当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．
∴实数m的取值范围为－≤m≤.
答案：
[谨记通法]
求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点
（1）2个步骤：
①求出斜率k＝tanα的取值范围；
②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．
（2）1个注意点：
求倾斜角时要注意斜率是否存在．
[典例引领]
（1）求过点A（1,3），斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程．
（2）求经过点A（－5,2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
解：
（1）设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A（1,3），因此所求直线方程为y－3＝－（x－1），即4x＋3y－13＝0.
（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将（－5,2）代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
[由题悟法]
直线方程求法中2个注意点
（1）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零）．
[即时应用]
已知直线l过（2,1），（m,3）两点，则直线l的方程为______________．
解析：
①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；
②当m≠2时，直线l的方程为＝，
即2x－（m－2）y＋m－6＝0.
因为m＝2时，代入方程2x－（m－2）y＋m－6＝0，即为x＝2，
所以直线l的方程为2x－（m－2）y＋m－6＝0.
答案：
2x－（m－2）y＋m－6＝0
[命题分析]
直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．
常见的命题角度有：
（1）与基本不等式相结合的最值问题；
（2）与导数几何意义相结合的问题；
（3）与圆相结合求直线方程问题．
[题点全练]
角度一：
与基本不等式相结合的最值问题
1．（2015·福建高考改编）若直线＋＝1（a＞0，b＞0）过点（1,1），则a＋b的最小值等于________．
解析：
将（1,1）代入直线＋＝1得＋＝1，a>0，b>0，故a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故a＋b的最小值为4.
答案：
4
角度二：
与导数的几何意义相结合的问题
2．（2016·苏州模拟）设P为曲线C：
y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为________．
解析：
由题意知y′＝2x＋2，设P（x0，y0），
则k＝2x0＋2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.
答案：
角度三：
与圆相结合求直线方程问题
3．在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：
x2＋y2＝2（x≥0）上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________________．
解析：
直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A（1,1），
∴H（1,0），直线HB的方程为y＝x－1，
代入半圆方程得B.
所以直线AB的方程为＝，
即x＋y－－1＝0.
答案：
x＋y－－1＝0
[方法归纳]
处理直线方程综合应用的2大策略
（1）含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
（2）求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是________．
解析：
由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，所以α＝.
答案：
2．直线l：
xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是________．
解析：
设直线l的斜率为k，则k＝－＝.
答案：
3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是________．
解析：
直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
答案：
x＋y＋1＝0
4．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是__________．
解析：
∵k＝tanα，α∈∪
∴－≤k<0或≤k≤1.
答案：
[－，0）∪
5．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第________象限．
解析：
由题意知A·B·C≠0，直线方程变形为y＝－x－.∵A·C<0，B·C<0，∴A·B>0，∴其斜率k＝－<0，又y轴上的截距b＝－>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．
答案：
三
二保高考，全练题型做到高考达标
1．（2016·常州一中月考）已知直线l的斜率为k，倾斜角为θ，若30°<θ<90°，则实数k的取值范围是________．
解析：
因为30°<θ<90°，所以斜率k>0，且斜率k随着θ的增大而增大，所以k>.
答案：
2．（2016·南京学情调研）直线x＋（a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．
解析：
依题意，直线的斜率k＝－∈，因此其倾斜角的取值范围是.
答案：
3．若k∈R，直线kx－y－2k－1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为________．
解析：
y＋1＝k（x－2）是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为（2，－1）．
答案：
（2，－1）
4．已知直线l过点（1,0），且倾斜角为直线l0：
x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________．
解析：
由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，
因为直线l0：
x－2y－2＝0的斜率为，则tanα＝，
所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝，
所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝（x－1），
即4x－3y－4＝0.
答案：
4x－3y－4＝0
5．直线l1：
（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5＝0的斜率与直线l2：
x－y＋1＝0的斜率相同，则m等于________．
解析：
由题意知m≠±2，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则＝1，即m2－5m＋6＝0，解得m＝2或3（m＝2不合题意，舍去），故m＝3.
答案：
3
6．直线l：
（a－2）x＋（a＋1）y＋6＝0，则直线l恒过定点________．
解析：
直线l的方程变形为a（x＋y）－2x＋y＋6＝0，
由解得x＝2，y＝－2，
所以直线l恒过定点（2，－2）．
答案：
（2，－2）
7．一条直线经过点A（2，－），并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．
解析：
∵直线y＝x的倾斜角为30°，
所以所求直线的倾斜角为60°，
即斜率k＝tan60°＝.
又该直线过点A（2，－），
故所求直线为y－（－）＝（x－2），
即x－y－3＝0.
答案：
x－y－3＝0
8．（2016·盐城调研）若直线l：
＋＝1（a>0，b>0）经过点（1,2），则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．
解析：
由直线l：
＋＝1（a>0，b>0）可知直线在x轴上的截距为a，直线在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直线经过点（1,2）得＋＝1.于是a＋b＝（a＋b）×＝3＋＋，因为＋≥2＝2（当且仅当＝时取等号），所以a＋b≥3＋2.
答案：
3＋2
9．已知A（1，－2），B（5,6），直线l经过AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
解：
法一：
设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.
由题意得M（3,2）．
若a＝0，即l过点（0,0）和（3,2），
∴直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，设直线l的方程为＋＝1，
∵直线l过点（3,2），
∴＋＝1，解得a＝5，
此时直线l的方程为＋＝1，
即x＋y－5＝0.
综上所述，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
法二：
由题意知M（3,2），所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为y－2＝k（x－3），
令y＝0，得x＝3－；令x＝0，得y＝2－3k.
∴3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝，
∴直线l的方程为y－2＝－（x－3）或y－2＝（x－3），
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
10．过点A（1,4）引一条直线l，它与x轴，y轴的正半轴的交点分别为（a,0）和（0，b），当a＋b最小时，求直线l的方程．
解：
法一：
由题意，设直线l：
y－4＝k（x－1），由于k<0，
则a＝1－，b＝4－k.
∴a＋b＝5＋≥5＋4＝9.
当且仅当k＝－2时，取“＝”．
故得l的方程为y＝－2x＋6.
法二：
设l：
＋＝1（a>0，b>0），
由于l经过点A（1,4），∴＋＝1，
∴a＋b＝（a＋b）·＝5＋＋≥9，
当且仅当＝时，即b＝2a时，取“＝”，即a＝3，b＝6.
∴所求直线l的方程为＋＝1，即y＝－2x＋6.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知曲线y＝，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．
解析：
y′＝＝，因为ex>0，所以ex＋≥2＝2当且仅当ex＝，即x＝0时取等号，所以ex＋＋2≥4，故y′＝≥－（当且仅当x＝0时取等号）．所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－（x－0），即x＋4y－2＝0.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝×2×＝.
答案：
2．已知直线l：
kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：
直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：
（1）证明：
直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2,1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，
则解得k的取值范围是.
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B（0,1＋2k）．
又－<0且1＋2k>0，
∴k>0.
故S＝|OA||OB|
＝××（1＋2k）
＝≥（4＋4）＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
第二节两直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
（2）两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：
A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．距离
P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点之间的距离
|P1P2|＝
点P0（x0，y0）到直线l：
Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离
d＝
[小题体验]
1．已知过点A（－2，m）和B（m,4）的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m的值是________．
解析：
由题意可知kAB＝＝－2，所以m＝－8.
答案：
－8
2．已知直线l：
y＝3x＋3，那么直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程为__________．
解析：
由得交点坐标P.又直线x－y－2＝0上的点Q（2,0）关于直线l的对称点为Q′，故所求直线（即PQ′）的方程为＝，即7x＋y＋22＝0.
答案：
7x＋y＋22＝0
3．与直线y＝－3x＋1平行，且在x轴上的截距为－3的直线l的方程为________．
解析：
由题意，知直线l的斜率为－3，且在x轴上的截距为－3，所以直线l的方程为y－0＝－3[x－（－3）]，即3x＋y＋9＝0.
答案：
3x＋y＋9＝0
1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．
2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．
[小题纠偏]
1．已知p：
直线l1：
x－y－1＝0与直线l2：
x＋ay－2＝0平行，q：
a＝－1，则p是q的________条件（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”）．
解析：
由于直线l1：
x－y－1＝0与直线l2：
x＋ay－2＝0平行的充要条件是1×a－（－1）×1＝0，即a＝－1.
答案：
充要
2．已知直线l1：
（t＋2）x＋（1－t）y＝1与l2：
（t－1）x＋（2t＋3）y＋2＝0互相垂直，则t的值为________．
解析：
①若l1的斜率不存在，此时t＝1，l1的方程为x＝，l2的方程为y＝－，显然l1⊥l2，符合条件；若l2的斜率不存在，此时t＝－，易知l1与l2不垂直．
②当l1，l2的斜率都存在时，直线l1的斜率k1＝－，直线l2的斜率k2＝－，∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即·＝－1，所以t＝－1.
综上可知t＝－1或t＝1.
答案：
－1或1
（基础送分型考点——自主练透）
[题组练透]
1．（2016·金陵中学模拟）若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于________．
解析：
由a·1＋2·1＝0得a＝－2.
答案：
－2
2．（2016·金华十校模拟）“直线ax－y＝0与直线x－ay＝1平行”是“a＝1”成立的________条件（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”）．
解析：
由直线ax－y＝0与x－ay＝1平行得a2＝1，即a＝±1，所以“直线ax－y＝0与x－ay＝1平行”是“a＝1”的必要不充分条件．
答案：
必要不充分
3．（2016·启东调研）已知直线l1：
（a－1）x＋y＋b＝0，l2：
ax＋by－4＝0，求满足下列条件的a，b的值．
（1）l1⊥l2，且l1过点（1,1）；
（2）l1∥l2，且l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
解：
（1）∵l1⊥l2，
∴a（a－1）＋b＝0.①
又l1过点（1,1），
∴a＋b＝0.②
由①②，解得或
当a＝0，b＝0时不合题意，舍去．
∴a＝2，b＝－2.
（2）∵l1∥l2，∴a－b（a－1）＝0，③
由题意，知a>0，b>0，直线l2与两坐标轴的交点坐标分别为，.
则××＝2，得ab＝4，④
由③④，得a＝2，b＝2.
[谨记通法]
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：
A1x＋B1y＋C1＝0（A＋B≠0）
l2：
A2x＋B2y＋C2＝0（A＋B≠0）
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行
的充分条件
＝≠（A2B2C2≠0）
l1与l2相交
的充分条件
≠（A2B2≠0）
l1与l2重合
的充分条件
＝＝（A2B2C2≠0）
在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．
[典例引领]
已知A（4，－3），B（2，－1）和直线l：
4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.
解：
设点P的坐标为（a，b）．
∵A（4，－3），B（2，－1），∴线段AB的中点M的坐标为（3，－2）．
而AB的斜率kAB＝＝－1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0.
∵点P（a，b）在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.①
又点P（a，b）到直线l：
4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，即4a＋3b－2＝±10，②
由①②联立可得或
∴所求点P的坐标为（1，－4）或.
[由题悟法]
处理距离问题的2大策略
（1）点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．
（2）动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA|＝|PB|这一条件的转化处理．
[即时应用]
（2016·苏州检测）已知三条直线2x－y－3＝0,4x－3y－5＝0和ax＋y－3a＋1＝0相交于同一点P.
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）求过点（－2,3）且与点P的距离为2的直线方程．
解：
（1）由解得
所以点P的坐标为（2,1）．
将点P的坐标（2,1）代入直线ax＋y－3a＋1＝0，可得a＝2.
（2）设所求直线为l，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，此时点P与直线l的距离为4，不合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－3＝k（x＋2），
即kx－y＋2k＋3＝0.
点P到直线l的距离d＝＝2，
解得k＝2，
所以直线l的方程为2x－y＋7＝0.
[命题分析]
对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．
常见的命题角度有：
（1）点关于点对称；
（2）点关于线对称；
（3）线关于线对称；
（4）对称问题的应用．
[题点全练]
角度一：
点关于点的对称问题
1．（2016·苏北四市调研）点P（3,2）关于点Q（1,4）的对称点M的坐标为________．
解析：
设M（x，y），则
∴x＝－1，y＝6，
∴M（－1,6）．
答案：
（－1,6）
角度二：
点关于线的对称问题
2．已知直线l：
2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．
解析：
设A′（x，y），
由已知得解得
故A′.
答案：
A′
角度三：
线关于线的对称问题
3．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是
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