完整版同济第六版《高等数学》教案WORD版第06章定积分的应用docWord文档下载推荐.docx
《完整版同济第六版《高等数学》教案WORD版第06章定积分的应用docWord文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版同济第六版《高等数学》教案WORD版第06章定积分的应用docWord文档下载推荐.docx（24页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
Sc[右（y）左（y）]dy
例1计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积
解
（1）画图
（2）确定在x轴上的投影区间:
[01]
（3）
确定上下曲线
f上（x）
x,f下（x）x2
（4）
计算积分
1
3
1x3]1
S（xx2）dx[2x2
例2计算抛物线
y22x与直线y
x4所围成的图形的面积
（2）确定在y轴上的投影区间:
[24]
确定左右曲线
左（y）
2
右（y）y
4
2y
[1y24y1y3]4218
S（y41y2）dy
6
例3求椭圆x2y21所围成的图形的面积a2b2
解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍
椭圆在第一象限部分在
x轴上的投影
区间为[0a]
因为面积元素为
ydx所以
a
S40ydx
椭圆的参数方程为:
xacosty
bsint
于是
bsintd（acost）
高等数学教案
4ab
sin2tdt
2ab02（1cos2t）dt2ab2
ab
2．极坐标情形
曲边扇形及曲边扇形的面积元素
由曲线
（）及射线
围成的图形称为曲边扇形
曲边扇形的面积元素为
dS
1[（
）]2d
曲边扇形的面积为
S
1[
（
例4.
计算阿基米德螺线
（a>
0）上相应于
从0变到2
的一段弧与极轴所围成的图形的
面积
解:
S
21（a）2d
1a2[
13]02
4a23
例5.计算心形线a（1cos）（a>
0）所围成的图形的面积
S2
[a（1cos
]2d
a2
（1
2cos
1cos2）d
a2[3
2sin
1sin2
]
3a2
二、体积
1．旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体
这直线叫做旋转轴
常见的旋转体
圆柱、圆锥、圆台、球体
旋转体都可以看作是由连续曲线
yf（x）、直线xa
、ab及x轴所围成的曲边梯形绕
x轴旋
转一周而成的立体
设过区间[a
b]内点x
且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为
V（x）当平面左右平移dx
后
体积的增量近似为V
[f（x）]2dx
于是体积元素为
dV[f（x）]2dx
旋转体的体积为
V
[f（x）]2dx
例1
连接坐标原点
O及点P（hr）的直线、直线x
h及x轴围成一个直角三角形
将它绕x
轴旋转构成一个底半径为
r、高为h的圆锥体
计算这圆锥体的体积
直角三角形斜边的直线方程为
yr
h
所求圆锥体的体积为
r
0（
x）
dx
h2
[3
]0
3hr
例2
计算由椭圆
y2
所成的图形绕
x轴旋转而成的旋转体
（旋转椭球体）的体积
b2
a2
这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆
y
及x轴围成的图形绕
x轴旋转而成的立体
体积元素为
dVy2dx
于是所求旋转椭球体的体积为
（a2
x2）dx
b2
[a2x
1x3]aa
4ab2
例3
计算由摆线
xa（tsint）
ya（1
cost）的一拱
直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴
旋转而成的旋转体的体积
解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为
Vx
2a
y2dx
a2（1cost）2a（1cost）dt
3cost
3cos
t
cost）dt
52a3
所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差
设曲线左半边为
x=x1（y）、右半
边为x=x2（y）
则
Vy
2a
（y）dy
x2
x1（y）dy
a2（t
sint）2
asintdt
a2（tsint）2
a3
（t
sint）2sintdt
3a3
2．平行截面面积为已知的立体的体积
设立体在x轴的投影区间为[ab]
过点x且垂直于x轴的平面与立体相截
截面面积为A（x）
则体积元素为A（x）dx
立体的体积为
aA（x）dx
例4一平面经过半径为
R的圆柱体的底圆中心
并与底面交成角
计算这平面截圆柱所
得立体的体积
解取这平面与圆柱体的底面的交线为
x轴底面上过圆中心、且垂直于
x轴的直线为y轴
那么底圆的方程为
x2
y2R2
立体中过点
x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形
两个直角边
分别为
R2
x2及
R2
tan
因而截面积为
A（x）
1（R2
x2）tan
于是所求的立体体积为
R1
（R
）tandx
[R
R
]R
例5求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为
h的正劈锥体的体积
取底圆所在的平面为
xOy平面
圆心为原点
并使x轴与正劈锥的顶平行
底圆的方程
为x2
过x轴上的点x（R<
x<
R）作垂直于x轴的平面
截正劈锥体得等腰三角形
这截面
的面积为
A（x）
于是所求正劈锥体的体积为
x2dx
2R2h2cos2d
R2h
三、平面曲线的弧长
设AB是曲线弧上的两个端点
在弧AB上任取分点AM0
M1M2
Mi1
Mi
Mn1
MnB
并依次连接相邻的分点得一内接折线
当分点的数目无限增加且每个小段
1Mi都缩向
n
一点时
如果此折线的长
|Mi1Mi|的极限存在
则称此极限为曲线弧
AB的弧长
并称此曲线
i
弧AB是可求长的
定理光滑曲线弧是可求长的
设曲线弧由直角坐标方程
f（x）
（ax
b）
给出
其中f（x）在区间[a
b]上具有一阶连续导数
现在来计算这曲线弧的长度
取横坐标
x为积分变量
它的变化区间为
[a
b]
曲线yf（x）上相应于[ab]上任一小区间[x
xdx]的一段弧的长度
可以用该曲线在点
（x
f（x））处的切线上相应的一小段的长度来近似代替
而切线上这相应的小段的长度为
（dx）
（dy）
从而得弧长元素（即弧微分）
ds
y2dx
以1
y2dx为被积表达式
在闭区间[ab]上作定积分
便得所求的弧长为
sa1ydx
在曲率一节中
我们已经知道弧微分的表达式为
1y2dx
这也就是弧长元素
因此
计算曲线y
2x2
上相应于x从a到b的一段弧的长度
解
从而弧长元素
1xdx
所求弧长为
[2（1
2[（1
s
xdx
b）2
a）2]
x）2]a
计算悬链线y
cchx上介于xb与x
b之间一段弧的长度
c
shx
从而弧长元素为
sh
ch
bchcdx
20chcdx
2c[shcdx]0
2cshc
2．参数方程情形
设曲线弧由参数方程
（t）、y
（t）（
）给出其中（t）、（t）在[
]上具有连续导数
因为dy
（t）
（t）dt
所以弧长元素为
（t）
2（t）
（t）dt
2（t）
2（t）dt
计算摆线x
a（
sin）
a（1cos
）的一拱（0
2）的长度
解弧长元素为
a2（1
cos
）2
a2sin2
2（1
）d
2asin
3．极坐标情形
设曲线弧由极坐标方程
2asind
2a[2cos]02
8a
（）（）
给出其中r（）在[]上具有连续导数由直角坐标与极坐标的关系可得
x（）cosy（）sin（）
于是得弧长元素为
x2（）y2（）d
2（）
2（）d
从而所求弧长为
2（
）
2（）d
例14
求阿基米德螺线
（a>
0）相应于
从0到2
一段的弧长
弧长元素为
a22
a2d
a1
2d
于是所求弧长为
a[2142
ln（2
142）]
s0a1
63功水压力和引力
一、变力沿直线所作的功
例1把一个带
q电量的点电荷放在r轴上坐标原点
O处
它产生一个电场
这个电场对周
围的电荷有作用力
由物理学知道
如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点
O为r的地
方那么电场对它的作用力的大小为
Fkq
（k是常数）
r2
当这个单位正电荷在电场中从
ra处沿r轴移动到r
b（a<
b）处时
升级会员 