y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞）
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0，＋∞）
R
[0，＋∞）
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞）时，增，x∈（－∞，0]时，减
增
增
x∈（0，＋∞）时，减，x∈（－∞，0）时，减
定点
（0,0），（1,1）
（1,1）
一条主线
二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．
两种方法
二次函数y＝f（x）对称轴的判断方法：
（1）对于二次函数y＝f（x）对定义域内x1，x2，都有f（x1）＝f（x2），那么函数y＝f（x）图象的对称轴方程为x＝；
（2）对于二次函数y＝f（x）对定义域内所有x，都有f（a＋x）＝f（a－x）成立，那么函数y＝f（x）图象的对称轴方程为x＝a（a为常数）．
两种问题
与二次函数有关的不等式恒成立问题：
（1）ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是
（2）ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是
双基自测
1．下列函数中是幂函数的是（ ）．
A．y＝2x2 B．y＝
C．y＝x2＋x D．y＝－
2．（2011·九江模拟）已知函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，则f
（1）的范围是（ ）．
A．f
（1）≥25 B．f
（1）＝25
C．f
（1）≤25 D．f
（1）＞25
3．（2011·福建）若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）．
A．（－1,1）B．（－2,2）
C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
4．（2011·陕西）函数的图象是（ ）．
5．二次函数y＝f（x）满足f（3＋x）＝f（3－x）（x∈R）且f（x）＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.
考向一 求二次函数的解析式
【例1】►已知函数f（x）＝x2＋mx＋n的图象过点（1,3），且f（－1＋x）＝f（－1－x）对任意实数都成立，函数y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于原点对称．求f（x）与g（x）的解析式．
【训练1】已知二次函数f（x）满足f
（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．
考向二 幂函数的图象和性质
【例2】►幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为（ ）．
A．－1＜m＜3 B．0
C．1 D．2
【训练2】已知点（，2）在幂函数y＝f（x）的图象上，点在幂函数y＝g（x）的图象上，若f（x）＝g（x），则x＝________.
考向三 二次函数的图象与性质
【例3】►已知函数f（x）＝x2－2ax＋1，求f（x）在区间[0,2]上的最值．
【训练3】已知f（x）＝1－（x－a）（x－b）（a＜b），m，n是f（x）的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．
双基自测
1．（人教A版教材习题改编）下列函数中是幂函数的是（ ）．
A．y＝2x2 B．y＝
C．y＝x2＋x D．y＝－
解析 A，C，D均不符合幂函数的定义．
答案 B
2．（2011·九江模拟）已知函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，则f
（1）的范围是（ ）．
A．f
（1）≥25 B．f
（1）＝25
C．f
（1）≤25 D．f
（1）＞25
解析 对称轴x＝≤－2，∴m≤－16，
∴f
（1）＝9－m≥25.
答案 A
3．（2011·福建）若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）．
A．（－1,1）B．（－2,2）
C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
解析 依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.
答案 C
4．（2011·陕西）函数的图象是（ ）．
解析 由幂函数的性质知：
①图象过（1,1）点，可排除A，D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C.
答案 B
5．二次函数y＝f（x）满足f（3＋x）＝f（3－x）（x∈R）且f（x）＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.
解析 由f（3＋x）＝f（3－x），知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝3对称，应有＝3⇒x1＋x2＝6.
答案 6
考向一 求二次函数的解析式
【例1】►已知函数f（x）＝x2＋mx＋n的图象过点（1,3），且f（－1＋x）＝f（－1－x）对任意实数都成立，函数y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于原点对称．求f（x）与g（x）的解析式．
[审题视点]采用待定系数法求f（x），再由f（x）与g（x）的图象关于原点对称，求g（x）．
解 依题意得
解得：
∴f（x）＝x2＋2x.
设函数y＝f（x）图象上的任意一点A（x0，y0），该点关于原点的对称点为B（x，y），则x0＝－x，y0＝－y.
∵点A（x0，y0）在函数y＝f（x）的图象上，
∴y0＝x＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，
即g（x）＝－x2＋2x.
二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．
【训练1】已知二次函数f（x）满足f
（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．
解 法一 利用二次函数的一般式．
设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．
由题意得解之得
∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
法二 利用二次函数的顶点式．
设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），
∵f
（2）＝f（－1）．
∴此二次函数的对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意，函数有最大值8，即n＝8.
∴y＝f（x）＝a2＋8，
∵f
（2）＝－1，∴a2＋8＝－1，
解之得a＝－4.
∴f（x）＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
考向二 幂函数的图象和性质
【例2】►幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为（ ）．
A．－1＜m＜3 B．0
C．1 D．2
[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．
解析 由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，
又m∈Z，∴m＝0,1,2.
∵m2－2m－3为偶数，
经验证m＝1符合题意．
答案 C
根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在（0，＋∞）上为增函数，当α＜0时，幂函数在（0，＋∞）上为减函数，然后验证函数的奇偶性．
【训练2】已知点（，2）在幂函数y＝f（x）的图象上，点在幂函数y＝g（x）的图象上，若f（x）＝g（x），则x＝________.
解析 由题意，设y＝f（x）＝xα，，则2＝（）α，得α＝2，设y＝g（x）＝xβ，则＝（－）β，得β＝－2，由f（x）＝g（x），即x2＝x－2，解得x＝±1.
答案 ±1
考向三 二次函数的图象与性质
【例3】►已知函数f（x）＝x2－2ax＋1，求f（x）在区间[0,2]上的最值．
[审题视点]先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论．
解 函数f（x）＝x2－2ax＋1＝（x－a）2＋1－a2的对称轴是直线x＝a，
（1）若a＜0，f（x）在区间[0,2]上单调递增，
当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝1；
当x＝2时，f（x）max＝f
（2）＝5－4a；
（2）若0≤a＜1，则
当x＝a时，f（x）min＝f（a）＝1－a2；
当x＝2时，f（x）max＝f
（2）＝5－4a；
（3）若1≤a＜2，则
当x＝a时，f（x）min＝f（a）＝1－a2；
当x＝0时，f（x）max＝f（0）＝1；
（4）若a≥2，则f（x）在区间[0,2]上单调递减，
当x＝0时，f（x）max＝f（0）＝1；
当x＝2时，f（x）min＝f
（2）＝5－4a.
解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a（x－m）2＋n（a≠0）的形式，得顶点（m，n）或对称轴方程x＝m，分三个类型：
①顶点固定，区间固定；
②顶点含参数，区间固定；
③顶点固定，区间变动．
【训练3】已知f（x）＝1－（x－a）（x－b）（a＜b），m，n是f（x）的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．
解析 由于f（x）＝1－（x－a）（x－b）（a＜b）的图象是开口向下的抛物线，因为f（a）＝f（b）＝1＞0，f（m）＝f（n）＝0，可得a∈（m，n），b∈（m，n），所以m＜a＜b＜n.
答案 m＜a＜b＜n
考向四 有关二次函数的综合问题
【例4】►设函数f（x）＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f（x）＞0，求实数a的取值范围．
[审题视点]通过讨论开口方向和对称轴位置求解．
解 当a＞0时，f（x）＝a＋2－.
∴或
或
∴或或
∴a≥1或＜a＜1或∅，即a＞；
当a＜0时，解得a∈∅；
当a＝0时，f（x）＝－2x＋2，f
（1）＝0，f（4）＝－6，
∴不合题意．
综上可得，实数a的取值范围是a＞.
含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力．
【训练4】已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a＞0），F（x）＝若f（－1）＝0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立．
（1）求F（x）的表达式；
（2）当x∈[－2,2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求k的取值范围．
解
（1）∵f（－1）＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，
∴f（x）＝ax2＋（a＋1）x＋1.∵f（x）≥0恒成立，
∴
∴
∴a＝1，从而b＝2，∴f（x）＝x2＋2x＋1，
∴F（x）＝
（2）g（x）＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋（2－k）x＋1.
∵g（x）在[－2,2]上是单调函数，
∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6.
所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.
规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值
【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．
【解决方案】对于二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．
【示例】►（本题满分12分）（2011·济南模拟）已知f（x）＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f（x）．
求二次函数f（x）的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．
[解答示范]∵f（x）＝－42－4a，
∴抛物线顶点坐标为.（1分）
①当≥1，即a≥2时，f（x）取最大值－4－a2.
令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2（舍去）；（4分）
②当0＜＜1，即0＜a＜2时，x＝时，
f（x）取最大值为－4a.
令－4a＝－5，得a＝∈（0,2）；（7分）
③当≤0，即a≤0时，f（x）在[0,1]内递减，
∴x＝0时，f（x）取最大值为－4a－a2，
令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，
解得a＝－5或a＝1，其中－5∈（－∞，0]．（10分）
综上所述，a＝或a＝－5时，f（x）在[0,1]内有最大值－5.
∴f（x）＝－4x2＋5x－或f（x）＝－4x2－20x－5.（12分）
求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．
【试一试】设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g（a）．
[尝试解答] ∵函数y＝x2－2x＝（x－1）2－1，
∴对称轴为直线x＝1，
而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论．
当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.
综上，g（a）＝
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