学大精品讲义五上数学含答案14第十四讲数学广角植树问题.docx

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学大精品讲义五上数学含答案14第十四讲数学广角植树问题

第十四讲数学广角——植树问题

适用学科

小学数学

适用年级

小学五年级

适用区域

广州

课时时长（分

钟）

120分钟

知识点

1.非封闭线路上的植树问题

2.封闭线路上的植树问题

教学目标

1、在摆一摆、画一画、想一想、说一说等实践活动中发现间隔数与植树棵数之间的关系。

2、在小组合作、交流中，进一步理解间隔数与棵数之间规律，并解决简单的植树问题。

3、在学习活动中，体会数学与生活的密切联系，锻炼数学思维能力，体

验数学思想方法在解决问题上的应用，感受日常生活中处处有数学，进一步激发学生学习和探索的兴趣。

教学重点

理解“植树问题（两端要种）”的特征，应用规律解决问题。

教学难点

让学生发现植树的棵数和间隔数之间的关系。

理解“间距数+1=棵数，棵

数－1=间距数”

教学过程

一、复习预习

木料———————————————

（1）如图，这段木料一共锯了（）次，被锯成了（）段，锯成的段数比锯的次数多

（）

（2）像这样锯10次，这根木料要被锯成（）段。

二、知识讲解

考点/易错点1：

非封闭线路上的植树问题。

非封闭线路上的植树问题。

主要可分为以下三种情形:

⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数＝段数＋1＝全长÷株距+1

全长＝株距×（株数－1）

株距＝全长÷（株数－1）

⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数株距＝全长÷株数

（3）如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数＝段数－1＝全长÷株距－1

全长＝株距×（株数＋1）株距＝全长÷（株数＋1）

考点/易错点2：

封闭线路上的植树问题。

封闭线路上的植树问题。

的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数株距＝全长÷株数

三、例题精析

【例题1】在一条长270米的水渠边植树，每隔3米植一棵，两端都植，则共植树（）棵．

A、90B、80C、91D、89

【例题2】在相距100米的两楼之间栽上桂花树，每隔5米栽一棵，一共要栽棵．

【例题3】一条马路长440米，在路的两旁每隔8米种一棵树，共种棵树．

【例题4】电力公司在公路两旁埋同样多的电线杆共402根，每相邻两根之间的距离是20

米．后来全部改装，只埋了202根．改装后每相邻两根之间的距离是米．

【例题5】在一个周长900米的湖边栽树，每隔9米载一棵，可栽树多少棵？

【例题6】学校400米环形跑道每隔4米插一面小旗，现在要改成每隔5米插一面小旗，有面小旗不要移动．

四、课堂运用

【基础】

1.锯一根木头，每锯一段要用7分钟，锯6段要用多少分钟？

2.在一段100米的街道两旁安装路灯，每隔10米安装一盏（街道的两头都要安装），这段街道一共要安装多少盏路灯？

3.在一条全长2千米的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50米安一座，一共要安装

座路灯．

4.同学们排成一队，共36人，每相邻两人之间的距离是2米，那么这一队伍从头到尾共长多少？

【巩固】

1.学校组织学生排成一个方阵进行团体操表演，最外层共站了40人，这个方阵共有多少人？

2.同学们排成一队，共36人，每相邻两人之间的距离是2米，那么这一队伍从头到尾共长多少？

3.电梯坏了，小红要步行走回在10楼的家，她从1楼出发到达4楼后看了一下时间，发

现自己用去了6分钟，如果小红以不变的速度走上10楼，她一共用了多少时间?

4.街心公园一条直甬路的一侧有一端原栽种着一株海棠树,现每隔12米栽一棵海棠树,共用

树苗25棵,这条甬路长米?

5.有一条长1250米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵杨树,园林部门需运来棵杨树苗?

6.在一条绿荫大道的一侧从头到尾每隔15米坚一根电线杆,共用电线杆86根,这条绿荫大道全长米?

【拔高】

1.一个圆形花坛的周长是40米，在它的边上每隔4米摆一盆花，一共需要（）盆花．

A.9B.10C.11

2.2路公共汽车行驶路线全长10千米，相邻两站的距离是1千米，一共有个车站．

3.学校组织学生排成一个方阵进行团体操表演，最外层共站了40人，这个方阵共有多少人？

4.有一根绳子长20m，从一端开始每隔4dm作一个记号，每隔5dm也作一个记号，然后将绳子在标有记号的地方剪断，绳子共被剪成段．

课程小结

本节课通过观察总结棵数和间隔数之间的关系，并应用解题，让学生体会知识的形成，加上学生对知识的记忆。

1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

（1）如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数＝段数＋1＝全长÷株距+1

全长＝株距×（株数－1）株距＝全长÷（株数－1）

（2）如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数株距＝全长÷株数

（3）如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数＝段数－1＝全长÷株距－1

全长＝株距×（株数＋1）株距＝全长÷（株数＋1）

2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数株距＝全长÷株数

课后作业

【基础】

1.在一条全长2千米的街道两旁安装路灯（两端都安装），每隔50米安一盏．一共要安装多少盏？

2.锯一根木头，每锯一段要用7分钟，锯6段要用多少分钟？

3.在一段100米的街道两旁安装路灯，每隔10米安装一盏（街道的两头都要安装），这段街道一共要安装多少盏路灯？

4.在一个周长900米的湖边栽树，每隔9米载一棵，可栽树多少棵？

【巩固】

1.在一条长600米的马路一边安装路灯（两端都装），每隔30米装1盏，一共要装多少盏路灯？

2.有一个窗框长1米60厘米，准备安装7根铁栏杆，栏杆的距离是多少厘米？

3.时钟4点钟敲4下，用12秒敲完。

那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

4.街心公园一条甬道长200米,在甬道的两旁从头到尾等距离栽种美人蕉,共栽种美人蕉82棵,每两棵美人蕉相距多少米?

5.一个圆形水池周围每隔2米栽一棵杨树,共栽了40棵,水池的周长是多少米?

6.明明要爷爷出一道趣味题,爷爷给他念了一个顺口溜:

湖边春色分外娇,一株杏树一株桃,平湖周围三千米,六米一株都栽到,漫步湖畔美景色,可知桃杏各多少?

【拔高】

1.在一个正方形池塘四周栽树，四个顶点各栽一棵，这样每边都栽有25棵，如果每相邻两棵之间相距2米，这个正方形池塘的周长有多少米？

2.一个圆形的花坛，周长是180米。

每隔６米种芍药花，每相临两棵芍药花之间种两棵月季花。

可以栽多少棵芍药花？

多少棵月季花？

3.一条长300米的公路一侧，每隔3米种l棵杨树；另一侧每隔5米种1棵柳树；已知公路两端都种树，那么这条公路两侧共有棵树

4.在一条3千米公路两侧种树，每隔15米种一棵，在这条公路上一共种了多少棵树？

第十四讲数学广角——植树问题【答案】

【例题精析】

【例1】【解析】用路的长度除以间隔的米数，求出间隔数，因两端都要栽，所以栽的棵数

=间隔数+1．据此解答．270÷3+1

=90+1

=91（棵）

答：

共植树91棵．故选：

C．

【例2】【解析】间隔数是：

100÷5=20个，由于树的两端都是楼房，所以楼间的距离两端

都不栽树，栽树的棵数是：

20-1=19（棵），据此解答．100÷5-1=20-1

=19（棵）；

答：

两座楼房之间一共能栽19棵．故答案为：

19．

【例3】【解析】先求出马路一旁的植树棵数：

两端都要栽时，植树棵数=间隔数+1，440÷8=55个间隔，所以可以植树56棵，再乘2即可解答．

（440÷8+1）×2

=56×2

=112（棵）

答：

共种112棵树．故答案为：

112．

【例4】【解析】路的长度是：

（402÷2-1）×20=4000（米），后来全部改装，只埋了202

根，每旁埋：

202÷2=101（根），那么改装后每相邻两根之间的距离是4000÷（101-1）

=40（米）；据此解答．

（402÷2-1）×20=4000（米），202÷2=101（根），

4000÷（101-1）=40（米）；

答：

改装后每相邻两根之间的距离是40米．

故答案为：

40．

【例5】【解析】据“间隔数=总距离÷间距”可以求出间隔数，列式为：

900÷9=100（个），由于在封闭图形上的植树，栽树的棵数=间隔数，所以，共植树100棵；据此解答．900÷9=100（棵）

答：

可栽树100棵．

【例6】【解析】分析题意可得，不动的小旗地点应该是4和5的公倍数所在的位置，找出

400以内有几个4和5的公倍数即可

400以内4与5的公倍数有20、40、60、80、100、120、140、160、180、200、220、240、

260、280、300、320、340、360、380、400共20个．

故答案为：

20

【课堂运用】

【基础】

1.【解析】要把一根木头锯成6段，那么只要锯（6－1）次就可以，每段锯一段要7分钟，

可用（6－1）乘7计算出锯段要用的时间。

（6－1）×7=35（分钟）

2.【解析】两端都要安装时，路灯盏数=间隔数+1，由此先求出间隔数是：

100÷10=10，再加上1即可。

100÷10+1＝11（盏）

3.【解析】82

先求出2千米里面有几个50，即有几个间隔，最后一端还要安装一盏，由此得出一侧安装路灯的盏数，进而求出两侧安装路灯的盏数。

4.【解析】）把36个同学看作是36棵树，那么这就是植树问题中的两端都要栽的情况，1

个间隔长度为2米，只要求出有几个间隔即可：

间隔数=植树棵数－1，由此即可解决问题（36-1）×2＝70（米）

【巩固】

1.．【解析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：

40÷4+1=11（人），因此这个方阵共有学生11×11=121（人），据此解答。

40÷4+1=11（人）11×11=121（人）

2.【解析】把36个同学看作是36棵树，那么这就是植树问题中的两端都要栽的情况，1

个间隔长度为2米，只要求出有几个间隔即可：

间隔数=植树棵数－1，由此即可解决问题。

（36-1）×2＝70（米）

3.【解析】这个题目的关健在于我们要弄清楚从1楼到4楼，1楼到10楼各有多少层，这

样我们就可以求出小红走一层楼所用的时间，从而求出她一共用的时间，从1楼到4楼一

共是要走3层楼梯，我们可以总结从1楼到n层楼走的楼梯是（n-1）层楼，因此从1楼走到

10楼是9层楼梯。

解：

小红走一层楼用的时间：

3÷3=1（分钟）

小红走9层楼梯用的时间：

1×9=9（分钟）

答：

她一共用了6分钟。

4.【解析】这已知间隔长12米,棵数是25棵,求全长.列式是:

12×25=300（米）

答:

这条甬路长300米.

5.【解析】此题是植树问题中植树线路不是封闭的一种,并要求植树线路的两端都要植树.那么全长、棵数、间隔三量之间的关系是:

棵数=全长÷间隔长+1

全长=间隔长×（棵数-1）

间隔长=全长÷（棵数-1）

6.【解析】只要知道其中两个,就可求出第三个量.1250是全长,25是间隔长求棵数,列式是:

1250÷25+1=50+1=51（棵）.

答:

需运来51棵树苗.

5是间隔长,86是棵数,求全长.列式是:

15×（86-1）=15×85=1275（米）

答:

这条绿荫大道全长1275米.

【拔高】

1.【解析】B

围成圆圈摆放花盆，花盆数=间隔数，由此求出40米里有几个4米的间隔，就有几盆花。

所以选B。

2.【解析】11

由题意得出车站总数=总长÷间距+1，代数计算即可。

10÷1+1＝11（个）。

故答案为：

11。

3．【解析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：

40÷4+1=11（人），因此这个方阵共有学生11×11=121（人），据此解答

40÷4+1=11（人）11×11=121（人）

4．【解析】先计算4dm的标记，一共做200÷4-1=49个标记；再计算5dm的标记，一共做

200÷5-1=39个标记；4dm和5dm重复标记在20dm处，有200÷20-1=9个；一共标记数为

49+39-9=79个，段数就应该是79+1=80段．

20m=200dm，200÷4-1=49（个）；

200÷5-1=39（个）；

200÷20-1=9（个）；

49+39-9=79（个），

79+1=80（段）．

答：

绳子共被剪成80段．故答案为：

80．

课后作业

【基础】

1.【解析】先求出2千米里面有几个50米，即有几个间隔，最后一端还要安装一盏，由此得出一侧安装路灯的盏数，进而求出两侧安装路灯的盏数。

2千米=2000米2000÷50=40（个）（40+1）×2=82（盏）

2.【解析】要把一根木头锯成6段，那么只要锯（6－1）次就可以，每段锯一段要7分钟，

可用（6－1）乘7计算出锯段要用的时间。

（6－1）×7=35（分钟）

3.【解析】两端都要安装时，路灯盏数=间隔数+1，由此先求出间隔数是：

100÷10=10，再

加上1即可100÷10+1＝11（盏）

4.【解析】据“间隔数=总距离÷间距”可以求出间隔数，列式为：

900÷9=100（个），由

于在封闭图形上的植树，栽树的棵数=间隔数，所以，共植树100棵；据此解答．900÷9=100（棵）

答：

可栽树100棵.

【巩固】

1.【解析】先求出600米里面有几个30米，即有几个间隔，因为路的两端都要安装路灯，所以路灯盏数=间隔数+1，由此求出一边安装路灯的盏数。

600÷30+1=21（盏）

2.【解析】

解：

间隔数7＋1＝8（个）

栏杆间的距离

1米60厘米＝160厘米

160÷8＝20（厘米）

答：

栏杆的距离是20厘米。

3.【解析】时钟敲４下，经过了３个时间间隔，每个时间间隔是：

12÷（4－1）＝4（秒）解：

12÷（4－1）＝4（秒）

４×（６－１）＝20（秒）答：

20秒敲完。

4.【解析】解法一:

82棵是甬道两旁的,先求出一旁栽的棵数.

82÷2=41（棵）,

再求间隔长.200÷（41-1）=200÷40=5（米）

答:

每两棵美人蕉相距5米.

解法二:

可以把两旁转成一侧.200×2=400（米）,转化成一侧后两棵美人蕉重叠,所以共植82-1=81（棵）,再求间隔长,400÷（81-1）=400÷80=5（米）

答:

每两棵美人蕉相距5米.

5.【解析】已知间隔长2米,又知棵数40棵,求全长.列式是:

2×40=80（米）答:

水池的周

长是80米.

6.【解析】植树线路是封闭的,所以棵数与间隔数相等.共栽桃树杏树3000÷6=500（棵）.由于“一株杏树一株桃”,所以桃、杏的棵数相等,都是500÷2=250（棵）.

答:

桃树、杏树各250棵.

【拔高】

1.【解析】这道题有两种解答方法，一种是先求一共有多少棵树，再求周长；另一种是先求正方形的边长，再求周长。

解法一：

树的总数25×4-4＝96（棵）或：

（25-1）×4＝96（棵）

池塘的周长2×96＝192（米）解法二：

池塘的边长2×（25－1）＝48（米）

池塘的周长48×4＝192（米）答：

池塘的周长有192米

2.【解析】首先，花坛的一周以6米为一段，可以分成180÷6＝30（段）。

由于是圆形，

首尾两棵重合，所以段数＝棵树，也就是种30棵芍药花，其次，每两棵芍药花之间种两棵

月季花，也就是每段里有2棵月季花，30段就有30个两棵。

解：

芍药花的棵树：

180÷6＝30（棵）

月季花的棵树：

2×30＝60（棵）

答：

可以栽30棵芍药花、60棵月季花。

3．【解析】每隔3米种l棵杨树，间隔数为：

300÷3=100个，栽杨树100+1=101（棵）；另

一侧每隔5米种l棵柳树，间隔数为：

300÷5=60个，栽柳树60+1=61（棵）；然后相加，61+101=162（棵）；据此解答．

根据分析可得，300÷3+1=101（棵）

300÷5+1=61（棵）

61+101=162（棵）

答：

这条公路两侧共有162棵树．故答案为：

162．

4．【解析】．【解析】先考虑在公路一侧栽树的情况，两端都要栽，栽树的棵数=间隔数+1；两侧都要栽，再乘2即可

3千米=3000米，

3000÷15=200，

（200+1）×2=201×2=402（棵）；

答：

一共要栽402棵