线性代数知识点总结第二章.docx
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线性代数知识点总结第二章
线性代数知识点总结
第二章矩阵及其运算
第一节矩阵
简记为AAmnaijmn丙，这口n个数称为A勺元素，简称为元。
说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
扩展几种特殊的矩阵:
方阵：
行数与列数都等于n的矩阵A。
记作：
An行（列）矩阵：
只有一行（列）的矩阵。
也称行（列）向量。
同型矩阵：
两矩阵的行数相等，列数也相等。
相等矩阵:
AB冋型，且对应兀素相等。
记作：
A=B
零矩阵：
兀素都是零的矩阵（不冋型的零矩阵不冋）
对角阵：
不在主对角线上的元素都是零。
单位阵：
主对角线上元素都是1，其它元素都是0,记作：
&（不引起混淆时，也可
表示为E）（课本P29—P31）
注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。
第二节矩阵的运算
矩阵加法的运算规律
的负矩阵
4AA0,A
数与矩阵相乘
数乘矩阵的运算规律（设
A、B为mn矩阵,
B。
（课本P33）
矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
矩阵与矩阵相乘设B（bj）是一个ms矩阵，B（bj）是一个sn矩阵，那么规定矩阵
注意
乘积可能是零矩阵。
3。
对于n阶方阵A和B，若AB=BA，则称A与B是可交换的。
矩阵乘法的运算规律
1ABCABC；
2ABABAB
3
ABCABAC，BCABACA
5若A是n阶方阵,则称Ak为A的k次幕，即AkAAA，并且AmAkAmk
kAmAmkm,k为正整数。
规定：
A°=E
注意矩阵不满足交换律，即ABBA,ABkAkBk（但也有例外）（课本P36）
0
纯量阵矩阵E・称为纯量阵，作用是将图形放大倍。
且有
I
卜
0
（E）AA（E）A,A为n阶方阵时，有（En）An代（E.）A，表明纯量阵与
转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A,
14
122T如A，A25。
458
28
转置矩阵的运算性质
1
at
T
A;
TT
T
2
A
B
A
B；
3
A
T
at；
4
AB
T
btat。
（课本P39）
方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作A或
detA（记住这个符号）
注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n
阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。
运算性质
1AtA；
2|An|A；
⑶ABABBABA（课本P40）
对称阵设A为n阶方阵，如果满足A=At，即ajajii,j1,2,|||,n那么A称为对称阵。
说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果AtA则称矩阵A为反对称
的。
即反对称矩阵A=（aj）中的元素满足aij=-aji,i,j=1,2,…门
性质AAAAAE（易忘知识点）（课本P?
）
总结
（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。
（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，且矩
阵相乘不满足交换律。
（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。
第三节逆矩阵
定义对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使得AB=BA=E则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵。
A的逆矩阵记作A1，即A1B。
说明
1A,B互为逆阵，A=B-1
2只对方阵定义逆阵。
3.若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。
11*
定理1矩阵A可逆的充分必要条件是A0，并且当A可逆时，有A「A（重要）
（证明见课本P?
）
奇异矩阵与非奇异矩阵当A0时，A称为奇异矩阵，当A0时，A称为非奇异矩
阵。
即A可逆A为非奇异矩阵A0。
推论若ABE（或BA=E）,则BA1（证明见课本P?
）
（1）先求|A|并判断当|A|0时逆阵存在;
求逆矩阵方法
（2）求A*；
⑶
十1*
求A
IA|
A1o
更好的求逆矩阵的方法
--chapter3
初等变换法（A,E）
逆矩阵的运算性质
1若A可逆,则A1亦可逆，且A11A
1112若A可逆,数0,则A可逆,且A-A
若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且（AB）1B1A1。
（以上证明
见课本P43）
若A可逆,则AT亦可逆，且
at
若A可逆,则有A1
总结逆矩阵的计算方法
1待定系数法；2利用公式A1
初等变换法下一章介绍
第四节矩阵分块法
A的子
矩阵分块将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
分块的目的是为了简化运算。
分块矩阵的运算规则
加法
A与B同型，且A、B的分块方法相同，则A与B的和定义为对应子块相加。
数乘
A（Aj）。
转置
A11A12A13，则At
A21A22A23
AI1A21
aT，aT2o（先外转再转）
A13A23
乘法首先AB有意义，其次A的列的分法与B的行的分法相同。
设A为ml矩阵，B为In矩阵,分块成
Bi
AAA,川At（即列向量组）,B半（即行向量组），
Bn
C11卅Cir
其中Ai,A2,|||At的列数分别等于Bij,B2j,卅,Btj的行数，那么AB;，
Cs1”|Csr
t
其中CijAkBkji1,,s;j1,,r。
k1
结论分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。
分块对角阵（准对角矩阵）
设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，
A1
且非零子块都是方阵，即AA2：
，其中ai1,2j||s都是方阵，则
As
有：
1）IAIaIAIMa。
A1
2）若每个A0,则A可逆,且有AA2，
As
A可逆A可逆i1,2,|||,s且A1diagA1,A?
1,|||,As1（diag（A）表示对角阵A）
（课本P?
）
有用的结论设AtAO,则AO（证明见课本P?
）
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