spfa算法+前向星优化.docx
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spfa算法+前向星优化
Spfa+前向星优化
SPFA算法
求单源最短路的SPFA算法的全称是：
ShortestPathFasterAlgorithm。
SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的.
从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。
很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。
简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。
当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。
我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。
我们采取的方法是动态逼近法：
设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。
这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
定理:
只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。
证明：
每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。
（松弛操作的原理是著名的定理：
“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。
所谓对i,j进行松弛，就是判定是否d[j]>d[i]+w[i,j]，如果该式成立则将d[j]减小到d[i]+w[i,j]，否则不动。
）换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。
所以算法的执行会使d越来越小。
由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。
因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。
（证毕）
期望的时间复杂度O（ke），其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。
实现方法：
建立一个队列，初始时队列里只有起始点，在建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。
然后执行松弛操作，用队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。
重复执行直到队列为空
判断有无负环：
如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）
在一幅图中，我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度是73，有时候意义不大。
这附图如果是地图的模型的话，在算出最短路径长度后，我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。
如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的，并在最后将它输出呢？
Path[]数组，Path[i]表示从S到i的最短路径中，结点i之前的结点的编号。
注意，是“之前”，不是“之后”。
最短路径算法的核心思想成为“松弛”，原理是三角形不等式，方法是上文已经提及的。
我们只需要在借助结点u对结点v进行松弛的同时，标记下Path[v]=u，记录的工作就完成了。
SPFA算法采用图的存储结构是邻接表，方法是动态优化逼近法。
算法中设立了一个先进先出的队列Queue用来保存待优化的顶点，优化时从此队列里顺序取出一个点w，并且用w点的当前路径D[W]去优化调整其它各点的路径值D[j]，若有调整，即D[j]的值改小了，就将J点放入Queue队列以待继续进一步优化。
反复从Queue队列里取出点来对当前最短路径进行优化，直至队空不需要再优化为止，此时D数组里就保存了从源点到各点的最短路径值。
下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：
设有一个有向图G＝{V，E}，其中，V＝{V0,V1,V2,V3,V4}，E＝{,,,,,,}＝{2,10,3,7,4,5,6}，见下图：
算法执行时各步的Queue队的值和D数组的值由下表所示。
表一实例图SPFA算法执行的步骤及结果
初始
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
queue
D
queue
D
queue
D
queue
D
queue
D
queue
D
V0
0
V1
0
V4
0
V2
0
V3
0
0
∞
V4
2
V2
2
2
2
2
∞
∞
5
5
5
5
∞
∞
∞
∞
9
9
∞
10
9
9
9
9
算法执行到第五步后，队Queue空，算法结束。
源点V0到V1的最短路径为2，到V2的最短路径为5，到V3的最短路径为9，到V4的最短路径为9，结果显然是正确的。
SPFA在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。
标准SPFA过程
（以求某个结点t到某个结点s的最短路为例，稍加修改即为单源最短路）
Pascal语言代码
const
maxp=10000;{最大结点数}
var{变量定义}
p,c,s,t:
longint;{p,结点数;c,边数;s:
起点;t:
终点}
a,b:
array[1..maxp,0..maxp]oflongint;{a[x,y]存x,y之间边的权;b[x,c]存与x相连的第c个边的另一个结点y}
d:
array[1..maxp]ofinteger;{队列}
v:
array[1..maxp]ofboolean;{是否入队的标记}
dist:
array[1..maxp]oflongint;{到起点的最短路}
head,tail:
longint;{队首/队尾指针}
procedureinit;
vari,x,y,z:
longint;
begin
read（p,c）;
fori:
=1tocdo
begin
readln（x,y,z）;{x,y:
一条边的两个结点;z:
这条边的权值}
inc（b[x,0]）;b[x,b[x,0]]:
=y;a[x,y]:
=z;{b[x,0]：
以x为一个结点的边的条数}
inc（b[y,0]）;b[y,b[y,0]]:
=x;a[y,x]:
=z;
end;
readln（s,t）;{读入起点与终点}
end;
procedurespfa（s:
longint）;{SPFA}
vari,j,now,sum:
longint;
begin
fillchar（d,sizeof（d）,0）;
fillchar（v,sizeof（v）,false）;
forj:
=1topdodist[j]:
=maxlongint;
dist[s]:
=0;v[s]:
=true;d[1]:
=s;{队列的初始状态,s为起点}
head:
=1;tail:
=1;
whilehead<=taildo{队列不空}
begin
now:
=d[head];{取队首元素}
fori:
=1tob[now,0]do
ifdist[b[now,i]]>dist[now]+a[now,b[now,i]]then
begin
dist[b[now,i]]:
=dist[now]+a[now,b[now,i]];{修改最短路}
ifnotv[b[now,i]]then{扩展结点入队}
begin
inc（tail）;
d[tail]:
=b[now,i];
v[b[now,i]]:
=true;
end;
end;
v[now]:
=false;{释放结点，一定要释放掉，因为这节点有可能下次用来松弛其它节点}
inc（head）;{出队}
end;
end;
procedureprint;
begin
writeln（dist[t]）;
end;
begin
init;
spfa（s）;
print;
end.
前向星优化
星形（star）表示法的思想与邻接表表示法的思想有一定的相似之处。
对每个节点，它也是记录从该节点出发的所有弧，但它不是采用单向链表而是采用一个单一的数组表示。
也就是说，在该数组中首先存放从节点1出发的所有弧，然后接着存放从节点2出发的所有孤，依此类推，最后存放从节点
出发的所有孤。
对每条弧，要依次存放其起点、终点、权的数值等有关信息。
这实际上相当于对所有弧给出了一个顺序和编号，只是从同一节点出发的弧的顺序可以任意排列。
此外，为了能够快速检索从每个节点出发的所有弧，我们一般还用一个数组记录每个节点出发的弧的起始地址（即弧的编号）。
在这种表示法中，可以快速检索从每个节点出发的所有弧，这种星形表示法称为前向星形（forwardstar）表示法。
例如，在例7所示的图中，仍然假设弧（1,2），（l,3），（2,4），（3,2），（4,3），（4,5），（5,3）和（5,4）上的权分别为8，9，6，4，0，3，6和7。
此时该网络图可以用前向星形表示法表示如下：
节点对应的出弧的起始地址编号数组（记为
）
节点号
1
2
3
4
5
6
起始地址
1
3
4
6
7
9
记录弧信息的数组
弧编号
1
2
3
4
5
6
7
8
起点
1
1
2
3
4
4
5
5
终点
2
3
4
2
3
5
3
4
权
8
9
6
4
0
3
6
7
在数组
中，其元素个数比图的节点数多1（即
），且一定有
，
。
对于节点
，其对应的出弧存放在弧信息数组的位置区间为
，
如果
，则节点
没有出弧。
这种表示法与弧表表示法也非常相似，“记录弧信息的数组”实际上相当于有序存放的“弧表”。
只是在前向星形表示法中，弧被编号后有序存放，并增加一个数组（
）记录每个节点出发的弧的起始编号。
fori:
=1tomdo
readln（a[i],b[i],e[i]）;
qsort（1,m）;
fori:
=1tomdo
iff[a[i]]=0thenf[a[i]]:
=i;
f[n+1]:
=m+1;
fori:
=ndownto1do
iff[i]=0thenf[i]:
=f[i+1];
通常用在点的数目太多，或两点之间有多条弧的时候。
一般在别的数据结构不能使用的时候才考虑用前向星。
除了不能直接用起点终点定位以外，前向星几乎是完美的。
前向星最常用的是来优化spfa
最基本的前项性优化的spfa（有向图）
var
a,b,e:
array[1..1000]oflongint;
vis:
array[1..2000]ofboolean;
q,d,f:
array[1..2001]oflongint;
n,m,i,s,t:
longint;
procedureqsort（l,r:
longint）;
vari,j,x,y:
longint;
begin
i:
=l;
j:
=r;
x:
=a[（l+r）shr1];
repeat
whilea[i] whilea[j]>xdodec（j）;
ifnot（i>j）thenbegin
y:
=a[i];a[i]:
=a[j];a[j]:
=y;
y:
=b[i];b[i]:
=b[j];b[j]:
=y;
y:
=e[i];e[i]:
=e[j];e[j]:
=y;
inc（i）;
dec（j）;
end;
untili>j;
ifi ifl end;
procedurespfa（s:
longint）;
vari,k,l,t:
longint;
begin
fillchar（vis,sizeof（vis）,0）;
fori:
=1tondod[i]:
=maxlongint;
d[s]:
=0;
l:
=0;
t:
=1;
q[1]:
=s;
vis[s]:
=true;
repeat
l:
=lmod10000+1;
k:
=q[l];
fori:
=f[k]tof[k+1]-1do
ifd[k]+e[i] begin
d[b[i]]:
=d[k]+e[i];
ifnotvis[b[i]]thenbegin
t:
=tmod10000+1;
q[t]:
=b[i];
vis[b[i]]:
=true;
end;
end;
vis[k]:
=false;
untill=t;
end;
Begin
readln（n,m）;
fori:
=1tomdo
readln（a[i],b[i],e[i]）;
qsort（1,m）;
fori:
=1tomdo
iff[a[i]]=0thenf[a[i]]:
=i;
f[n+1]:
=m+1;
fori:
=ndownto1do
iff[i]=0thenf[i]:
=f[i+1];
readln（s,t）;
spfa（s）;
writeln（d[t]）;
end.
例题1：
SweetButter香甜的黄油
描述
农夫John发现做出全威斯康辛州最甜的黄油的方法：
糖。
把糖放在一片牧场上，他知道N（1<=N<=500）只奶牛会过来舔它，这样就能做出能卖好价钱的超甜黄油。
当然，他将付出额外的费用在奶牛上。
农夫John很狡猾。
像以前的巴甫洛夫，他知道他可以训练这些奶牛，让它们在听到铃声时去一个特定的牧场。
他打算将糖放在那里然后下午发出铃声，以至他可以在晚上挤奶。
农夫John知道每只奶牛都在各自喜欢的牧场（一个牧场不一定只有一头牛）。
给出各头牛在的牧场和牧场间的路线，找出使所有牛到达的路程和最短的牧场（他将把糖放在那）
格式
PROGRAMNAME:
butter
INPUTFORMAT:
（filebutter.in）
第一行:
三个数：
奶牛数N，牧场数P（2<=P<=800），牧场间道路数C（1<=C<=1450）
第二行到第N+1行:
1到N头奶牛所在的牧场号
第N+2行到第N+C+1行：
每行有三个数：
相连的牧场A、B，两牧场间距离D（1<=D<=255），当然,连接是双向的
OUTPUTFORMAT:
（filebutter.out）
一行输出奶牛必须行走的最小的距离和
SAMPLEINPUT
345
2
3
4
121
135
237
243
345
programbutter;
var
f1,f2:
text;
n,p,c:
longint;
count:
array[1..800]oflongint;
a,b:
array[1..800,0..800]oflongint;
d:
array[1..20000]ofinteger;
v:
array[1..800]ofboolean;
dist:
array[1..800]oflongint;
head,tail:
longint;
ans:
longint;
procedureinit;
var
i,j,x,y,z:
longint;
begin
assign（f1,'butter.in'）;reset（f1）;
assign（f2,'butter.out'）;rewrite（f2）;
readln（f1,N,P,C）;
fillchar（count,sizeof（count）,0）;
fori:
=1tondobegin
read（f1,x）;
inc（count[x]）;
end;
fori:
=1topdo
forj:
=1topdo
a[i,j]:
=maxlongint;
fori:
=1tocdobegin
read（f1,x,y,z）;
inc（b[x,0]）;b[x,b[x,0]]:
=y;a[x,y]:
=z;
inc（b[y,0]）;b[y,b[y,0]]:
=x;a[y,x]:
=z;
end;
end;
procedurespfa（s:
longint）;
var
i,j,now,sum:
longint;
begin
fillchar（d,sizeof（d）,0）;
fillchar（v,sizeof（v）,false）;
fori:
=1topdodist[i]:
=maxlongint;
dist[s]:
=0;v[s]:
=true;d[1]:
=s;
head:
=1;tail:
=1;
whilehead<=taildobegin
now:
=d[head];
fori:
=1tob[now,0]do
ifdist[b[now,i]]>dist[now]+a[now,b[now,i]]thenbegin
dist[b[now,i]]:
=dist[now]+a[now,b[now,i]];
ifnotv[b[now,i]]thenbegin
inc（tail）;
d[tail]:
=b[now,i];
v[b[now,i]]:
=true;
end;
end;
v[now]:
=false;
inc（head）;
end;
sum:
=0;
fori:
=1topdo
ifcount[i]<>0then
inc（sum,count[i]*dist[i]）;
ifans>sumthenans:
=sum;
end;
proceduremain;
var
i:
longint;
begin
ans:
=maxlongint;
fori:
=1topdospfa（i）;
end;
begin
init;
main;
writeln（f2,ans）;
close（f2）;
end.
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