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第一单元圆
圆概念总结
1．圆的定义：
平面上的一种曲线图形。
2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
圆心一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等。
例：
圆是平面上的一种（ 曲线 ）图形，将一张圆形纸片至少对折（ 两 ）次可以得到这个圆的圆心。
3．半径：
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
例：
要画一个周长是31.4厘米的圆，圆规两角之间的距离是（ 5）厘米。
4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
例：
（ 半径）决定圆的大小；（ 圆心 ）决定圆的位置。
5．直径：
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母d表示。
例：
圆中最长的线段是圆的（直径）。
6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
例：
圆有（无数）条半径，（无数）条直径，（无数）条对称轴。
8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。
用字母表示为：
d＝2rr＝
d
用文字表示为：
半径=直径÷2直径=半径×2
例：
画一个直径4厘米的圆，那么圆规两脚间的距离应该是（ 2 ）厘米。
9．圆的周长：
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10．圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母
表示。
圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时，取
3.14。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
例：
圆的周长是它的直径的（ 3 ）倍多一些，这个倍数是一个固定的数，我们把它叫（ 圆周率 ），常用字母（ π ）表示。
它是一个（ 无限不循环 ）小数，取两位小数是（ 3.14 ）。
11．圆的周长公式：
C=πd或C=2
r
圆周长=
×直径圆周长=
×半径×2
例：
一个圆形养鱼池，直径是4米，这个鱼池的周长是多少米？
解：
C=πd=4米×π=4π米
答：
这个鱼池的周长是4π米。
12．圆的面积：
圆所占面积的大小叫圆的面积。
13．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（
r）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=
r×r。
圆的面积公式：
Ｓ＝
ｒ²。
例：
把一个圆平均分成若干份，可以拼成一个近似于长方形。
长方形的长相当于圆（ 周长的一半 ），宽相当于圆的（ 半径 ），所以圆的面积S=（
ｒ² ）。
14．圆的面积公式：
Ｓ＝
ｒ² 或者S=
（d
2）²或者S=
（C
2）²
例：
一个半圆形池塘，它的直径是4米，求它的面积。
解：
S=
（d
2）²÷2
=2π㎡
答：
面积是2π平方米
15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
例：
边长为4厘米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的面积是（4π）
。
16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
例：
在一个长8厘米、宽5厘米的长方形纸板上剪一个最大的圆，圆的面积是（ 6.25π ）平方厘米。
17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=
R²－
ｒ² 或 S=
（R²－ｒ²）。
（其中R＝r＋环的宽度．）
例：
在一个直径是2米的圆形水池四周修一条宽1米的石子路，石子路的面积是多少？
解：
r=2米÷2=1米R=1米＋1米=2米
S=
R²－
ｒ²
=
（2²-1²）㎡
=3π㎡
答：
石子路的面积是3π㎡。
18．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。
半圆的周长公式：
Ｃ＝
d
2＋d 或 Ｃ＝
r＋2r
圆周长的一半=
r
例：
半圆的周长就是用圆的周长除以2。
（ ×）
19．半圆面积＝圆的面积
2 公式为：
Ｓ＝
ｒ²
2
例：
一个半径为20米的舞台，面积是多少？
解：
S=πｒ²÷2
=π×20×20÷2
=200π㎡
答：
舞台的面积是200π㎡。
20．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
例：
在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和周长就都扩大（4）倍，而面积扩大（16）倍。
21．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。
例如：
两个圆的半径比是2：
3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2：
3，而面积比是4：
9。
22．圆周长和直径的比是
：
1，比值是
；
圆周长和半径的比是2
：
1，比值是2
；
例：
已知一个圆形跑到的周长是1256米，求该圆的直径和半径。
解:
d=c÷π=1256÷3.14=400米
r=c÷2π=200米
答：
圆的直径和周长分别是400米和200米。
23．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加2
ａ厘米；
当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加
ａ厘米。
例：
一个半径为3米的圆，半径增加1米，周长增加多少米？
解：
C1=2πr=6π米
C2=2πr=8π米
增加量：
C2-C1=8π-6π=2π米
答：
周长增加了2π米。
24．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。
25．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。
26．扇形弧长公式：
扇形的面积公式：
S=
ｒ²（n为扇形的圆心角度数，r为扇形所在圆的半径）
例：
一个圆心角是90°的扇形，半径是4厘米，面积是多少？
解：
90°÷360°×πr²=4π平方厘米
答：
面积是4π平方厘米。
27．轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
28．有一条对称轴的图形有：
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是：
长方形
有3条对称轴的图形是：
等边三角形
有4条对称轴的图形是：
正方形
有无数条对称轴的图形是：
圆、圆环。
29．直径所在的直线是圆的对称轴。
例：
圆是（ 轴对称）图形，有（无数）条对称轴。
半圆有
（1）条对称轴。
第二单元 百分数应用题
（一）百分数的基本概念
1．百分数的定义：
表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。
百分数也叫做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。
2．百分数的意义：
表示一个数是另一个数的百分之几。
例如：
25％的意义：
表示一个数是另一个数的25％。
3．百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。
分子部分可为小数、整数，可以大于100，小于100或等于100。
例：
初一八班有54人，某次体育测试，54人达标，那么初一八班体育达标率是多少？
解：
54÷54×100%=100%
答：
体育达标率为100%。
4．小数与百分数互化的规则：
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
5．百分数与分数互化的规则：
把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再把小数化成百分数；
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
=（0.4）=（ 40）%
（二）百分数应用题
百分数应用题
（一）
求增加百分之几？
减少百分之几？
公式：
增加百分之几=增加的部分÷单位1
减少百分之几=减少的部分÷单位1
例：
1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：
根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1；
先确定单位1是水，已经知道是45；增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：
第一步：
单位1：
水：
45立方厘米
第二步：
增加的部分：
50—45=5立方厘米
第三步：
增加百分之几：
5÷45=11.1%
4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。
5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”
“增长百分之几“等。
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等。
百分数应用题
（二）
比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数。
例1、某小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年增加了25%，今年有多少名学生？
解题思路：
单位1去年已经知道用乘法，增加用（1+25%）
算式：
80×（1+25%）
2、某小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年减少了25%，今年有多少名学生？
解题思路：
单位1去年已经知道用乘法，减少用（1-25%）
算式：
80×（1-25%）
3、某小学今年有100名学生，比去年增加了25%，去年有多少名学生？
解题思路：
单位1去年不知道用除法，增加用（1+25%）
算式：
100÷（1+25%）
4、某小学今年有100名学生，比去年减少了25%，去年有多少名学生？
解题思路：
单位1去年不知道用除法，增加用（1-25%）
算式：
100÷（1-25%）
百分数应用题（三）列方程解百分数应用题
1、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，第一天比第二天多看20页，这本书一共有多少页？
解题思路：
单位1一本书不知道，可以选用方程或除法来解答。
根据“第一天比第二天多看20页”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天减去第二天等于多出的20页。
等量关系式：
（第一天）—（第二天）=20页
方法1：
解：
设这本书一共有X页。
由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%，用X可以表示为25%X，由“第二天看了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%，用X可以表示为20%X.依据等量关系式“第一天—第二天=20页”
可以列方程为：
25%X—20%X=20
方法2：
“第一天比第二天多看20页”可以知道20页是第一天和第二天的差。
要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为：
20÷（25%—20%）
2、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，两天共看了20页，这本书一共有多少页？
等量关系式：
由“两天共看了20页”可以知道（第一天）+（等二天）=20页。
方程法：
解：
设这本书共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。
方程列为：
25%X+20%X=20
算术法：
由“两天共看了20页”可以知道20页是第一天和第二天的和，要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为：
20÷（25%+20%）
3、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，还剩20页，这本书一共有多少页？
等量关系式：
（一本书）—（第一天）—（第二天）=20页
方程法：
解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。
列方程为：
X—25%X—20%X=20
算术法：
20÷（1-25%-20%）
4、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天比第一天多看10页，还剩20页，这本书一共有多少页？
方程法：
解：
设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为（25%X+10）页。
列方程为：
X—25%X—（25%X+10）=20
百分数应用题（四）
利息的计算
1.本金：
存入银行的钱叫做本金。
2．利息：
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息=本金×利率×时间
3．2008年10月9日以前国家规定，存款的利息要按20％的税率纳税。
国债的利息不纳税。
2008年10月9日以后免收利息税。
所以如无特殊说明，就不在计算利息税。
4．利率：
利息与本金的比值叫做利率。
5．银行存款税后利息的计算公式：
税后利息＝利息×（１－20％）
6．国债利息的计算公式：
利息＝本金×利率×时间
7．本息：
本金与利息的总和叫做本息。
8．应纳税额：
缴纳的税款叫应纳税额。
9．税率：
应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
10．应纳税额的计算：
应纳税额＝各种收入×税率
例如：
李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？
解题思路：
要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤：
第一步：
根据“利息＝本金×利率×时间”算利息
利息：
2000×4.14%×5=414元
第二步：
本金+利息：
2000+414=2414元。
例如：
李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？
（如果利息按20%来上税）
解题思路：
要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤：
第一步：
根据“利息＝本金×利率×时间”算利息
利息：
2000×4.14%×5=414元
第二步：
算税后利息：
414×（1—20%）=331.2元
本金+利息：
2000+331.2=2331.2元。
第三章图形的变换
1、图形变换的三种方法：
第一种平移：
要说明向什么方向（上、下、左、右）平移几个单位。
第二种旋转：
要说明绕哪个点，顺时针还是逆时针，旋转多少度（90度、180度、270度）
第三种作对称图形：
要说明是关于哪条直线作哪个图形的对称图形。
2、比赛场次、握手次数的计算
第一步：
首先要算出有多少个人（或多少支队伍）进行比赛。
有多少个人进行握手。
第二步：
计算比赛场次、握手次数。
例如：
如果是5人，从1加到4，如果是6人，从1加到5，如果是8人，从1加到7，如果是100人，从1加到99.
3、计算起跑线。
例如：
第一道的弯道半径是36米，每个道的跑道宽度是1.2米
那么：
第二道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度=36+1.2。
第三道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2
第四道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2
第五道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2+1.2
不同的两个道的起跑点相差多少米的算法：
第一步：
先算出要跑几圈。
第二步：
计算出两个半圆性跑道所构成的圆的周长。
第三步：
有两个道的圆周长相减，就得出了在两个道种跑一圈的起点相差多少米。
第四步：
用这个相差数×要跑的圈数。
第四章比的认识
（一）比的基本概念
1．两个数相除又叫做两个数的比。
比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
2．比值通常用分数、小数和整数表示。
3．比的后项不能为0。
4．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；
5．根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。
6．比的基本性质：
比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。
（二）求比值
求比值：
用比的前项除以比的后项
例如：
36分：
1小时=0.68立方分米：
2立方分米=4
（三）化简比
化简比：
用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比。
例如：
12:
16=3:
4
（四）比的应用
1、比的第一种应用：
已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：
六年级有60人，男女生的人数比是5：
7，男女生各有多少人？
题目解析：
60人就是男女生人数的和。
解题思路：
第一步求每份：
60÷（5+7）=5人
第二步求男女生：
男生：
5×5=25人女生：
5×7=35人。
2、比的第二种应用：
已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？
例如：
六年级有男生25人，男女生的比是5：
7，求女生有多少人？
全班共有多少人？
题目解析：
“男生25人”就是其中的一个数量。
解题思路：
第一步求每份：
25÷5=5人
第二步求女生：
女生：
5×7=35人。
全班：
25+35=60人
3、比的第三种应用：
已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：
六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：
5，男女生各有多少人？
全班共有多少人？
题目解析：
“男生比女生多20人”就是两个量的差。
解题思路：
第一步求每份：
20÷（7-5）=10人
第二步求男生、女生、全班总人数：
女生：
10×5=50人，
男生：
10×7=70人，全班：
50＋70=120人
4、要求量=已知量×
5、比在几何里的运用：
（1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：
ｂ。
求长和宽、面积。
长=周长÷2×
宽=周长÷2×
面积＝长×宽
（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：
ｂ：
ｃ。
求长、宽、高、体积
长=周长÷４×
宽=周长÷４×
高=周长÷４×
体积＝长×宽×高
（3）已知三角形三个角的比是ａ：
ｂ：
ｃ，求三个内角的度数。
三个角分别为：
180×
180×
180×
（4）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：
ｂ：
ｃ，求三条边的长度。
三条边分别为：
周长×
周长×
周长×
第五章圆柱和圆锥
一、 面的旋转
1.“点、线、面、体”之间的关系是：
点的运动形成线；线的运动形成面；面的旋转形成体。
2.圆柱的特征：
（1）圆柱的两个底面是半径相等的两个圆。
（2）两个底面间的距离叫做圆柱的高。
（3）圆柱有无数条高，且高的长度都相等。
3.圆锥的特征：
（1）圆锥的底面是一个圆。
（2）圆锥的侧面是一个曲面。
（3）圆锥只有一条高。
二、 圆柱的表面积
1.沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）。
（如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形）
2.圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示为：
S侧＝ch。
3.圆柱的侧面积公式的应用：
（1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：
S侧＝ch；
（2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：
S侧＝ðdh；
（3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：
S侧＝2ðrh
4.圆柱表面积的计算方法：
如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，S底表示底面积，d表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱的表面积为：
S表=S侧+2S底
或S表=ðdh+ðd²/2
或S表=2ðrh+2ðr2
5.圆柱表面积的计算方法的特殊应用：
（1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。
（2）圆柱的表面积只包括侧面积的，例如烟囱、油管等圆柱形物体。
三、 圆柱的体积
1. 圆柱的体积：
一个圆柱所占空间的大小。
2. 圆柱的体积＝底面积×高。
如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么V＝Sh。
3. 圆柱体积公式的应用：
（1） 计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：
V＝Sh。
（2） 已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：
V＝ðr2h；
（3） 已知圆柱的底面直径和高，求体积，可用公式：
V＝ð（d/2）2h；
（4） 已知圆柱的底面周长和高，求体积，可用公式：
V＝ð（C/2ð）2h；
4.圆柱形容器的容积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。
5.圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。
四、 圆锥的体积
1. 圆锥只有一条高。
2. 圆锥的体积＝1/3×底面积×高。
如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，则字母公式为：
V=1/3Sh
3. 圆锥体积公式的应用：
（1）求圆锥体积时，如果题中给出底面积和高这两个条件，
可以直接运用“v=1/3Sh”这一公式。
（2）求圆锥体积时，如果题中给出底面半径和高这两个条件，
可以运用1/3πr²h
（3）求圆锥体积时，如果题中给出底面直径和高这两个条件，
可以运用1/3π（d/2）²h
（4）求圆锥体积时，如果题中给出底面周长和高这两个条件，
可以运用1/3π（c/2π）²h
第六章正比例和反比例
一、 变化的量
生活中存在着大量互相依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。
二、 正比例
1. 正比例的意义：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为：
y/x=k（一定）。
2. 应用正比例的意义判断两种量是否成正比例：
有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例，例如：
被减数与差，正方形的面积与边长等。
三、 画一画
正比例的图像是一条直线。
四、 反比例
1. 反比例的意义：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：
x·y=k（一定）。
2. 判断两个量是不是成反比例：
要先想这两个量是不是相关联的量；再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定；最后作出结论。
例：
A、B、C三种量的关系是:
A×B＝C
（1）如果A一定，那么B和C成（正）比例；
（2）如果B一定，那么A和C成（正）比例；
（3）如果C一定，那么A和B成（正）比例．
五、观察与探究
当两个变量成反比例关系时，所绘成的图像是一条光滑曲线。
六、图形的放缩
一幅图放大或缩小，只有按照相同的比来画，画的图才像。
七、比例尺
1. 比例尺：
图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
比例尺=图上距离÷实际距离
图上距离=实际距离×比例尺实际距离=图上距离÷比例尺
例：
在一幅地图上量得甲乙两地距离6厘米，乙丙两地距离8厘米；已知甲乙两地间的实际距离是120千米，乙丙两地间的实际距离是（ 160）千米；这幅地图的比例尺是（1:
2000000）。
2. 比例尺的分类：
比例尺根据实际距离是缩小还是扩大，分为缩小比例尺和放大比例尺。
根据表现形式的不同，比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺。
例：
一种微型零件的长5毫米，画在图纸上长20厘米，这幅图的比例尺是（40：
1）。
3. 比例尺的应用：
（1）、已知比例尺和图上距离，求实际距离
比例尺=图上距离÷实际距离
图上距离=实际距离×比例尺
实际距离=图上距离÷比例尺
例如：
在比例尺是1:
4000000的地图上，图上距离1厘米表示实际距离（40）千米。
也就是图上距离是实际距离的，实际距离是图上距离的（ 4000000）倍。
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