届高三数学高考真题与模拟题分类汇编 平面向量.docx

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届高三数学高考真题与模拟题分类汇编平面向量

2018届高三数学高考真题与模拟题分类汇编　平面向量

第Ⅰ卷　（选择题，共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）　

1．[2016·江南十校联考]设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则（　　）

A.＝－B.＝－

C.＝－D.＝－

答案　D

解析　＝－＝＋－＝－－＝－，故选D.

2．[2016·衡水高三大联考]平面向量a与b的夹角为30°，a＝（1,0），|b|＝，则|a－b|＝（　　）

A．2B.1C.D.

答案　B

解析　因为|a|＝1，所以|a－b|＝

＝＝＝1.

故选B.

3．[2016·北京高考]设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的（　　）

A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案　D

解析　取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.

4．[2016·山东高考]已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（　　）

A．4B.－4C.D.－

答案　B

解析　由n⊥（tm＋n）可得n·（tm＋n）＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4.故选B.

5．[2017·江西九江十校联考]已知|a|＝2，（2a－b）⊥a，则b在a方向上的投影为（　　）

A．－4B.－2C．2D.4

答案　D

解析　由（2a－b）⊥a知（2a－b）·a＝0，即2a2－a·b＝0，又|a|＝2，所以2|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8－2|b|cos〈a，b〉＝0，得|b|cos〈a，b〉＝4，即b在a方向上的投影为4，故选D.

6．[2017·湖北七校联考]已知圆O半径为2，弦AB＝2，点C为圆O上任意一点，则·的最大值是（　　）

A．4B.5C．6D.7

答案　C

解析　不妨以O为原点，建立平面直角坐标系，如图，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设A（，－1），则B（，1），＝（0,2），设C（2cosθ，2sinθ），则＝（2cosθ－，2sinθ＋1），·＝2（2sinθ＋1），显然当sinθ＝1时，·取得最大值6.

7．[2017·贵阳模拟]如图所示，O为线段A1A2016外一点，若A1，A2，…，A2016中任意相邻两点的距离相等，＝a，

＝b，则＋＋…＋

＝（　　）

A．1017（a＋b）B.1008（a＋b）

C．1009（a＋b）D.1010（a＋b）

答案　B

解析　设线段A1A2016的中点为A，由题意，点A也是线段A2A2015，A3A2014，…，A1008A1009的中点．

则＋

＝2＝a＋b，

＋

＝2＝a＋b，

＋

＝2＝a＋b，

……

＋

＝2＝a＋b.

以上各式依次相加，得＋＋…＋

＝1008（a＋b），故选B.

8．[2016·山西考前质监]已知a，b是单位向量，且a·b＝－，若平面向量p满足p·a＝p·b＝，则|p|＝（　　）

A.B.1C.D.2

答案　B

解析　∵a·b＝－，

∴|a||b|cos〈a，b〉＝－.

∵a，b是单位向量，

∴cos〈a，b〉＝－.

∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.

∵p·a＝p·b，∴p·（a－b）＝0，∴p⊥（a－b）．

又∵p·a＝，

如右图知，|p|＝1.故选B.

9．[2016·天津高考]已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为（　　）

A．－B.C.D.

答案　B

解析　如图，设＝m，＝n.根据已知得，＝m，所以＝＋＝m＋n，＝m－n，·＝·（m－n）＝m2－n2－m·n＝－－＝.

10．[2016·安庆二模]已知向量、、满足＝＋，||＝2，||＝1，E、F分别是线段BC、CD的中点．若·＝－，则向量与向量的夹角为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　·＝·

＝·－2－2＝－.

由||＝||＝2，||＝||＝1，

可得cos〈，〉＝，

所以〈，〉＝，从而〈，〉＝.

11．[2016·长沙一中月考]△ABC中，BC＝5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且·＝5，则△ABC的形状是（　　）

A．锐角三角形B.钝角三角形

C．直角三角形D.上述均不是

答案　B

解析　取BC中点M，·＝（－）·＝·－（＋）（－）＝（2－2）＝5，

则2－2＝30，∴b2－c2＝30，c2－b2＝－30.

cosB＝＝<0，故B为钝角．

12．[2017·东城测试]已知·＝0，||＝1，||＝2，·＝0，则||的最大值为（　　）

A.B.2C.D.2

答案　C

解析　由·＝0可知⊥.故以B为坐标原点，分别以BA，BC所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则由题意，可得B（0,0），A（1,0），C（0,2）．

设D（x，y），则＝（x－1，y），＝（－x,2－y）．

由·＝0，可得（x－1）（－x）＋y（2－y）＝0，整理得2＋（y－1）2＝.

所以点D在以E为圆心，半径r＝的圆上．

因为||表示B，D两点间的距离，

而||＝＝.

所以||的最大值为||＋r＝＋＝.故选C.

第Ⅱ卷　（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．[2016·全国卷Ⅰ]设向量a＝（m,1），b＝（1,2），且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.

答案　－2

解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，则m＋2＝0，所以m＝－2.

14．[2016·广西一模]已知向量a，b的夹角为，|a|＝，

|b|＝2，则a·（a－2b）＝________.

答案　6

解析　a·b＝×2×cos＝－2，a2＝|a|2＝2，

∴a·（a－2b）＝a2－2a·b＝2＋2×2＝6.

15．[2017·湖南长沙模拟]M、N分别为双曲线－＝1左、右两支上的点，设v是平行于x轴的单位向量，则|·v|的最小值为________．

答案　4

解析　因为·v＝||·|v|cosθ＝||cosθ，即求在v方向上的投影的绝对值的最小值，因为||≥4，|cosθ|≤1，且v是平行于x轴的单位向量，所以|·v|的最小值为4.

16．[2016·湖南六校联考]给定两个平面向量和，它们的夹角为120°，且|O|＝||，点C在以O为圆心||为半径的圆弧AB上，若＝x＋y（其中x，y∈R），则满足x＋y≥的概率为________．

答案　

解析　不妨设||＝1，以O为原点，OA为x轴正半轴，建立直角坐标系，则A（1,0），B，

设C（cosθ，sinθ），∵θ∈，则（cosθ，sinθ）＝x（1,0）＋y＝，

所以

x＋y＝cosθ＋sinθ＝2sin≥，

得θ∈，故满足x＋y≥的概率为＝.

三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．[2017·吉林白城月考]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（－1，－2），B（2,3），C（－2，－1）．

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

（2）设实数t满足（－t）·＝0，求t的值．

解　

（1）由题设知＝（3,5），＝（－1,1），则＋＝（2,6），－＝（4,4），

所以|＋|＝2，|－|＝4，

故所求的两条对角线长分别为4，2.（5分）

（2）由题设知＝（－2，－1），－t＝（3＋2t,5＋t）．

（7分）

由（－t）·＝0，得（3＋2t,5＋t）·（－2，－1）＝0，所以t＝－.（10分）

18．[2016·江苏大联考]（本小题满分12分）已知点C的坐标为（0,1），A，B是抛物线y＝x2上不同于原点O的相异的两个动点，且·＝0.

（1）求证：

∥；

（2）若＝λ（λ∈R），且·＝0，试求点M的轨迹方程．

解　

（1）证明：

设A（x1，x），B（x2，x），x1≠0，x2≠0，x1≠x2，

因为·＝0，所以x1x2＋xx＝0.

又x1≠0，x2≠0，所以x1x2＝－1.（4分）

因为＝（－x1,1－x），＝（－x2,1－x），

且（－x1）（1－x）－（－x2）（1－x）＝（x2－x1）＋x1x2（x2－x1）＝（x2－x1）－（x2－x1）＝0，

所以∥.（8分）

（2）由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，∠OMC＝90°，所以点M在以OC为直径的圆上运动，其运动轨迹方程为x2＋2＝（y≠0）．（12分）

19．[2016·四川测试]

（本小题满分12分）如图所示，在△ABC的边AB、AC上分别有点M、N，且AB＝3AM，AC＝4AN，BN与CM的交点是O，直线AO与BC交于点D.设＝m，＝n.

（1）用m、n表示；

（2）设＝λ，求λ的值．

解　

（1）由B、O、N三点共线可设＝x＋（1－x）.（2分）

∵＝3，＝4，∴＝3x＋.（4分）

∵C、O、M三点共线，

∴3x＋＝1，即x＝，（6分）

∴＝＋＝＋＝m＋n.（8分）

（2）由

（1）知＝λ＝＋.

∵B、C、D三点共线，

∴＋＝1，即λ＝.（12分）

20．[2016·华师大附中测试]（本小题满分12分）已知向量m＝（sinx，sinx），n＝（cosx，－sinx），且f（x）＝2m·n＋2.

（1）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值；

（2）函数f（x）图象与y轴的交点、y轴右侧第一个最高点分别记为P，Q，求·的值．

解　

（1）f（x）＝2m·n＋2＝2sinxcosx－2sin2x＋2＝sin2x－（1－cos2x）＋2＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin＋1，（4分）

故当2x＋＝＋2kπ（k∈Z），即x＝＋kπ（k∈Z）时，f（x）max＝3.（6分）

（2）由f（0）＝2，知P（0,2），（7分）

而在

（1）中取k＝0，得Q，（8分）

∴＝（0,2），＝，（10分）

∴·＝0×＋2×3＝6.（12分）

21．[2016·宁波十校联考]（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量m＝（5a－4c,4b）与向量n＝（cosC，cosB）共线．

（1）求cosB；

（2）若b＝，c＝5，a

解　

（1）∵m＝（5a－4c,4b）与n＝（cosC，cosB）共线，

∴＝＝，（4分）

∴4sinBcosC＋4cosBsinC＝5sinAcosB，

∴4sin（B＋C）＝4sinA＝5sinAcosB.

∵在三角形△ABC中，sinA≠0，

∴cosB＝.（6分）

（2）∵b＝，c＝5，a

∴a2＋c2－2accosB＝b2，即a2＋25－2a×5×＝10，

解得a＝3或a＝5（舍）．（8分）

∵＝2，∴＝＋，

∴2＝2＋2＋2××·＝c2＋a2＋2××·a·ccosB.（10分）

将a＝3和c＝5代入，得2＝，

∴BD＝.（12分）

22．[2016·黄冈质检]（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（2,3），C（3,2）．

（1）若向量与的夹角为钝角，求实数a的取值范围；

（2）若a＝1，点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）内，＝m＋n（m，n∈R），求m－n的最大值．

解　

（1）由＝（2－a,3－a），

＝（3－a,2－a），（2分）

（4分）

得·＝2（a2－5a＋6）<0，则2

又当a＝时，与的夹角为π，

故a∈∪.（6分）

（2）∵＝m＋n，（x，y）＝m（1,2）＋n（2,1），

即x＝m＋2n，y＝2m＋n.

解得m－n＝y－x.（9分）

令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B（2,3）时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.（12分）