新课改数学高考总复习小测变量间的相关关系统计案例.docx
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新课改数学高考总复习小测变量间的相关关系统计案例
课时跟踪检测（六十六）变量间的相关关系、统计案例
一、题点全面练
1.根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
0.5
0.5
0.4
0.1
得到的线性回归方程为＝x＋，则（ ）
A.＞0，＞0 B.＞0，＜0
C.＜0，＞0D.＜0，＜0
解析：
选B 根据给出的数据可发现：
整体上y与x呈现负相关，所以＜0，由样本点（3,4.0）及（4,2.5）可知＞0，故选B.
2.随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.
非一线
一线
总计
愿生
45
20
65
不愿生
13
22
35
总计
58
42
100
由K2＝，
得K2＝≈9.616.
参照下表，
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
正确的结论是（ ）
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
解析：
选C ∵K2≈9.616＞6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.
3.（2018·哈尔滨一模）千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：
年份/届
2014
2015
2016
2017
学科竞赛获省级一等奖及以上的学生人数x
51
49
55
57
被清华、北大等世界名校录取的学生人数y
103
96
108
107
根据上表可得回归方程＝x＋中的为1.35，该校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63，据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（ ）
A.111B.117
C.118D.123
解析：
选B 因为＝53，＝103.5，所以＝－＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回归直线方程为＝1.35x＋31.95.当x＝63时，代入解得＝117，故选B.
4.某考察团对10个城市的职工人均工资x（千元）与居民人均消费y（千元）进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且线性回归方程为＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为（ ）
A.66%B.67%
C.79%D.84%
解析：
选D ∵y与x具有线性相关关系，且满足回归方程＝0.6x＋1.2，该城市居民人均工资为＝5，∴可以估计该城市的职工人均消费水平＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为＝84%.
5.某炼钢厂废品率x（%）与成本y（元/吨）的线性回归直线方程为＝105.492＋42.569x.当成本控制在176.5元/吨时，可以预计生产的1000吨钢中，约有________吨钢是废品（结果保留两位小数）.
解析：
因为176.5＝105.492＋42.569x，解得x≈1.668，即当成本控制在176.5元/吨时，废品率约为1.668%，所以生产的1000吨钢中，约有1000×1.668%＝16.68吨是废品.
答案：
16.68
6.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：
（已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系）
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
80
75
70
65
60
物理成绩y
70
66
68
64
62
现已知其线性回归方程为＝0.36x＋，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为________.
（四舍五入到整数）
解析：
＝＝70，
＝＝66，
所以66＝0.36×70＋，即＝40.8，
即线性回归方程为＝0.36x＋40.8.
当x＝90时，＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.
答案：
73
7.经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程：
＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元.
解析：
x变为x＋1，＝0.245（x＋1）＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元.
答案：
0.245
8.已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：
分）对应如下表：
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学成绩
60
65
70
75
80
85
90
95
物理成绩
72
77
80
84
88
90
93
95
给出散点图如下：
根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.
其中正确的个数为________.
解析：
由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误.综上，正确的个数为1.
答案：
1
9.（2019·泉州一模）某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试，测试的方案：
电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子停下所需要的距离），无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于下表.
表1
停车距离d（米）
（10,20]
（20,30]
（30,40]
（40,50]
（50,60]
频数
26
a
b
8
2
表2
平均每毫升血液酒精含量x（毫克）
10
30
50
70
90
平均停车距离y（米）
30
50
60
70
90
已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题.
（1）求a，b的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；
（2）根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程＝x＋；
（3）该测试团队认为：
若驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于
（1）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据
（2）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？
附：
回归方程＝x＋中，＝，＝－.
解：
（1）依题意，得a＝50－26，解得a＝40.
又a＋b＋36＝100，解得b＝24，故停车距离的平均数为
15×＋25×＋35×＋45×＋55×＝27.
（2）依题意，可知＝50，＝60，
iyi＝10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90＝17800，
＝102＋302＋502＋702＋902＝16500，
所以＝＝0.7，＝60－0.7×50＝25，
所以回归直线方程为＝0.7x＋25.
（3）由
（1）知当y＞81时，认定驾驶员是“醉驾”.
令＞81，得0.7x＋25＞81，解得x＞80，
则当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”.
10.（2018·豫南九校联考）下表为2015年至2018年某百货零售企业的线下销售额（单位：
万元），其中年份代码x＝年份—2014.
年份代码x
1
2
3
4
线下销售额y
95
165
230
310
（1）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2019年该百货零售企业的线下销售额；
（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？
参考公式及数据：
＝，＝－，
K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
解：
（1）由题意得＝2.5，＝200，＝30，iyi＝2355，所以＝＝＝71，
所以＝－＝200－71×2.5＝22.5，
所以y关于x的线性回归方程为＝71x＋22.5.
由于2019－2014＝5，所以当x＝5时，＝71×5＋22.5＝377.5，所以预测2019年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元.
（2）由题可得2×2列联表如下：
持乐观态度
持不乐观态度
总计
男顾客
10
45
55
女顾客
20
30
50
总计
30
75
105
故K2＝≈6.109.
由于6.109＞5.024，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关.
二、专项培优练
（一）易错专练——不丢怨枉分
1.（2019·济南诊断）某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动，得到如下的列联表.由K2＝并参照附表，得到的正确结论是（ ）
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
附表：
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”
C.有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”
D.有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”
解析：
选A 因为K2＝≈7.822＞6.635，所以有99%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”.
2.已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得的线性回归方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据（1,0）和（2,2）求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是（ ）
A.＞b′，＞a′B.＞b′，＜a′
C.＜b′，＞a′D.＜b′，＜a′
解析：
选C 由两组数据（1,0）和（2,2）可求得直线方程为y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得＝＝＝，＝－＝－×＝－，所以＜b′，＞a′.
3.为了研究某班学生的脚长x（单位：
cm）和身高y（单位：
cm）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其线性回归方程为＝x＋.已知i＝225，i＝1600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）
A.160B.163
C.166D.170
解析：
选C ∵i＝225，∴＝i＝22.5.
∵i＝1600，∴＝i＝160.
又＝4，∴＝－＝160－4×22.5＝70.
∴线性回归方程为＝4x＋70.
将x＝24代入上式，得＝4×24＋70＝166.
（二）素养专练——学会更学通
4.[数学运算]某高中学校对全体学生进行体育达标测试，每人测试A，B两个项目，每个项目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人，分别统计他们A，B两个项目的测试成绩，得到A项目测试成绩的频率分布直方图和B项目测试成绩的频数分布表如下：
B项目测试成绩频数分布表
分数区间
频数
[0,10）
2
[10,20）
3
[20,30）
5
[30,40）
15
[40,50）
40
[50,60]
35
将学生的成绩划分为三个等级，如下表：
分数
[0,30）
[30,50）
[50,60]
等级
一般
良好
优秀
（1）在抽取的100人中，求A项目等级为优秀的人数；
（2）已知A项目等级为优秀的学生中女生有14人，A项目等级为一般或良好的学生中女生有34人，试完成下列2×2列联表，并分析是否有95%以上的把握认为“A项目等级为优秀”与性别有关？
优秀
一般或良好
总计
男生
女生
总计
（3）将样本的概率作为总体的概率，并假设A项目和B项目测试成绩互不影响，现从该校学生中随机抽取1人进行调查，试估计其A项目等级比B项目等级高的概率.
参考数据：
P（K2≥k0）
0.10
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考公式K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：
（1）由A项目测试成绩频率分布直方图，得A项目等级为优秀的频率为0.04×10＝0.4，
所以A项目等级为优秀的人数为0.4×100＝40.
（2）由
（1）知A项目等级为优秀的学生中，女生数为14人，男生数为26人.A项目等级为一般或良好的学生中，女生数为34人，男生数为26人.
作出如下2×2列联表：
优秀
一般或良好
总计
男生
26
26
52
女生
14
34
48
总计
40
60
100
则K2＝≈4.514.
由于4.514＞3.841，所以有95%以上的把握认为“A项目等级为优秀”与性别有关.
（3）设“A项目等级比B项目等级高”为事件C.
记“A项目等级为良好”为事件A1，“A项目等级为优秀”为事件A2，“B项目等级为一般”为事件B0，“B项目等级为良好”为事件B1.
于是P（A1）＝（0.02＋0.02）×10＝0.4，P（A2）＝0.4.由频率估计概率得P（B0）＝＝0.1，P（B1）＝＝0.55.
因为事件Ai与Bj相互独立，其中i＝1,2，j＝0,1，所以P（C）＝P（A1B0＋A2B0＋A2B1）＝0.4×0.1＋0.4×0.1＋0.4×0.55＝0.3.
所以随机抽取一名学生，其A项目等级比B项目等级高的概率为0.3.
5.[数据分析]下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：
亿元）的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，17）建立模型①：
＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，7）建立模型②：
＝99＋17.5t.
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？
并说明理由.
解：
（1）利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1（亿元）.
利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝99＋17.5×9＝256.5（亿元）.
（2）利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.
（以上给出了2种理由，学生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分）
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