数学建模习题集.docx
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数学建模习题集
数学建模
习题一
1.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚
的连线呈正方形改为呈长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
2.模仿1.4节商过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：
人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
3.利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：
（1）分段的指数增长模型。
将时间分为若干段，分别确定增长率r。
（2）阻滞增长模型。
换一种方法确定固有增长率r和最大容量Xm。
4.说明1.5节中Logistic模型（9）可以表为x（t）詈吋，其中t。
是
1e
人口增长出现拐点的时刻，并说明t0与r,Xm的关系.
5.假定人口的增长服从这样的规律：
时刻t的人口为x（t）,t到t+t时间内人口的增长与Xm-x（t）成正比例（其中Xm为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。
6.某甲早800从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：
00到达
山顶并留宿。
次日早8：
00沿同一条路径下山，下午5：
00回旅店。
某乙说，甲必在二天中的同一时刻经过路径中的同一地点。
为什么？
7.37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。
问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛。
如果是n支球队比赛呢？
8.甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。
甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
9.某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6:
00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家，一旦他提前下班搭早一班火车于5:
30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟。
问他步行了多长时间？
10.一男孩和一女孩分别在离家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公里和2公里每小时的速度步行回家。
一小狗以6公里/小时速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。
问小狗奔波了多少路程？
习题二
1.学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍,学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，乘下的名额按惯例分给小数部分较大者•
（2）2.1节中的Q值方法.
（3）d‘Hondt方法：
将A,B,C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3，…相除,其商数如下表：
1
2
3
4
5
—
A
235
117.5
78.3
58.75
..
B
333
166.5
111
83.25
.
C
432
216
144
108
86.4
.
将所得商数从大到小取前10（10为席位数）,在数字下标以横线，表中
A,B,C行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位•你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.
（4）你能提出其它的方法吗.用你的方法分配上面的名额.
2.用微积分的方法导出2.2节的公式
（2）
3.在2.5节中考虑8人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg和轻量级组（桨手体重不超过73kg,建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%.
4.用2.7节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念,讨论以下雇员和雇主之间的协议关系：
（1）以雇员一天的工作时间t和工资W分别为横坐标和纵坐标,画出雇员无差别曲线族的示意图.解释曲线为什么是你画的那种形状.
（2）如果雇主付计时工资,对不同的工资率（单位时间的工资）画出雇员计时工资线族,根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族,讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议.
⑶雇员和雇主已经达成了一个协议（工作时间t1和工资W1）.如果雇主想使雇员的工作时间增加到t2,他有两种办法：
一是提高计时工资率,在协议线中另一点（t2,W2）达成新的协议;二是实行超时工资制,即对工时t1仍付原计时工资,对工时t2-t1付给更高的超时工资.试用作图方法分析哪种办法对雇主更有利,指出这个结果的条件.
5.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了
吗.比如洁银牙膏50g装的每支1.50元,120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：
1,试用比例方法构造模型解释这个现象.
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素。
（2）给出单位重量价格C与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。
6.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法.假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）:
身长
（cm）
36.8
31.8
43.8
36.8
32.1
45.1
35.9
32.1
重量
（g）
765
482
1162
737
482
1389
652
454
胸围
（cm）
24.8
21.3
27.9
24.8
21.6
31.8
22.9
21.6
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数
7.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角a应多大.如知道管道长度，需要多长布条（可考虑两端的影响）.如果管道是其它形状呢.
8.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
练习三
1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量.证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样,而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减小.
2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型.设生产速率为常数k,销售速率为常数r,k>r.在每个生产周期T内，开始的一段时间（0>r和kr的情况.
3.在3.3节森林救火模型中,如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势b有关,试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.
4.在3.4节最优价格模型中，如果考虑到成本q随产量x增加而降低，试做出合理的假设,重新求解
4.在考虑最优价格问题时设销售期为T,由于商品的损耗,成本q随时间增长,设q=q0+t,为增长率,又设单位时间的销售量为x二a-bp（p为价格）.今将销售期分为OvtvT/2和T/25.在3.6节消费者的选择模型中，
（1）证明若条件B成立,则条件A成立；⑵验证⑶,（5）,（7）式给出的效用函数是否满足条件B和A;（3）若消费者的效用函数为（7）式,求最优化比例p1q1/p2q2,并分析参数a,b的意义；（4）若商品甲的价格pl增加,其余条件不变，讨论消费者均衡状态的变化；（5）若消费者购买商品的钱s增加,其余条件不变,讨论消费者均衡状态的变化；（6）推广到消费者购买m（m>2）种商品的情况.
练习四
1.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券
以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用
程度越高）；
（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益
（%）
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
⑵如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变？
若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变？
处，才能使所能供应的大学生的数量最大？
建立该问题的整数线性规
划模型并求解.
3.某储蓄所每天有营业时间是上午9:
00到下午5:
00根据经验,每天
不同时间段所需要的服务员数量如下：
时间段
9-10
10-11
11-12
12-1
1-2
2-3
3-4
4-5
服务员的
数量
4
3
1
6
5
6
8
8
储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员.全时服务员每天报酬100元,从上午9:
00到下午5:
00工作，但中午12:
00到下午2:
00之间必须安排1小时的午餐时间.储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时,报酬40元•问该储蓄所应如何雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？
4.一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务.根据估计，下一年的
需求是：
春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日.公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季
度工作（新保姆包括培训）65天•保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬,每人每月工资800元•春季开始时公司拥有120名保姆,在每个季度结束后,将有15%的保姆自动离职.
（1）如果公司不允许解雇保姆,请你为公司制定下一年的招聘计划;哪些季度需求的增加不影响招聘计划?
可以增加多少?
（2）如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆,请为公司制定下一年的招聘计划.
5.在甲乙双方的一场战争中,一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月.由于乙方封锁了所有水陆交通通道,被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给.运送4个月的供给分别需要2次,3次,3次,4次飞行,每次飞行编队由50架飞机组成（每架飞机需要3名飞行员）,可以运送10万吨物资.每架飞机每个月只能飞行一次,每名飞行员每个月也只能飞行一次.在执行完运输任务后的返回途中有20%的飞机会被乙方部队击落,相应的飞行员也因此牺牲或失踪.在第1个月开始时,甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员.在第个月开始时,甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机,新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用,新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行.每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20
名飞行员（包括他自己在内）进行了训练.每名飞行在完成一个月的飞行任务后,必须有一个月的带薪假期,假期结束后才能再投入飞行.已知各项费用（单位略去）如下表所示,请你为甲方安排一个飞行计划.
第一个月
第二个月
第三个月
第四个月
新飞机价格
200.0
195.0
190.0
185.0
闲置的熟练飞行员
报酬
7.0
6.9
6.8
6.7
教练和新飞行员报酬（包括培训费用）
10.0
9.9
9.8
9.7
执行飞行任务的熟
练飞行员报酬
9.0
8.9
9.8
9.7
休假期间的熟练飞
行员报酬
5.0
4.9
4.8
4.7
如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过20名飞行员
（包括他自己在内）进行训练，模型和结果有哪些改变？
6.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲，乙，丙,丁）混合生产两种产品（分别记为A,B）.按照生产工艺的要求，原料甲，乙，丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A,B.已知原料甲，乙，丙,丁的含硫量分别是3,1,2,1（%）,进货价格分别为6,16,10,15（千元/吨）;产品A,B的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%）,售价分别为9,15（千元/吨）.根据市场信息，原料甲，乙丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨;产品A,B的市场需求量分别为100吨,200吨.问应如何安排生产？
7.某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管长度是1850mm现有一客户需要15根290mm,28艮315mm,21根350mm,30根455mn!
勺钢管.为了简化生产
过程,规定所使用的切割模式的种类不能超过4种,使用频率最高的
一种切割模式按照一根原料钢管价值勺1/10增加费用,使用频率次之勺切割按照一根原料钢管价值勺2/10增加费用,依次类推,且每种切割模式下勺切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）.此外,为了减少余料浪费,每种切割模式下勺余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小,应如何下料?
练习五
1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明：
（1）若so>1/,则i（t）先增加，在s=1/处最大,然后减少并趋于零；s（t）单调减少至s。
⑵若Sov1/,则i（t）单调减少并趋于零，s（t）单调减少至s。
2.对于传染病的SIR模型证明（23）~（25）式。
3.5.2节经济增长模型中，为了适用于不同的对象可将产量函数Q（t）折算成现金，仍用Q（t）表示。
考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为P（t）（设P（0）=1）,则产品的表面价格y（t）、实际价格Q（t）和物价指数P（t）之间满足y（t）=Q（t）P（t）。
（1）导出y（t），Q（t），P（t）的相对增长率之间的关系，并作出解释。
（2）设雇用工人数目为L（t），每个工人工资（t），企业的利润简化为从产品的收入y（t）中扣除工人工资和固定成本。
利用道格拉斯生产函数讨论，企业应雇用多少工人能使利润最大。
4.在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比
为a/b=4，初始兵力x0与y0相同。
（1）问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定。
（2）若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负。
5.在5.4的房室模型（3）中，证明方程（3）对应的齐次方程通解如（4），（5）式所示，说明方程的两个特征根和一定是负实根。
6.模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为r）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形。
练习六
1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律,而单位时间捕捞量为常数h.
（1）分别就h>rN/4,h方程的平衡点及其稳定状况.
（2）如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同.
2.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模
型：
x（t）=rxln°,其中r和N的意义与Ligistic模型相同.设渔场鱼量
x
的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h=Ex.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平X0.
3.在6.3节种群竞争模型中设121（12）,求平衡点并分析其稳
定性.
4.对于6.3节种群竞争模型的第3种情况：
产1,2<1（图4-3）,分析
相轨线的趋势并画出示意图，解释平衡点P3稳定的意义.
练习七
1.对于7.1节蛛网模型模型讨论下列问题:
（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完,其数量也会影响下一时
段的价格,所以第k+1时段的价格yki由第k+1和第k时段的数量Xki和xk决定.如果仍设xk1仍只取决于yk,给出稳定平衡的条件,并与7.1节的结果进行比较.
⑵若除了yk1由Xk1和Xk决定之外，Xk1也由前两个时段的价格yk和
yk1确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.
2.验证阻滞增长模型（7.3）节的（15）-（18）式.
3.用计算机解阻滞增长模型（7.3节方程（6））.比如令b从1.8逐渐增加,考查序列Xk收敛、2倍周期收敛、4倍周期收敛…，直至一片混乱的情况。
试以b为横坐标，收敛点为纵坐标作图（与7.3节图形比较）.
4.举出几个差分形式阻滞增长模型的应用实例.
5.在7.4节按年龄分组的种群增长模型中,设一群动物最高年龄为15岁,每时每5岁一组,分成3个年龄组,各组的繁殖率为b10,b24,b33,存活率为s11/2,s21/4,开始时3组各有1000只.求15年后各组分别有多少只,以及时间充分长以后种群的增长率（即固有增长率）和按年龄组的分布.
6.在7.4节按年龄分组的种群增长模型中,证明当时间充分长以后若总和繁殖率R>1,则种群增长，若R<1则种群减少.
习题八
1证明8.1节层次分析模型中定义的n阶不一致阵A有下列性质：
（1）A的秩为1,唯一非零特征根为n；
（2）A的任一列向量都是对应于n的特征向量
2.对于n阶成对比较阵a（aij），设aj冷j,j1ij,其中w（Wi,W2丄，Wn）T是对应于最大特征向量，ij表示aij在一致性附近的扰动。
若ij为方差2的随机变量，证明一致性指标CI身
3.证明8.1节中用对数最小二乘法得到的权向量（（16）式）与实用算法中根法的计算结果相同。
4.用层次分析法解决一两个实际问题，例如：
（1）学校评选优秀学生或优秀班级，试给出若干准则，构造层次结构模型，可分为相对评价和绝对评价两种情况讨论。
（2）你要购置一台个人电脑，考虑功能、价格等的因素，如何作出决策。
（3）为大学毕业的青年建立一个选择志愿的层次结构模型。
（4）你的家乡准备集资兴办一座小型饲养场，是养猪、养鸡、养鸭、
养兔
5.右图是5位网球选手循环比赛的结果，作为竞赛图，它是双向连
5位选手的名次
通的吗？
找出几条完全路径，用适当的方法排出
6.排名次的另一个方法是考察“失分向量”以代替得分向量（选手输掉的数目为他的失分），按失分由小到大排列名次。
（1）证明：
这相当于把竞赛图中各有向边反向后按得分向量排列名次，再把名次倒过来。
（2）用失分向量方法对8.2节图13（4）的竞赛图排列名次，结果与得分向量方法一致吗？
7.利用8.3节的定理4,5说明，为了把8.3节图14不稳定的能源利用系统变为冲量和值稳定的，如果限制只能改变两条有向边的符号，
那么只有3种可行方案：
改变V1V2和V3V5（如8.3节所述）；改变V2V1和
v5v6:
改变V2V|和v6v7
8.考察由野兔R和狐狸F组成的生态系统，在野兔的食物资源充足的情况下，其带符号的有向图如右所示。
（1）解释图中+，-号的意义
（2）若初始时段野兔有一增量，且设v（0）（10,10），计算v
（1）,v
（2）
（3）证明该系统对所有简单冲量过程都是冲量和值稳定的，从生态意义上进行解释。
（4）说明若用权描述二者的相互作用，则在某种加权的情况下系统不再稳定，并从生态意义上进行解释。
9.食肉动物C食草动H和草P组成生态系统，因为草地有限，草过密会使草的生长减慢，用带符号的有向图建立这个系统的冲量过程模型，并证明冲过程是不稳定的
10.公共汽车系统用带符号的有向图表示如下，其中只有单位距离票
价随乘客行程的增加应该提高还是降低尚未确定（图中有向边12
的标以？
号），讨论这个符号应为+还是-才能使冲过程稳定。
1乘客的行程；2单位距离票价；3节油量；4燃料消耗；5污染;
6事故；7晚点；8居民人数
11.在8.4节中证明由（7），（8）给出的Shapley值（v）满足
i（v）v（i）,i1,2,L,n
12.某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元，若将
土地租给某乙（企业家）用于工业生产，可收入3万元，当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元，为促成最高收入的实现，试用Shapley值方法分配各人的所得。
13.理事会有五个常任理事和十个非常任理事，提案仅当全部常任理
事和至少四个非常任理事赞成时方可通过，求每位常任理事和每位非常任理事在投票中的权重。
14.奇数个席位的理事会由三派组成，议案表决实行过半数通过方案，证明在任一派都不能操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重都是一样的。
15.证明8.5节中当候选人数目m=2且选民人数n2时，简单多数规则满足Arrow公理。
16.举例说明8.5节中确定选举结果的记分规则不满足Arrow公理3
17.用最小距离意义下的选举规则研究8.5节（3）式给出的投票
3
（1）如果以d（p,pj最小为原则确定选举结果p，说明p可以是pi，
i1
P2或P3中任一个.
3
（2）如果以d2（p,p）最小为原则确定选举结果p，说明p:
x~y~z
i1
习题九
1.在9.1节传送带效率模型中，设工人n固定不变，若想提高传送带效率D,—种简单的办法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m
比如增加一倍，其它条件不变，另一种办法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一个是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样，试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好
2利用9.2节的模型计算，若每份报纸的购进价为0.75
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