为
V（x）当平面左右平移dx
后
体积的增量近似为V
[f（x）]2dx
于是体积元素为
dV[f（x）]2dx
旋转体的体积为
V
b
[f（x）]2dx
a
例1
连接坐标原点
O及点P（hr）的直线、直线x
h及x轴围成一个直角三角形
将它绕x
轴旋转构成一个底半径为
r、高为h的圆锥体
计算这圆锥体的体积
解:
直角三角形斜边的直线方程为
yr
x
h
所求圆锥体的体积为
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高等数学教案
§6定积分的应用
h
r
2
r
2
1
3
h
1
2
V
0（
h
x）
dx
h2
[3
x
]0
3hr
例2
计算由椭圆
x
2
y2
1
所成的图形绕
x轴旋转而成的旋转体
（旋转椭球体）的体积
b2
a2
解:
这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆
y
b
a
2
x
2
a
及x轴围成的图形绕
x轴旋转而成的立体
体积元素为
dVy2dx
于是所求旋转椭球体的体积为
a
2
2
V
b2
（a2
x2）dx
b2
[a2x
1x3]aa
4ab2
a
a
a
3
3
例3
计算由摆线
xa（tsint）
ya（1
cost）的一拱
直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴
旋转而成的旋转体的体积
解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为
Vx
2a
y2dx
2
a2（1cost）2a（1cost）dt
0
0
3
2
2
3
a
0
（1
3cost
3cos
t
cost）dt
52a3
所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差
设曲线左半边为
x=x1（y）、右半
边为x=x2（y）
则
Vy
2a
2
（y）dy
2a
2
0
x2
0
x1（y）dy
a2（t
sint）2
asintdt
a2（tsint）2
asintdt
2
0
a3
2
（t
sint）2sintdt
6
3a3
0
2．平行截面面积为已知的立体的体积
设立体在x轴的投影区间为[ab]
过点x且垂直于x轴的平面与立体相截
截面面积为A（x）
则体积元素为A（x）dx
立体的体积为
b
V
aA（x）dx
例4一平面经过半径为
R的圆柱体的底圆中心
并与底面交成角
计算这平面截圆柱所
得立体的体积
解取这平面与圆柱体的底面的交线为
x轴底面上过圆中心、且垂直于
x轴的直线为y轴
那么底圆的方程为
x2
y2R2
立体中过点
x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形
两个直角边
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高等数学教案§6定积分的应用
分别为
R2
x2及
R2
x2
tan
因而截面积为
A（x）
1（R2
x2）tan
于是所求的立体体积为
2
V
R1
（R
2
x
2
）tandx
1
tan
[R
2
x
1
3
R
2
R
3
tan
R2
2
3
x
]R
3
例5求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为
h的正劈锥体的体积
解:
取底圆所在的平面为
xOy平面
圆心为原点
并使x轴与正劈锥的顶平行
底圆的方程
为x2
y2R2
过x轴上的点x（R截正劈锥体得等腰三角形
这截面
的面积为
A（x）
h
y
h
R2
x2
于是所求正劈锥体的体积为
V
R
h
R2
x2dx
2R2h2cos2d
1
R2h
R
0
2
三、平面曲线的弧长
设AB是曲线弧上的两个端点
在弧AB上任取分点AM0
M1M2
Mi1
Mi
Mn1
MnB
并依次连接相邻的分点得一内接折线
当分点的数目无限增加且每个小段
Mi
1Mi都缩向
n
一点时
如果此折线的长
|Mi1Mi|的极限存在
则称此极限为曲线弧
AB的弧长
并称此曲线
i
1
弧AB是可求长的
定理光滑曲线弧是可求长的
1．直角坐标情形
设曲线弧由直角坐标方程
y
f（x）
（ax
b）
给出
其中f（x）在区间[a
b]上具有一阶连续导数
现在来计算这曲线弧的长度
取横坐标
x为积分变量
它的变化区间为
[a
b]
曲线yf（x）上相应于[ab]上任一小区间[x
xdx]的一段弧的长度
可以用该曲线在点
（x
f（x））处的切线上相应的一小段的长度来近似代替
而切线上这相应的小段的长度为
（dx）
2
（dy）
2
1
2
dx
y
从而得弧长元素（即弧微分）
ds
1
y2dx
以1
y2dx为被积表达式
在闭区间[ab]上作定积分
便得所求的弧长为
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b2
sa1ydx
在曲率一节中
我们已经知道弧微分的表达式为
ds
1y2dx
这也就是弧长元素
因此
3
例1
计算曲线y
2x2
上相应于x从a到b的一段弧的长度
3
1
解
y
x2
从而弧长元素
ds
1
y2dx
1xdx
因此
所求弧长为
b
[2（1
3
b
2[（1
3
3
s
1
xdx
b）2
（1
a）2]
a
x）2]a
3
3
例2
计算悬链线y
cchx上介于xb与x
b之间一段弧的长度
c
解
y
shx
从而弧长元素为
c
ds
1
sh
2
x
dx
ch
x
dx
c
c
因此
所求弧长为
b
x
b
x
x
b
b
s
bchcdx
20chcdx
2c[shcdx]0
2cshc
2．参数方程情形
设曲线弧由参数方程
x
（t）、y
（t）（
t
）给出其中（t）、（t）在[
]上具有连续导数
因为dy
（t）
dx
（t）dt
所以弧长元素为
dx
（t）
ds
1
2（t）
（t）dt
2
2
2（t）
（t）
（t）dt
所求弧长为
s
2（t）
2（t）dt
例3
计算摆线x
a（
sin）
y
a（1cos
）的一拱（0
2）的长度
解弧长元素为
ds
a2（1
cos
）2
a2sin2
d
a
2（1
cos
）d
2asin
d
2
所求弧长为
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高等数学教案
s
3．极坐标情形
设曲线弧由极坐标方程
2
0
§6定积分的应用
2asind
2a[2cos]02
8a
2
2
（）（）
给出其中r（）在[]上具有连续导数由直角坐标与极坐标的关系可得
x（）cosy（）sin（）
于是得弧长元素为
ds
x2（）y2（）d
2（）
2（）d
从而所求弧长为
s
2（
）
2（）d
例14
求阿基米德螺线
a
（a>0）相应于
从0到2
一段的弧长
解
弧长元素为
ds
a22
a2d
a1
2d
于是所求弧长为
2
2
a[2142
ln（2
142）]
s0a1
d
2
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§63功水压力和引力
一、变力沿直线所作的功
例1把一个带
q电量的点电荷放在r轴上坐标原点
O处
它产生一个电场
这个电场对周
围的电荷有作用力
由物理学知道
如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点
O为r的地
方那么电场对它的作用力的大小为
Fkq
（k是常数）
r2
当这个单位正电荷在电场中从
ra处沿r轴移动到r
b（a
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