直线与圆的方程.docx

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直线与圆的方程

第七章直线和圆的方程

两重合点斜式条倾直直斜线直线角的两点式平行线和方位程斜垂直置率关相交一般式系直交点线和夹角圆点到直线距离简公式单简单的线用二元一次不等式应性规划表示平面区域用标准方程点与圆的位置关系圆圆的的直线与圆的位置关系一般方程圆性方质程参数方圆与圆的位置关

●知识梳理

1.直线方程的五种形式

1

:

2.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量及位置关系

（1）直线的倾斜角轴绕着交点按逆时针方向x轴相交的直线，如果把x在平面直角坐标系中，对于一条与.

α，那么α就叫做直线的倾斜角旋转到和直线重合时所转的最小正角记为.α＜180°轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°,直线倾斜角取值范围0°≤直线和x

（2）直线的斜率表示，即90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k倾斜角α不是.

≠90°）k=tanα（α°的直线都有斜率，其取值范围是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90倾斜角是.

（－∞，+∞）（4）求直线斜率的方法.

k=tanαα，且α≠90°，则斜率①定义法：

已知直线的倾斜角为yy?

12.

，则斜率k=，且y）、P（x，y）x≠xx②公式法：

已知直线过两点P（，21121212

xx?

12.平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率不存在，倾斜时，直线斜率k），当x=xyP（x，）、P（x，y对于直线上任意两点21211212时，0=arctank，k＜k=90°；当x≠x时，直线斜率存在，是一实数，并且≥0时，α角α21.

kα=π+arctan绕它们的交点逆时针旋转到l的斜率分别为k,k，将（5）到角与夹角：

若直线l,l121210的正角叫两者的夹与l所成的角中不超过90与l重合所转过的最小正角叫l到l的角；l21122kk?

kk?

2112=α.角。

若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=,tan

kk1?

kk1?

2121的充要//lk。

且两者不重合，则l与6）平行与垂直：

若直线ll的斜率分别为k,（221112?

=-1kk=k；l。

l的充要条件是条件是k22112122）yy?

?

xx）?

（（|=。

（x,y）间的距离公式：

|PPPP（7）两点（x,y）与221211212121|Ax?

By?

C|00?

d。

）到直线l:

Ax+By+C=0的距离公式：

8（）点P（x,y0022B?

A3．直线系的方程：

若已知两直线的方程是l：

Ax+By+C=0与l：

Ax+By+C=0，22121121则过l,l交点的直线方程为Ax+By+C+λ（Ax+By+C）=0；21112212C?

C）.

平行的直线方程为Ax+By+C=0（l与11214．简单的线性规划问题:

若直线l方程为Ax+By+C=0.若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l上方（或称右方）的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l下方（或称左方）的部分。

注:

解决简单的线性规划问题的一般步骤：

（1）确定各变量，并以x和y表示；

（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。

2

直线系与对称问题

（一）主要知识及方法：

?

?

xbaP,1.轴的对称点的坐标为关于点；

y轴的对称点的坐标为关于；

y?

x的对称点的坐标为关于；

y?

?

x的对称点的坐标为关于.

?

?

baP,2.ax?

by?

c?

0的对称点的坐标的求法：

关于直线点

?

?

1?

?

'设所求的对称点y,xP的坐标为，00a?

xb?

y?

?

ax?

by?

c?

0'上.

一定在直线则00PP,的中点?

?

22?

?

y?

ba?

?

?

?

'021?

?

?

?

PP0?

ax?

by?

c的斜率互为负倒数，即直线与直线?

?

x?

ab?

?

0ax?

by?

c?

03.ax?

by?

c?

0的对称直线方程的求法：

关于直线直线111①到角相等；

②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；

③轨迹法（相关点法）；

④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…

?

?

?

?

?

?

?

?

?

0yx,a?

x,2b?

yx,yba,f2C4.关于定点，曲线的对称点为关于定点：

点?

?

?

?

?

y0x?

2bba,?

f2a.

的对称曲线方程为5.直线系方程：

?

?

1kbkbbkx?

?

y位常数）.

（为常数，直线参数；为参数，3

?

?

?

?

?

?

x?

xy?

2yM?

x,ykx?

x过定点的直线系方程为及00000?

?

3Ax?

By?

C?

0C?

C0?

?

By?

CAx）平行的直线系方程为（与直线11?

?

4Ax?

By?

C?

0Bx?

Ay?

m?

0垂直的直线系方程为与直线?

?

5l：

ax?

by?

c?

00y?

b?

c?

x：

la的交点的和直线线过直系的方程为：

22221111?

?

?

?

?

?

0yb?

c?

?

bxa?

yc?

axl）（不含21112224

（二）典例分析：

A（1,2）x?

y?

2?

0的对称点关于直线）求点例1（1A（3,4）y?

2x?

3的对称点关于直线）求（2（3）一张坐标纸，对折后，点A（0，4）与点B（8，0）重叠，若点C（6，8）与D（m，n）重叠，求m+n；

:

10：

试求直线例2l:

3x?

?

y?

3l?

x?

y?

0l的方程。

关于直线对称的直线21

3x?

4y?

5?

0关于直线练习：

（2）求直线x=3对称的直线方程；

3x?

4y?

5?

02x?

2y?

3?

0对称的直线方程；）求直线关于直线（3

A（1,2）,B（?

2,0）y?

x?

1|PA|?

|PB|最小，并P上找一点例3

（1）已知，在直线，使求最小值；

A（1,2）,B（4,?

2）y?

x?

1||PA|?

|PB||最大，2（）已知，使，在直线P上找一点并求最大值；

x?

y?

1?

0反射，反射光线经过点B射到直线，光线由点4例A（23）（1，1）求反射光线所在直线方程。

5

练习：

A（?

1,2）射出，被x轴反射后经过点B（3，21、光线从），求入射光线所在直线方程；

l:

x?

2y?

5?

0l:

2x?

2y?

7?

0，求反射光线所在直线方、2光线沿着直线射向直线21程。

x?

2ll0?

?

1?

3x2y的倾斜角；的对称直线方程是、直线关于直线，求直线3

ll0?

1x?

y?

2x?

y?

3?

02的方程；4、对称，求直线关于直线和直线直线

5、一张坐标纸对折后，点A（0，2）与点B（4，0）重叠，若点C（2，3）与D（m，n）重叠，求m+n；

2x?

y?

2?

0关于点A（、求直线62，3）对车的直线方程

ll0?

y4?

l2?

0:

7x?

?

:

lx?

y的方程；关于直线与7、对称，求直线21

l:

2x?

y?

3?

0l射到y轴后反射，这时又沿着直线轴，x射到（选）8、入射光线沿直线12ll的方程；轴再反射沿着直线射出，求直线y由33

6

二、圆的方程及有关问题

（一）、圆及圆的一般方程

2222?

4FE?

F?

0（D0）xy?

?

?

Dx?

Ey?

：

圆的一般方程1.2．推导：

圆心为（a，b），半径为的圆的标准方程为Cr．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．222（x－a）+（y－b）=r.①．．．．．．．．．．．．．．．．．．22222?

0a?

?

b?

yr?

2ax?

2byx?

展开整理得：

222,ra?

?

b,aE?

?

2b,F?

D?

?

2则得令22?

Dx?

Ey?

F?

x0?

y②

22?

4DF?

EDE22（x?

）?

（y?

）?

。

将方程②左边配方得：

224DE12222?

4?

?

E（?

）DF,0D?

E?

4F?

为半（时，方程②表示以为圆心，1）当222径的圆。

DEDE22,y?

?

（?

x?

?

?

）04D?

E?

F?

。

（2）当它表示一个点时，由方程②得222222D?

E?

4F?

0时，方程②没有实数解，因而它不表示任何图形。

（3）当

220?

E?

4FD?

因此，当时，方程②表示一个圆，方程②叫做圆的一般方程。

圆的一般方程的特点3

22yx,）的系数相同且不等于零；（1xy）不含的项。

（2220F?

?

?

DxEy?

Ax?

Bxy?

Cy仅符合方程②的形具有以上两个特点的二元二次方程220?

4F?

D?

E的条件，才能表示圆，因此，上述两个特点是二元二次式，还需要满足220F?

?

Cy?

Dx?

Ey?

Ax?

Bxy方程表示圆的必要条件，不是充分条件。

222，其参+（y-b）=rr、圆的标准方程：

圆心是点4（a,b），半径为的圆的标准方程为（x-a）?

cosrax?

?

?

数方程为（θ为参数）。

?

?

sinr?

b?

y?

7

（二）、直线与圆直线和圆的位置关系，制定直线和圆的位置关系主要有两种方法，方法：

和半:

圆心到直线的距离d1、方法一:

利用判别式来讨论位置关系方法二径r的大小加以比较直线和园相交?

?

0?

?

直线和园相交d?

r?

直线和园相切?

0?

?

?

?

直线和园相切?

rd?

直线和园相离?

?

0?

?

直线和园相离?

rd?

2．圆的弦长的求法：

dlr，根据垂径定理，，弦心距为，半径为

（1）几何法：

当直线和圆相交时，设弦长为l222r?

d（）?

2；则有：

）y，B（x,,A（xy）llk则，分

（2）代数法：

设斜的率为别，为与圆交点221112|yy1?

?

|1?

k||x?

x?

|AB|?

BABA2k

注意：

求直线被圆截得的弦长问题一般用几何法。

．直线与圆相切32222）yx,P（ryy?

?

xxry?

x?

P点的切线方程为：

）若点在圆；则过点；（100002222y?

rx?

y?

kx?

r1?

kk

（2）已知斜率为且与圆相切的切线方程为：

；

222krb）?

a）?

（y?

（x?

线为法，可设切且与圆相切的切线方知斜已率为程的求mm?

y?

kx；，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求P（x,y）y?

y?

k（x?

x），利用圆心到直线之距在圆外面时，可设切方程为）当点（30000d?

r?

?

0kkk只有一值，则还应该有等于半径即，求出即可，或利用，求出，若求得x?

x，此时应补上。

一条斜率不存在的直线0CCll的方程联立的方程组的解，或和圆的方程和圆相切时，切点的坐标为（4）当直线ll联立的方程组的解。

垂直的直线与切线过圆心与切线

222P（x,y）x?

y?

rP点的切线的切点弦方程为：

外一点；则过点5）若点在圆（002r?

xx?

yy；00222P（x,y）（x?

a）?

（y?

b）?

rP点的切线的切点弦方程则点若在圆；过点为：

002r）b?

?

yby?

a?

）（?

（xax）（?

）（；008

题型二：

圆的方程的综合应用

222?

a?

1?

0ax?

?

2ay?

x2?

ya已知方程例2：

（1）若此方程表示圆，求实数a的范围；

（2）求此方程表示的圆的面积最大时a的值及此时圆的方程。

4222）Rt?

y）?

16t9?

0（?

t?

?

3）t?

?

xy2（?

x2（14表示的图【变式与拓展】：

已知方程形是圆。

）其中面积最大的圆的方程。

2t1（）求的取值范围；（

9

题型三：

与圆有关的最值问题

223例?

2y（?

（x?

2）1）?

，求圆上的点到直线x-y-8=0已知圆的方程为的距离的最大值和最小值。

22,?

1?

?

3）?

（y4）（x在圆上运），点P，，-1（，0：

【变式与拓展】已知圆C）B（10A点22PBd?

?

PA的坐标。

的最值及相应的点P动，求

10

（二）、直线与圆

222，求经过圆上一点M（x，y）（例：

已知圆的方程是x的切线的方程。

+y=r00

2.求圆的方程

例：

求圆的圆心在直线y=-4x上，并且与直线

a：

x+y－1＝0相切，求切于点p（3、-2）的圆的方程。

解：

求圆的方程存在下列两种思路

思路1：

思路2：

4.求字母参数取值范围

222=0，一定点为A（1、+ax+2y+a2）例：

已知圆的方程为x，要使过定+y点（1、2），作圆的切线有两条，求a的取值范围。

㈡直线与圆相交

一条直线与圆相交可以求相交弦长

22=9,直线y=x+1与圆相交于+yA、B例：

已知圆的方程为：

x，求相交弦的长。

㈢直线与圆相离

22+6y=6，求圆与直线4x-3y+12=0的距离的最大2x+y已知圆的方程x－值和最小值。

11

三、圆与圆

1．、两圆的位置关系：

（1）代数法：

解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。

OOrr的半径为，圆

（2）几何法：

设圆的半径为2121?

|OO|?

r?

r?

|OO|?

r?

r；②两圆外切①两圆外离；21111222?

|r?

r|?

|OO|?

r?

r?

|OO|?

|r?

r|；③两圆相交；④两圆内切1122212211?

|OO|?

|r?

r|；⑤两圆内含1212注意：

判断两圆的位置关系多用几何法。

2．两圆相切时，两圆心所在直线经过切点，外切时有3条公切线，内切时有1条公切线。

3．两圆外离时，有4条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆连心线垂直平分公共弦。

22xy注意：

两圆相交时，相交弦的方程是将两圆方程相减，消去后得到的直线方程。

和．圆系方程：

422220F?

?

Ey?

x?

y?

Dx0F?

Ey?

?

xy?

Dx?

CC的交点的：

（1）经过两个圆：

与圆111222212222?

?

Dx?

Ey?

F）?

x?

EyF?

?

（x0?

xy?

y?

D?

C?

?

1）（不含圆圆系方程是；，2211122?

?

?

1时，表示过两个圆交点的直线；当

220F?

Dx?

Ey?

x?

y?

0?

By?

C?

l：

Ax

（2）经过直线的交点的圆系方程是与圆22?

0?

?

C）?

F?

（Ax?

xBy?

y?

Dx?

Ey?

1?

?

（；）

灵活使用圆系方程解题，可以起到简化计算的目的，避免求交点坐标。

题型一圆与圆位置关系的判断

判断下列两圆的位置关系。

2222CC03?

?

?

y?

4x2y?

?

2x?

y?

x?

30x）（1：

：

；，212222CC0xy2?

?

?

y0?

6?

x2x?

y?

3：

：

，2（）。

21

12

题型二两圆相交

2222?

4x?

2y?

?

y20?

25x?

?

yx0相交于A、已知两圆B和两点。

例2

（1）求弦AB所在直线方程；

（2）求A、B两点坐标；

（3）求弦长AB。

222222R?

2））?

（yx?

y?

?

rx（?

2相交，其中一个交【变式与拓展】：

若两圆和点为（1,3），求另一个交点坐标。

题型三圆系方程的综合应用

22Ra0且?

a?

0ax2?

2（a2?

?

?

2）y?

?

xy。

，其中已知圆的方程为5例的实数时，上述圆过定点。

a

（1）求证：

当为不等于1

（2）求圆心的轨迹方程。

3（）求恒与圆相切的直线方程。

13

直线和圆的方程测试题4分×12=48分）一、选择题（程的直线方l：

x－y－1=0的倾斜角两倍是1、过定点P（2,1），且倾斜角直线）为……………………（

=2D）x）y－1=2（x－2）（－A）x2y－1=0（B）2x－y－1=0（C（）2、下列四个命题中的真命题是…………………………………（

y－=k（x－x）表示（A）经过定点P（x,y）的直线都可以用方程y00000yx）（（y－y）（x－x）=（x－（（B）经过两个任意不同的点P（x,y），Px,y）的直线都可以用方程21211112221表示－y）1yx1?

?

（C）不经过原点的直线都可以用方程表示

ba表示）经过定点A（0,b）的直线都可以用方程y=kx+b（D，则直1）7=0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是（1，－3、直线l与两直线y=1,x－y－）线l的斜率是………………………………………………………………（

3232（D）－（C）－（A）（B）

2323?

）0,（内变，其中a为实数，当这两条直线的夹角在:

4、已知两条直线ly=x；l:

ax－y=021

12）动时，a的取值范围是………………………………………………………（

33）,3（,1）（（3,）1）31,（）（A）（0,1）（B（）C（）D

331x2y?

x3?

x?

6,?

），则x+y的最大值和最小值分别是………………（5、已知38,4D）（（C）18,4（A）4,18（B）4,8

322x的位置关系是y（x－6、直线y2）==3+绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆3）（

（B）直线与圆相交，但不过圆心（A）直线过圆心

）直线与圆没有公共点（D（C）直线与圆相切

22）APBP，若∠=90°，则c的值为（+y+2－4xy+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为x7、圆22D）－（（C）83（A）－（B）3

）－y－5=0所得的弦长等于………………………（截直线8、圆x2+y2－4x+4y+6=0x526（C）1（B）（D）5（A）222=4有两个不同的交点，那么点P（a，b：

x）+y与圆C的位置关=49、若直线：

ax+by与圆C系是（）

（A）在圆外（B）在圆上（C）在圆内（D）不确定

22=4外一点M（4,－1）引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为………（）过圆10、xy+（A）4x－y－4=0（B）4x＋y－4=0（C）4x＋y＋4=0（D）4x－y＋4=0

14

22）=1上移动时，它与定点B（3,0）11、动点在圆x连线的中点轨迹方程是………………+y（1322222222x＋=）＋＋4yy=1（Dy=4（B）（x－3））＋y（=1C）（2x－3）x（A）（＋3）（＋

222（x?

x?

4[－2,2]）与直线y=k（x－2）+4有两个公共点时，实数k12、曲线y的取值范围=1+是（）

513553?

?

）（（0,,）（,?

?

）,?

）（D）（BC）（A（）?

123412124?

?

二、填空题（3分×4=12分）

13、若直线l：

2x－y－10=0，l：

4x+3y－10=0，l：

ax+2y+8=0，相交于一点，则a=；321

14、以点（－2,3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是；

22+8x－4y=0关于直线l对称，则直线15、一个以原点为圆心的圆与圆xl+y的方程；

22－4xy－5=0l、过点P（1,2）的直线把圆x分成两个弓形，当其中较小弓形面积最小时，+16直线l的方程是。

三、解答题（12分×4=48分）

17、（本题8分）三角形的两条高所在直线方程为：

2x－3y+1=0和x+y=0，点A（1,2）是它的一个项点，求：

（1）BC边所在直线方程.

（2）三个内角的大小.

18、（本题10分）某校食堂长期以面粉和大米为主食，面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才即科学又费用最少？

15

22－8x－2y＋=0，圆M：

x＋y9=0－（本题19、10分）已知直线l：

kx－y3k

（1）求证：

直线l与圆M必相交；

（2）当圆M截l所得弦最短时，求k的值，并求l的直线方程。

22－2x－2y＋1=0相切的直线l交x，y轴于A分）已知与曲线20、（本题12C：

x＋y、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a>2,b>2）.

（1）求证：

（a－2）（b－2）=2；

（2）求线段AB中点的轨迹方程；

（3）求△AOB面积最小值。

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