数学新题分类汇编三角函数高考真题+模拟新题.docx

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数学新题分类汇编三角函数高考真题+模拟新题

三角函数（高考真题+模拟新题）

课标理数10.C1[2011·江西卷]如图1，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（　　）

图1

图2

课标理数10.C1[2011·江西卷]A　【解析】如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.

设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧与小圆圆弧相等．

以切点A在劣弧上运动为例，记直线OM与此时

小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.

大圆圆弧的长为l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×＝θ，即l1＝l2，

∴小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合，

即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．

点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．

观察各选项，只有选项A符合．故选A.

课标文数14.C1[2011·江西卷]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.

课标文数14.C1[2011·江西卷]－8　【解析】r＝＝，

∵sinθ＝－，∴sinθ＝＝＝－，解得y＝－8.

课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷]已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（　　）

A．－B．－C.D.

课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷]B　【解析】解法1：

在角θ终边上任取一点P（a,2a）（a≠0），则r2＝2＝a2＋（2a）2＝5a2，

∴cos2θ＝＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.

解法2：

tanθ＝＝2，cos2θ＝＝＝－.

课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷]已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（　　）

A．－B．－

C.D.

课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷]B　【解析】解法1：

在角θ终边上任取一点P（a,2a）（a≠0），则r2＝2＝a2＋（2a）2＝5a2，

∴cos2θ＝＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.

解法2：

tanθ＝＝2，cos2θ＝＝＝－.

大纲文数14.C2[2011·全国卷]已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________.

大纲文数14.C2[2011·全国卷]－　【解析】∵tanα＝2，∴sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝，又α∈，∴cosα＝－.

课标文数9.C2，C6[2011·福建卷]若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于（　　）

A.B.C.D.

课标文数9.C2，C6[2011·福建卷]D　【解析】因为sin2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α，

∴cos2α＝，sin2α＝1－cos2α＝，

∵α∈，

∴cosα＝，sinα＝，tanα＝＝，故选D.

大纲文数12.C2[2011·重庆卷]若cosα＝－，且α∈，则tanα＝________.

大纲文数12.C2[2011·重庆卷]　【解析】∵cosα＝－，且α∈，

∴sinα＝－＝－，

∴tanα＝＝.

课标理数15.C3，C5[2011·北京卷]已知函数f（x）＝4cosxsin－1.

（1）求f（x）

的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

课标理数15.C3，C5[2011·北京卷]【解答】

（1）因为f（x）＝4cosxsin－1

＝4cosx－1

＝sin2x＋2cos2x－1

＝sin2x＋cos2x

＝2sin，

所以f（x）的最小正周期为π.

（2）因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.

于是，当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值2；

当2x＋＝－，即x＝－时，f（x）取得最小值－1.

课标文数15.C3，C5[2011·北京卷]已知函数f（x）＝4cosxsin－1.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

课标文数15.C3，C5[2011·北京卷]【解答】

（1）因为f（x）＝4cosxsin－1

＝4cosx－1

＝sin2x＋2cos2x－1

＝sin2x＋cos2x

＝2sin.

所以f（x）的最小正周期为π.

（2）因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.

于是，当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值2；当2x＋＝－，即x＝－时，f（x）取得最小值－1.

课标理数3.C2，C6[2011·福建卷]若tanα＝3，则的值等于（　　）

A．2B．3C．4D．6

课标理数3.C2，C6[2011·福建卷]D　【解析】因为

＝＝＝2tanα＝6，故选D.

课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷]设函数f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）的最小正周期为π，且f（－x）＝f（x），则（　　）

A．f（x）在单调递减

B．f（x）在单调递减

C．f（x）在单调递增

D．f（x）在单调递增

课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷]A　【解析】原式可化简为f（x）＝sin，因为f（x）的最小正周期T＝＝π，

所以ω＝2.

所以f（x）＝sin，

又因为f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，

所以f（x）＝sin＝±cos2x，

所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，

所以φ＝＋kπ，k∈Z，

又因为<，所以φ＝.

所以f（x）＝sin＝cos2x，

所以f（x）＝cos2x在区间上单调递减．

课标文数12.C3[2011·辽宁卷]已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ），y＝f（x）的部分图象如图1－7，则f＝（　　）

图1－7

A．2＋B.

C.D．2－

课标文数12.C3[2011·辽宁卷]B　【解析】由图象知＝2×＝，ω＝2.又由于2×＋φ＝kπ＋（k∈Z），φ＝kπ＋（k∈Z），又|φ|<，所以φ＝.这时f（x）＝Atan.又图象过（0,1），代入得A＝1，故f（x）＝tan.所以f＝tan＝，故选B.

课标文数15.C4[2011·安徽卷]设f（x）＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f（x）≤对一切x∈R恒成立，则

①f＝0；

②<；

③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；

④f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．

⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图像不相交．

以上结论正确的是________（写出所有正确结论的编号）．

课标文数15.C4[2011·安徽卷]【答案】①③

【解析】f（x）＝asin2x＋bcos2x＝sin（2x＋φ），因为对一切x∈R时，f（x）≤恒成立，所以sin＝±1.

故φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－.

故f（x）＝sin，

或f（x）＝－sin.

对于①，f＝sin2π＝0，或f＝－sin2π＝0，故①正确；

对于②，＝＝＝sin，

＝＝

＝sin.所以＝，故②错误；

对于③，由解析式f（x）＝sin，或f（x）＝－sin知其既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；

对于④，当f（x）＝sin时，（k∈Z）是f（x）的单调递减区间，故④错误；

对于⑤，要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图像不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|>，此时平方得b2>a2＋b2，这不可能，矛盾，故不存在过点（a，b）的直线与函数f（x）的图像不相交．故⑤错．

课标理数9.C4[2011·安徽卷]已知函数f（x）＝sin（2x＋φ），其中φ为实数，若f（x）≤对x∈R恒成立，且f>f（π），则f（x）的单调递增区间是（　　）

A.（k∈Z）

B.（k∈Z）

C.（k∈Z）

D.（k∈Z）

课标理数9.C4[2011·安徽卷]C　【解析】对x∈R时，f（x）≤恒成立，所以f＝sin＝±1，可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－，k∈Z.

因为f＝sin（π＋φ）＝－sinφ>f（π）＝sin（2π＋φ）＝sinφ，故sinφ<0.所以φ＝2kπ－，所以f（x）＝sin.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z），答案为C.

大纲理数5.C4[2011·全国卷]设函数f（x）＝cosωx（ω>0），将y＝f（x）的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（　　）

A.B．3

C．6D．9

大纲理数5.C4[2011·全国卷]C　【解析】将y＝f（x）的图像向右平移个单位长度后得到的图像与原图像重合，则＝k，k∈Z，得ω＝6k，k∈Z，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.

大纲文数7.C4[2011·全国卷]设函数f（x）＝cosωx（ω>0），将y＝f（x）的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（　　）

A.B．3C．6D．9

大纲文数7.C4[2011·全国卷]C　　【解析】将y＝f（x）的图像向右平移个单位长度后得到的图像与原图像重合，则＝k，k∈Z，得ω＝6k，k∈Z，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.

课标理数16.D3，C4[2011·福建卷]已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若函数f（x）＝Asin（2x＋φ）（A>0,0<φ<π）在x＝处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．

课标数学16.D3，C4[2011·福建卷]【解答】

（1）由q＝3，S3＝得＝，解得a1＝.

所以an＝×3n－1＝3n－2.

（2）由

（1）可知an＝3n－2，所以a3＝3.

因为函数f（x）的最大值为3，所以A＝3；

因为当x＝时f（x）取得最大值，

所以sin＝1.

又0<φ<π，故φ＝.

所以函数f（x）的解析式为f（x）＝3sin.

课标理数3.C4[2011·湖北卷]已知函数f（x）＝sinx－cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为（　　）

A.

B.

C.

D.

课标理数3.C4[2011·湖北卷]B　【解析】因为f（x）＝sinx－cosx＝2sinx－，由f（x）≥1，得2sinx－≥1，即sinx－≥，所以＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.

课标文数6.C4[2011·湖北卷]已知函数f（x）＝sinx－cosx，x∈R.若f（x）≥1，则x的取值范围为（　　）

A.

B.

C.

D.

课标文数6.C4[2011·湖北卷]A　【解析】因为f（x）＝sinx－cosx＝2sinx－，由f（x）≥1，得2sinx－≥1，即sinx－≥，所以＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.

课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.

（1）求角C的大小；

（2）求sinA－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷]【解答】

（1）由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.

因为00.

从而sinC＝cosC.

又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝.

（2）由

（1）知，B＝－A，于是

sinA－cos＝sinA－cos（π－A）

＝sinA＋cosA＝2sin.

因为0

综上所述，sinA－cos的最大值为2，此时A＝，B＝.

课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.

（1）求角C的大小；

（2）求sinA－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷]【解答】

（1）由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.

因为00.

从而sinC＝cosC.

又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝.

（2）由

（1）知，B＝－A，于是

sinA－cos＝sinA－cos（π－A）

＝sinA＋cosA＝2sin.

因为0

综上所述，sinA－cos的最大值为2，此时A＝，B＝.

课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷]设函数f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）的最小正周期为π，且f（－x）＝f（x），则（　　）

A．f（x）在单调递减

B．f（x）在单调递减

C．f（x）在单调递增

D．f（x）在单调递增

课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷]A　【解析】原式可化简为f（x）＝sin，因为f（x）的最小正周期T＝＝π，

所以ω＝2.

所以f（x）＝sin，

又因为f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，

所以f（x）＝sin＝±cos2x，

所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，

所以φ＝＋kπ，k∈Z，

又因为<，所以φ＝.

所以f（x）＝sin＝cos2x，

所以f（x）＝cos2x在区间上单调递减．

课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷]设函数f（x）＝sin＋cos，则（　　）

A．y＝f（x）在单调递增，其图像关于直线x＝对称

B．y＝f（x）在单调递增，其图像关于直线x＝对称

C．y＝f（x）在单调递减，其图像关于直线x＝对称

D．y＝f（x）在单调递减，其图像关于直线x＝对称

课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷]D　【解析】f（x）＝sin＝sin＝cos2x，

所以y＝f（x）在内单调递减，

又f＝cosπ＝－，是最小值．

所以函数y＝f（x）的图像关于直线x＝对称．

课标理数6.C4[2011·山东卷]若函数f（x）＝sinωx（ω>0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝（　　）

A．3B．2C.D.

课标理数6.C4[2011·山东卷]C　【解析】本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx≤时，函数f（x）是增函数，当≤ωx≤π时，函数f（x）为减函数，即当0≤x≤时函数f（x）为增函数，当≤x≤时，函数f（x）为减函数，所以＝，所以ω＝.

课标文数6.C4[2011·山东卷]若函数f（x）＝sinωx（ω>0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝（　　）

A.B.C．2D．3

课标文数6.C4[2011·山东卷]B　【解析】本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx≤时，函数f（x）为增函数，当≤ωx≤π时，函数f（x）为减函数，即当0≤x≤时，函数f（x）为增函数，当≤x≤时，函数f（x）为减函数，所以＝，所以ω＝.

课标数学9.C4[2011·江苏卷]函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0）的部分图象如图1－1所示，则f（0）的值是________．

图1－1

课标数学9.C4[2011·江苏卷]　【解析】由图象可得A＝，周期为4×＝π，所以ω＝2，将代入得2×＋φ＝2kπ＋π，即φ＝2kπ＋，所以f（0）＝sinφ＝sin＝.

课标文数7.C4[2011·天津卷]已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f（x）的最小正周期为6π，且当x＝时，f（x）取得最大值，则（　　）

A．f（x）在区间[－2π，0]上是增函数

B．f（x）在区间[－3π，－π]上是增函数

C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数

D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数

课标文数7.C4[2011·天津卷]A　【解析】∵＝6π，∴ω＝.又∵×＋φ＝2kπ＋，k∈Z且－π<φ≤π，

∴当k＝0时，φ＝，f（x）＝2sin，要使f（x）递增，须有2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解之得6kπ－≤x≤6kπ＋，k∈Z，当k＝0时，－π≤x≤，∴f（x）在上递增．

课标文数18.C4[2011·浙江卷]【解答】

（1）由题意得，T＝＝6.

因为P（1，A）在y＝Asin的图象上，

所以sin＝1，

又因为0＜φ＜，

所以φ＝.

（2）设点Q的坐标为（x0，－A）．

由题意可知x0＋＝，得x0＝4，所以Q（4，－A）．

连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得

cos∠PRQ＝＝＝－，

解得A2＝3，

又A＞0，所以A＝.

课标理数15.C3，C5[2011·北京卷]已知函数f（x）＝4cosxsin－1.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

课标理数15.C3，C5[2011·北京卷]【解答】

（1）因为f（x）＝4cosxsin－1

＝4cosx－1

＝sin2x＋2cos2x－1

＝sin2x＋cos2x

＝2sin，

所以f（x）的最小正周期为π.

（2）因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.

于是，当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值2；

当2x＋＝－，即x＝－时，f（x）取得最小值－1.

课标文数15.C3，C5[2011·北京卷]已知函数f（x）＝4cosxsin－1.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

课标文数15.C3，C5[2011·北京卷]【解答】

（1）因为f（x）＝4cosxsin－1

＝4cosx－1

＝sin2x＋2cos2x－1

＝sin2x＋cos2x

＝2sin.

所以f（x）的最小正周期为π.

（2）因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.

于是，当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值2；当2x＋＝－，即x＝－时，f（x）取得最小值－1.

大纲理数17.C5，C8[2011·全国卷]△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.

大纲理数17.C5，C8[2011·全国卷]【解答】由a＋c＝b及正弦定理可得

sinA＋sinC＝sinB.

又由于A－C＝90°，B＝180°－（A＋C），故

cosC＋sinC＝sin（A＋C）

＝sin（90°＋2C）

＝cos2C.

故cosC＋sinC＝cos2C，

cos（45°－C）＝cos2C.

因为0°

所以2C＝45°－C，C＝15°.

课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷]在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．

课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷]2　【解析】因为B＝60°，A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，

由正弦定理，有

＝＝＝＝2，

所以AB＝2sinC，BC＝2sinA.

所以AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin（120°－A）＋4sinA

＝2（sin120°cosA－cos120°sinA）＋4sinA

＝cosA＋5sinA

＝2sin（A＋φ），（其中sinφ＝，cosφ＝）

所以AB＋2BC的最大值为2.

课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷]设函数f（x）＝sin＋cos，则（　　）

A．y＝f（x）在单调递增，其图像关于直线x＝对称

B．y＝f（x）在单调递增，其图像关于直线x＝对称

C．y＝f（x）在单调递减，其图像关于直线x＝对称

D．y＝f（x）在单调递减，其图像关于直线x＝对称

课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷]D　【解析】f（x）＝sin＝sin＝cos2x，

所以y＝f（x）在内单调递减，

又f＝cosπ＝－，是最小值．

所以函数y＝f（x）的图像关于直线x＝对称．

课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.

（1）若sin＝2cosA,求A的值；

（2）若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．

课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷]本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．

【解答】

（1）由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝，因为0＜A＜π，所以A＝.

（2）由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，

得a2＝b2－c2.

故△ABC是直角三角形，且B＝，

所以sinC＝cosA＝.

课标理数6.C5[2011·浙江卷]若0<α<，－<β<0，cos＋α＝，cos－＝，则cosα＋＝（　　）

A.B．－C.D．－

课标理数6.C5[2011·浙江卷]C

【解析】∵cos＝，0<α<，∴sin＝.又∵cos＝，－<β<0，

∴sin＝，∴cos＝

cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.

大纲理数14.C6[2011·全国卷]已知α∈，sinα＝，则tan2α＝________.

大纲理数14.C6[2011·全国卷]－　【解析】∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－，则tanα＝－，tan2α＝＝＝－.

课标理数3.C2，C6[2011·福建卷]若tanα＝3，则的值等于（　　）

A．2B．3C．4D．6

课标理数3.C2，C6[2011·福建卷]D　【解析】因为＝＝＝2tanα＝6，故选D.

课标文数9.C2，C6[2011·福建卷]若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于（　　）

A.B.C.D.

课标文数9.C2，C6[2011·福建卷]D　【解析】因为sin2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α，

∴cos2α＝，sin2α＝1－cos2α＝，

∵α∈，

∴cosα＝，sinα＝，tanα＝＝，故选D.

课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷]已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（　　）

A．－B．－C.D.

课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷]B　【解析】解法1：

在角θ终边上任取一点P（a,2a）（a≠0），则r2＝2＝a2＋（2a）2＝5a2，

∴cos2θ＝＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.

解法2：

tanθ＝＝2，cos2θ＝＝＝－.

课标理数7.C6[2011·辽宁卷]设sin＝，则sin2θ＝（　　）

A．－B．－C.D.

课标理数7.C6[2011·辽宁卷]A　【解析】sin2θ＝－cos＝－.由于sin＝，代入得sin2θ＝－，故选A.

课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷]已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（　　）

A．－B．－

C.D.

课标文数7.C1