对数函数典型例题.docx

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对数函数典型例题

对数函数-典型例题

对数函数

例1 求下列函数的定义域

（1）y=log2（x2-4x-5）;

（2）y=logx+1（16-4x）

（3）y=

．

解：

（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0，

故定义域为 ｛x｜x＜-1，或x＞5｝．

（2）令

得

故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝．

（3）令

，得

故所求定义域为

｛x｜x＜-1-

，或-1-

＜x＜-3,或x≥2｝．

说明 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．

例2 求下列函数的单调区间．

（1）y=log2（x-4）；   

（2）y=log0．5x2．

解：

（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大，

∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间．

（2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t

当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小，

∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间．

当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小，

∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间．

例3 比较大小：

（1）log0．71．3和log0．71．8．

（2）（lgn）1．7和（lgn）2（n＞1）．

（3）log23和log53．

（4）log35和log64．

解：

（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以

log0．71．3＞log0．71．8．

（2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论．

若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2；

若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．

（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53．

（4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．

因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64．

评析 要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论．

例4 已知函数f（x）=loga（a-ax）（a＞1），

（1）求f（x）的定义域、值域．

（2）判断并证明其单调性．

（3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）．

解：

（1）要使函数有意义，必须满足a-ax＞0，即ax

（2）设x1＜x2＜1，则a

＜a

＜a（因为a＞1）．所以a-a

＞a-a

＞0，所以loga（a-a

）＞loga（a-a

），即f（x1）＞f（x2）．所以f（x）这（-∞，1）上的减函数．

（3）设y=loga（a-ax），则a-ax=ay,ax=a-ay,x=loga（a-ay）,所以

f-1（x）=loga（a-ax）（x∈（-∞，1）），f（x）=f-1（x）．

由f-1（x2-2）＞f（x）有f（x2-2）＞f（x）,且f（x）为（-∞，1）上的减函数，所以

x2-2＜x,x＜1,解得-1＜x＜1．

评析 知道函数值大小关系和函数单调性，要研究自变量取值范围，应直接用单调性得关于x的不等式，但要注意单调区间．

例5 已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y取最大值时，x的值．

分析 要求函数y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域．

解：

∵f（x）=2+log3x，

∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2

 =（2+log3x）2+2+2log3x

 =log23x+6log3x+6

 =（log3x+3）2-3．

∵函数f（x）的定义域为［1，9］，

∴要使函数y=［f（x）］2+f（x2）有定义，就须

∴1≤x≤3． ∴0≤log3x≤1

∴6≤y=（log3x+3）2-3≤13

∴当x=3时，函数y=［f（x）］2+f（x2）取最大值13．

说明 本例正确求解的关键是：

函数y=［f（x）］2+f（x2）定义域的正确确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22．

其实我们还能求出函数y=［f（x）］2+f（x2）的值域为［6，13］．

例6 

（1）已知函数y=log3（x2-4mx+4m2+m+

）的定义域为R，求实数m的取值范围；

（2）已知函数y=loga［x2+（k+1）x-k+

（a＞0，且a≠1）的值域为R，求实数k的取值范围．

点拨：

题

（1）中，对任意实数x,x2-4mx+4m2+m+

＞0恒成立；题

（2）中，x2+（k+1）x-k+

取尽一切正实数．

解：

（1）∵x2-4mx+4m2+m+

＞0对一切实数x恒成立，

∴△=16m2-4（4m2+m+

）=-4（m+

）＜0，

∴

＞0．

又∵m2-m+1＞0，∴m-1＞0，∴m＞1．

（2）∵y∈R，

∴x2+（k+1）x-k+

可取尽一切正实数．

∴△=（k+1）2-4（-k+

）≥0，

∴k2+6k≥0，∴k≥0，或k≤-6．

评析 本题两小题的函数的定义域与值域正好错位．

（1）中函数的定义域为R，由判别式小于零确保；

（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定．

例7 求函数y=log0．5（-x2+2x+8）的单调区间．

分析 由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8（-2＜x＜4）的单调性相反．

解．∵-x2+2x+8＞0，

∴ -2＜x＜4，

∴ 原函数的定义域为（-2，4）．

又∵ 函数u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1］上为增函数，在［1，4）上为减函数，

∴函数y=log0．5（-x2+2x+8）在（-2，1］上为减函数，在［1，4）上为增函数．

评析 判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．

例8 已知a＞0且a≠1，f（logax）=

·（x-x-1）．

（1）求f（x）;

（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；

（3）对于f（x）,当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的取值范围．

分析 先用换元法求出f（x）的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第（3）小题．

解：

（1）令t=logax（t∈R），则x=at，且f（t）=

（at-a-t），

∴f（x）=

（ax-a-x）（x∈R）．

（2）∵f（-x）=

（a-x-ax）=-f（x），且x∈R，∴f（x）为奇函数．

a＞1时，ax-a-x为增函数，并且注意到

，∴这时，f（x）为增函数．

0＜a＜1时，类似可证f（x）为增函数．

∴f（x）在R上是增函数．

（3）∵f（1-m）+f（1-m2）＜0，且f（x）为奇函数．

∴f（1-m）＜f（m2-1）．

∵f（x）在（-1，1）上是增函数，

∴

∴1＜m＜

．

评析 题（3）的求解脱离了f（x）的具体形式，仅用到前面得到的函数的性质