高中数学必修三 计数概率统计与分布列知识梳理 含答案.docx
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高中数学必修三计数概率统计与分布列知识梳理含答案
计数，概率，统计与分布列知识梳理
10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有_____________种方法．（也称加法原理）
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有__________________种方法．（也称乘法原理）
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：
分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
[方法与技巧]
1．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
2．分类标准要明确，做到不重复不遗漏．
3．混合问题一般是先分类再分步．
4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
[失误与防范]
1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．
2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
3．确定题目中是否有特殊条件限制．
10.2排列与组合
1．排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素
按照__________排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
（1）排列数的定义：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的_________的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A
表示．
（2）组合数的定义：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的_________的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C
表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式
（1）A
＝_________________＝________________
（2）C
＝____＝__________________＝_______________
性质
（3）0！
＝__；A
＝____（4）C
＝____；C
＝________
[方法与技巧]
1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：
（1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
（3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．
2．排列、组合问题的求解方法与技巧：
（1）特殊元素优先安排；
（2）合理分类与准确分步；（3）排列、组合混合问题先选后排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价条件．
[失误与防范]
求解排列与组合问题的三个注意点：
（1）解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．
（2）解受条件限制的组合题，通常用直接法（合理分类）或间接法（排除法）来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．
（3）对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．
10.3二项式定理
1．二项式定理
二项式定理
（a＋b）n＝________________________________________（n∈N＋）
二项展开式的通项公式
Tr＋1＝C
an－rbr，它表示第______项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C
（r∈{0,1,2，…，n}）
2.二项式系数的性质
（1）0≤r≤n时，C
与C
的关系是______
（2）二项式系数先增后减________最大
当n为偶数时，第_____项的二项式系数最大，最大值为__；当n为奇数时，第____项和_______项的二项式系数最大，最大值为______和_____
（3）各二项式系数和：
C
＋C
＋C
＋…＋C
＝____，
C
＋C
＋C
＋…＝C
＋C
＋C
＋…＝____
【知识拓展】
二项展开式形式上的特点
（1）项数为______
（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
（3）字母a按_____排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按_____排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
（4）二项式的系数从____，C
，一直到C
，___
[方法与技巧]
1．通项Tr＋1＝C
an－rbr是（a＋b）n的展开式的第r＋1项，而不是第r项，这里r＝0,1，…，n.
2．二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C
，C
，…，C
，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
3．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
4．运用通项求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．
[失误与防范]
1．项的系数与a、b有关，二项式系数只与n有关，大于0.
2．求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”．
3．关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法．
4．展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．
11.1随机抽样
1．抽样调查
（1）抽样调查
通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行_________，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出_______，这就是抽样调查．
（2）总体和样本
调查对象的______称为总体，被抽取的_______称为样本．
（3）抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点：
①______________；
②节约人力、物力和财力．
2．简单随机抽样
（1）简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率______
（2）通常采用的简单随机抽样的方法：
__________________
3．分层抽样
（1）定义：
将总体按其属性特征分成若干类型（有时称作层），然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．
（2）分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
4．系统抽样
系统抽样是将总体中的个体进行编号，_______分组，在第一组中按照___________抽取第一个样本，然后按____________（称为抽样距）抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样．
[方法与技巧]
1．简单随机抽样的特点：
总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性；个体间无固定间距．
2．系统抽样的特点：
适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
3．分层抽样的特点：
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．
[失误与防范]
进行分层抽样时应注意以下几点：
（1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.\
11.2统计图表，用样本估计总体
1．统计图表
统计图表是_____和_____数据的重要工具，常用的统计图表有____________,______________,______________,______________等．
2．数据的数字特征
（1）众数、中位数、平均数
众数：
在一组数据中，出现次数_____的数据叫作这组数据的众数．
中位数：
将一组数据按大小依次排列，把处在_______位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数．
平均数：
样本数据的算术平均数，即
＝________________在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
（2）样本方差、标准差
标准差s＝______________________________
其中xn是样本数据的第n项，n是___________，
是________
标准差是刻画数据的离散程度的特征数，样本方差是标准差的____.通常用样本方差估计总体方差，当____________________时，样本方差很接近总体方差．
3．用样本估计总体
（1）通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用_____________________________，另一种是用____________________________
（2）在频率分布直方图中，纵轴表示______，数据落在各小组内的频率用______________表示，各小长方形的面积总和等于____.
（3）在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的_____开始，用线段依次连接各个矩形的__________，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图．
（4）当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它没有信息的缺失，而且___________，方便表示与比较．
[方法与技巧]
1．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．
2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．
3．若取值x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均数为
，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a
＋b，方差为a2s2.
[失误与防范]
频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．
11.3变量间的相关关系，统计案例
1．相关性
（1）通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的_______
（2）从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为_______
（3）在两个变量x和y的散点图中，若所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是__________的，若所有点看上去都在某条曲线（不是一条直线）附近波动，称此相关是___________的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是__________
2．线性回归方程
（1）最小二乘法
如果有n个点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），可以用[y1－（a＋bx1）]2＋[y2－（a＋bx2）]2＋…＋[yn－（a＋bxn）]2来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
（2）线性回归方程
方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）的线性回归方程，其中a，b是待定参数．
3．回归分析
（1）定义：
对具有________的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
（2）样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中，________称为样本点的中心．
（3）相关系数
①r＝
＝
；
②当r>0时，表明两个变量_______；
当r<0时，表明两个变量_________
当r＝0时，表明两个变量_________．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度_______.r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关程度越低．
4．独立性检验
设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，
变量A：
A1，A2＝
1；变量B：
B1，B2＝
1；
2×2列联表：
B
A
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
构造一个随机变量
χ2＝
.
利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B没有关联的；
当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
[方法与技巧]
1．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：
（1）确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；
（2）根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；（3）求出线性回归方程．
2．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度．
[失误与防范]
1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
2．独立性检验中统计量χ2的值的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错．
12.1随机事件的概率
1．随机事件和确定事件
（1）在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的_____________
（2）在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S_____________
（3）___________________________统称为相对于条件S的确定事件．
（4）______________________________的事件，叫作相对于条件S的随机事件．
（5）___________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．
2．频率与概率
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有_______．这时，我们把_______叫作随机事件A的概率，记作P（A）．
3．事件的关系与运算
互斥事件：
在一个随机试验中，我们把一次试验下发生的两个事件A与B称作互斥事件．
事件A＋B：
事件A＋B发生是指事件A和事件B______________________
对立事件：
不会______发生，并且___________发生的事件是相互对立事件．
4．概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：
________________
（2）必然事件的概率P（E）＝____
（3）不可能事件的概率P（F）＝____
（4）互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝________________
②若事件A与事件
互为对立事件，则P（A）＝______________．
[知识拓展]
互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
[方法与技巧]
1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加稳定于_________,因此可以用频率fn（A）来估计概率P（A）．
2．从集合角度理解互斥事件和对立事件
从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为______，事件A的对立事件
所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的_______．
[失误与防范]
1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：
对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的__________条件．
2．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．
12.2古典概型
1．基本事件的特点
（1）任何两个基本事件是_______的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成_____________的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型．
（1）试验的所有可能结果_____________，每次试验只出现其中的一个结果；
（2）每一个试验结果出现的可能性__________
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是
；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）＝ ________ .
4．古典概型的概率公式
P（A）＝
.
[方法与技巧]
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．
2．确定基本事件的方法
（1）当基本事件总数较少时，可列举计算；
（2）列表法、树状图法．
3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．
[失误与防范]
1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．
2．概率的一般加法公式：
P（A＋B）＝___________________．
公式使用中要注意：
（1）公式的作用是求A＋B的概率，当AB＝∅时，A、B互斥，此时P（AB）＝0，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；
（2）要计算P（A＋B），需要求P（A）、P（B），更重要的是把握事件AB，并求其概率；（3）该公式可以看作一个方程，知三可求一．
12.3几何概型
1．几何概型
向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P（点M落在G1）＝___________，则称这种模型为几何概型．
2．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是_______之比或_________之比．
3．借助_________可以估计随机事件发生的概率．
[方法与技巧]
1．区分古典概型和几何概型最重要的是看__________的个数是有限个还是无限个．
2．转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
（1）一般地，一个连续变量可建立与_____有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；
（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与______有关的几何概型；
（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与_______有关的几何概型．
[失误与防范]
1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内_________所求结果.
12.4离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量的分布列
（1）将随机现象中试验（或观测）的每一个可能的结果都对应于________，这种_______称为一个随机变量．
（2）离散型随机变量：
随机变量的取值能够______________，这样的随机变量称为离散型随机变量．
（3）设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi（i＝1,2，…），记作：
_____________（i＝1,2，…），
或把上式列表：
X＝ai
a1
a2
…
P（X＝ai）
p1
p2
…
称为离散型随机变量X的分布列．
（4）性质：
①pi___0，i＝1,2，…；
②p1＋p2＋…＝___.
2．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M（M≤N）件次品．从中任取n（n≤N）件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P（X＝k）＝______________（其中k为非负整数）．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
[方法与技巧]
1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的______以及取这些值的______．
2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．
[失误与防范]
掌握离散型随机变量的分布列，须注意：
（1）分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
（2）要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
12.5二项分布及其应用
1．条件概率
在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的___________，用符号P（A|B）来表示，其公式为P（A|B）＝__________（P（B）>0）．
2．相互独立事件
（1）一般地，对两个事件A，B，如果有________________，则称A、B相互独立．
（2）如果A、B相互独立，则_________________________________也相互独立．
（3）如果A1，A2，…，An相互独立，则有：
P（A1A2…An）＝_________________________．
3．二项分布
进行n次试验，如果满足以下条件：
（1）每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；
（2）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；
（3）各
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