第一章 学案7.docx

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第一章学案7

学案7　电势差与电场强度的关系

[目标定位]1.掌握电势差与电场强度的关系.2.能利用电势差与电场强度的关系解决实际问题．

一、电势差与电场强度的关系

[问题设计]

如图1所示的匀强电场中有A、B两点，A、B两点位于同一条电场线上，B、C连线垂直电场线，已知场强大小为E，A、B两点间的电势差为UAB，A、B间距离为d，电荷q从A点移动到B点，回答下列问题：

图1

（1）电荷所受静电力是多少？

从力和位移的角度计算静电力所做功的大小．通过A、B间的电势差计算静电力做功的大小．

（2）比较两次计算的功的大小，电势差与电场强度有何关系？

（3）在图1中，如果将电荷从A点移动到C点，再利用

（1）问的推导过程试着推导，能获得何结论？

（已知AB与AC的夹角为θ）．

答案　

（1）F＝qE　WAB＝Fd＝qEd　WAB＝qUAB

（2）UAB＝Ed

（3）WAC＝qELcosθ＝qEd，WAC＝qUAC，UAC＝Ed

[要点提炼]

匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积，即UAB＝Ed.

1．公式UAB＝Ed只适用于匀强电场，其中d为A、B两点沿电场方向的距离．

2．电场中A、B两点的电势差UAB跟电荷移动的路径无关，由电场强度E及A、B两点沿电场方向的距离d决定．

3．公式E＝

说明电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，且场强方向就是电势降低最快的方向．由公式可得出场强单位是V/m.

4．在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等；在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点的电势差相等．

[延伸思考]　公式UAB＝Ed是在匀强电场中得到的，在非匀强电场中能否适用？

答案　在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．

二、对电场强度的进一步理解

1．教材中给出了电场强度的三个计算公式，这三个公式的物理意义及适用范围是不相同的，为了加强对这三个公式的理解，下面列表进行对比．请填空.

区别

公式

物理含义

引入过程

适用范围

说明

E＝

电场强度大小的定义式

与F、q无关，是反映某点电场的性质

一切电场

q为试探电荷的电荷量

E＝k

真空中点电荷场强的决定式

由E＝

和库仑定律导出

在真空中，场源电荷Q是点电荷

Q为场源电荷的电荷量

E＝

匀强电场中场强的决定式

由F＝qE和W＝qU导出

匀强电场

d为沿电场方向的距离

2.为什么在等差等势面中等势面越密集的地方电场强度就越大？

答案　根据公式E＝

定性分析，在等差等势面中，对于相等的电势差U，等势面越密集d就越小，因此电场强度E就越大．

一、对电势差与电场强度关系的理解

例1

　如图2所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100V/m，则O、P两点的电势差可表示为（　　）

图2

A．UOP＝－10sinθ（V）B．UOP＝10sinθ（V）

C．UOP＝－10cosθ（V）D．UOP＝10cosθ（V）

解析　由题图可知匀强电场的方向是沿y轴负方向的．沿着电场线的方向电势是降低的，所以P点的电势高于O点的电势，O、P两点的电势差UOP为负值．根据电势差与场强的关系UOP＝－Ed＝－E·Rsinθ＝－10sinθ（V），所以A正确．

答案　A

例2

　如图3所示，P、Q两金属板间的电势差为50V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4cm.求：

图3

（1）P板及A点的电势．

（2）保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5cm，则A点的电势将变为多少？

解析　板间场强方向水平向左，可见Q板是电势最高处．Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值．利用公式E＝

可求出板间匀强电场的场强，再由U＝Ed可求出各点与Q板间的电势差，即各点的电势．

（1）场强E＝

＝

V·m－1＝5×102V·m－1

Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×（10－4）×10－2V＝30V

所以A点电势φA＝－30V，P板电势φP＝UPQ＝－50V

（2）当Q板向左平移5cm时，两板间距离d″＝（10－5）cm＝5cm

Q板与A点间距离变为d＝（10－4）cm－5cm＝1cm

电场强度E′＝

＝

V·m－1

＝1.0×103V·m－1

Q、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2V＝10V

所以A点电势φA＝－10V.

答案　

（1）－50V　－30V　

（2）－10V

二、非匀强电场中的电势差与电场强度的关系

例3

　如图4所示为某一电场的电场线和等势面．已知φa＝5V，φc＝3V，ab＝bc，则（　　）

图4

A．φb＝4V

B．φb>4V

C．φb<4V

D．上述情况都有可能

解析　由于是非匀强电场，不能根据公式U＝Ed进行定量计算，只能进行定性分析，由电场线的疏密可以分析ab和bc间的平均场强Eab>Ebc，所以Uab>Ubc，C正确．

答案　C

三、电场强度、电势差与电场力做功

例4

　如图5所示的匀强电场场强为103N/C，ab平行于电场线，ac垂直于电场线，ab＝cd＝4cm，ac＝bd＝3cm.则下述计算结果正确的是（　　）

图5

A．a、b之间的电势差为40V

B．a、c之间的电势差为50V

C．将q＝－5×10－3C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25J

D．将q＝－5×10－3C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25J

解析　A项，由U＝Ed得Uab＝103×0.04V＝40V；B项，a、c在同一等势面上，所以Uac＝0；C项，将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做功为0；D项，Wad＝Wab＝qUab＝（－5×10－3）×40J＝－0.2J.

答案　A

1．（对电场强度E的理解）下列关于匀强电场的结论正确的是（　　）

A．公式E＝

也适用于匀强电场

B．根据U＝Ed可知，任意两点的电势差与这两点的距离成正比

C．匀强电场的场强在数值上等于沿场强方向每单位长度上的电势差

D．匀强电场的场强方向总是跟电荷所受电场力的方向相同

答案　AC

2．（匀强电场中电场强度与电势差的关系）如图6所示，A、B两板间电压为600V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12cm，C点离A板4cm，下列说法正确的是（　　）

图6

A．E＝2000V/m，φC＝200V

B．E＝5000V/m，φC＝－200V

C．电子在C点具有的电势能为－200eV

D．电子在C点具有的电势能为200eV

答案　BD

解析　A板接地，则其电势为零，又因为A、B两板间的电压为600V，则B板电势为－600V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强E＝

＝

＝50V/cm＝5000V/m，φC＝EdC＝50V/cm×（－4cm）＝－200V，A错误，B正确；电子在C点具有的电势能为200eV，C错误，D正确．

3.（非匀强电场中场强与电势的关系）如图7所示，一电场的电场线分布关于y轴（沿竖直方向）对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN.P点在y轴右侧，MP⊥ON.则下列说法正确的是（　　）

图7

A．M点的电势比P点的电势高

B．将负电荷由O点移动到P点，电场力做正功

C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差

D．M、N两点间的电势差等于O、M两点间的电势差

答案　A

解析　根据电场线和等势面的关系画出等势面，可以判断M点的电势比P点的电势高，A正确．负电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误．根据U＝Ed进行定性分析可知，C、D错误．

4．（电势差与电场强度的关系）如图8所示，A、B两点相距10cm，E＝100V/m，AB与电场线方向的夹角θ＝120°，求A、B两点间的电势差．

图8

答案　－5V

解析　A、B两点在场强方向上的距离d＝

·cos（π－θ）＝10×

cm＝5cm.由于φA＜φB，

则根据U＝Ed

得UAB＝－Ed＝－100×5×10－2V＝－5V.

题组一　公式U＝Ed和E＝

的理解

1．下列说法正确的是（　　）

A．由公式E＝

得，电场强度E与电势差U成正比，与两点间距离d成反比

B．由公式E＝

得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小

C．在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点间距离的乘积

D．公式E＝

只适用匀强电场

答案　D

2．关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是（　　）

A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积

B．沿电场线方向，任何相同距离上电势降落必定相等

C．电势降低的方向必是场强方向

D．在相同距离的两点上，电势差大的场强也大

答案　B

解析　本题的关键是理解匀强电场中场强与电势差的关系，公式E＝

中，d是沿场强方向上两点的距离，由此很容易判断出A、D错，B正确．场强的方向是电势降低最快的方向，电场降低的方向不一定是场强方向，故C错．

3．在一个匀强电场中有a、b两点，相距为d，电场强度为E，把一个电荷量为q的负电荷由a移到b点时，电场力对电荷做正功W，以下说法正确的是（　　）

A．a点电势比b点电势低

B．a、b两点电势差大小为U＝Ed

C．a、b两点电势差大小为U＝

D．该电荷在b点电势能较在a点大

答案　AC

4.如图1所示，在电场中任意取一条电场线，电场线上的a、b两点相距为d，则（　　）

图1

A．a点场强一定大于b点的场强

B．a点的电势一定高于b点的电势

C．a、b两点间的电势差一定等于Ed（E为a点的场强）

D．a、b两点间的电势差在数值上等于单位正电荷由a点沿任意路径移动到b点的过程中电场力所做的功

答案　BD

解析　场强方向不能表示场强大小，A项错；沿场强方向电势降低，B项对；因为此电场不一定是匀强电场，C项错；由电势差的定义知D项对．

题组二　公式U＝Ed和E＝

的应用

5．在水深超过200m的深海，光线极少，能见度极低，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发出的生物电获取食物、威胁敌害、保护自己．若该电鳗的头尾相当于两个电极，它在海水中产生的电场强度达到104N/C，可击昏敌害．则身长50cm的电鳗，在放电时产生的瞬间电压可达（　　）

A．50VB．500V

C．5000VD．50000V

答案　C

解析　U＝Ed＝104×0.5V＝5000V.

6.如图2所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25cm，由此可确定此电场的电场强度的方向及大小为（　　）

图2

A．竖直向下，E＝0.4N/C

B．水平向右，E＝0.4N/C

C．水平向左，E＝40N/C

D．水平向右，E＝40V/m

答案　D

解析　电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝

＝

V/m＝40V/m，故D项正确．

7.如图3所示，在E＝500V/m的匀强电场中，a、b两点相距d＝2cm，它们的连线与场强方向的夹角是60°，则Uab等于（　　）

图3

A．5VB．10V

C．－5VD．－10V

答案　C

解析　Uab＝－Edcos60°＝－5V.

8.如图4所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列．A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上．A、C两点的电势依次为φA＝10V和φC＝2V，则B点的电势（　　）

图4

A．一定等于6VB．一定低于6V

C．一定高于6VD．无法确定

答案　B

题组三　综合应用

9.如图5所示，在匀强电场中，有A、B两点，它们之间的距离为2cm，两点的连线与场强方向成60°角．将一个电荷量为－2×10－5C的电荷由A移到B，其电势能增加了0.1J．问：

图5

（1）在此过程中，电场力对该电荷做了多少功？

（2）A、B两点的电势差UAB为多大？

（3）匀强电场的场强为多大？

答案　

（1）－0.1J　

（2）5000V　（3）5×105V/m

解析　

（1）电势能增加多少，电场力就做多少负功，故电场力对电荷做了－0.1J的功．

（2）由W＝qU，得UAB＝

＝

V＝5000V.

（3）由U＝Ed，得E＝

＝

＝5×105V/m.

10.如图6所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面．现将电荷量为10－8C的正点电荷从A点移到B点，电场力做功为3×10－6J，将另一电荷量为10－8C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功3×10－6J.

图6

（1）求电场线方向，UAB、UAC、UBC各为多少？

（2）AB边长为2

cm，求电场强度．

答案　见解析

解析　

（1）正点电荷从A点移到B点时，电场力做正功，故A点电势高于B点，

可以求得UAB＝

＝

V＝300V.

同理可判断A点电势高于C点，

可求得UAC＝

＝300V.

因此B、C两点电势相等，

UBC＝0，

由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线．

因此，BC为一等势线，故电场线方向垂直BC.

设D为BC的中点，则电场线方向为由A指向D.

（2）AB沿场强方向的距离d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与场强的关系式可得：

E＝

＝

V/m＝104V/m.

11.如图7所示，平行金属带电极板A、B间可看成匀强电场，场强E＝1.2×10－2V/m，极板间距离d＝5cm，电场中C和D点分别到A、B两板的距离均为0.5cm，B板接地，求：

图7

（1）C和D两点的电势、两点间电势差各为多少？

（2）将点电荷q＝2×10－2C从C点匀速移到D点时外力做多少功？

答案　

（1）－5.4V　－0.6V　－4.8V

（2）9.6×10－2J

解析　

（1）因正极板接地，故板间各点电势均小于零，

则UBD、UBC均大于零，由U＝Ed得

UBD＝EdBD＝1.2×102×0.5×10－2V＝0.6V，

即φD＝－0.6V.

由于dCB＝5cm－0.5cm＝4.5cm＝4.5×10－2m，

所以UCB＝－EdCB＝－1.2×102×4.5×10－2V

＝－5.4V.

即φC＝－5.4V.

所以UCD＝φC－φD＝－5.4V－（－0.6V）＝－4.8V.

（2）因为匀速移动，外力所做的功等于电场力所做的功W外＝|qUCD|＝2×10－2×4.8J＝9.6×10－2J.

12.如图8所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：

图8

（1）小球应带何种电荷及其电荷量；

（2）小球受到的合外力；

（3）在入射方向上小球运动的最大位移xm.（电场足够大）

答案　

（1）正电荷　

（2）

mg　（3）

解析　

（1）作电场线如图甲所示．由题意知，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图乙所示．只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动．由图乙知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝

，故q＝

＝

.

（2）由图乙知，F合＝

＝

mg

（3）由动能定理得－F合xm＝0－

mv

所以xm＝

＝

.