握采用频率法设计超前校正装置综述.docx
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握采用频率法设计超前校正装置综述
初始条件：
已知系统的开环传递函数模型为：
要求完成的主要任务:
（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
（1）掌握采用频率法设计超前校正装置的具体步骤；
（2）设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数
，相角裕度大于
；
（3）采用Matlab工具进行分析设计，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线，开环Bode图和Nyquist图；
（4）分析比较采用校正前后的Bode图和Nyquist图，说明其对系统的各项性能指标的影响。
总结频率法校正的优缺点及其适应条件；
（5）对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须写清楚分析计算的过程，并包含Matlab源程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。
时间安排：
任务
时间（天）
指导老师下达任务书，审题、查阅相关资料
2
分析、计算
2
编写程序
1
撰写报告
2
论文答辩
1
指导教师签名：
年月日
系主任（或责任教师）签名：
年月日
摘要
自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。
它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。
控制系统通常是由被控对象、控制器和检测环节组成，一般情况下，仅仅依靠被控对象本身的特性不可能同时满足对系统所提出的各项性能指标的要求。
因此需引入校正装置改善系统的性能。
本文是利用《自动控制原理》中所学的知识，结合MATLAB软件，对系统进行频率法超前校正以使其性能指标满足要求，并对超前校正进行一定分析。
关键字：
传递函数相位裕度频率法超前校正
abstract
Automaticcontroltheoryisthestudyofthecommonlawoftheautomaticcontrolofthetechnicalscience.Intheearlystageofitsdevelopment,itisbasedonthefeedbacktheory,anditismainlyusedinindustrialcontrol.Thecontrolsystemisusuallycomposedofthecontrolledobject,thecontrollerandthedetectionlink,undernormalcircumstances,relyingsolelyonthecharacterofcontrolledobjectscannotsatisfytheperformanceindexofthesystemrequirements.Therefore,itisnecessarytointroducethecorrectiondevicetoimprovetheperformanceofthesystem.
Thisarticleisbasedonthe"automaticcontrolprinciple"intheknowledge,combinedwiththeMATLABsoftware,thesystemfrequencymethodaheadofthecorrectioninordertomakeitsperformanceindicatorstomeettherequirements,andtheadvancecorrectionforacertainanalysis.
Keywords:
transferfunctionphasemarginfrequencymethodaheadcorrection
1串联超前（微分）校正
1.1RC超前网络
RC超前网络的传递函数为
（1）
式中
（2）
为了讨论问题的方便，在网络前（或后）附加一个放大器，使其放大系数等于
。
这样的超前网络作为校正装置，其传递函数可看成为
（3）
超前网络对频率在1/aT～1/T之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内，输出信号的相角超前于输入信号的相角。
超前网络的名称也由此而来。
当频率等于最大超前角频率
时，相角超前量最大，以
表示。
而
又恰好是频率1/aT和1/T的几何中点，即
（4）
因此
（5）
最大超前角为
（6）
根据三角函数两角求和公式，可解得
或
（7）
上式表明，
仅与
值有关，
值选得越大，则超前网络的微分效应越强。
实际选用的
值必须考虑到网络物理结构的限制及附加放大器的放大系数等原因，一般取值不大于20。
此外，
处的对数幅值为
（8）
1.2串联超前校正
利用超前网络进行串联校正的基本原理，乃是利用超前网络相角超前特性。
只要正确地将超前网络的交接频率1/aT和1/T设置在待校正系统截止频率
的两边，就可以使已校正系统的截止频率
和相裕量满足性能指标要求，从而达到改善系统动态性能的目的。
串联超前校正设计的一般步骤为
（1）根据稳态误差要求，确定开环增益K。
（2）在已确定K值条件下，计算未校正系统的相裕量。
（3）根据指标要求，确定在系统中需要增加的相角超前量。
（4）由式（7）确定
值及
值，在未校正系统的对数幅频特性曲线上找到幅值等于－
点所对应的频率，即为
，这一频率为所选网络的
，并且在此频率上将产生最大超前相角值
。
（5）确定超前网络的交接频率
＝1/aT，
＝1/T。
（6）验算。
2控制系统校正前分析
2.1用MATLAB做出校正前系统的阶跃响应曲线、伯德图和奈奎斯特图
2.1.1系统的开环传递函数
系统的开环传递函数如下：
化成时间常数形式如下：
2.1.2校正前系统的单位阶跃响应曲线
用MATLAB绘制校正前系统单位阶跃响应曲线的程序如下:
num=2;
den=conv（[10],conv（[0.11],[0.51]））;%分母多项式展开
W=tf（num,den）;%开环传递函数
Wy_c=feedback（W,1）%校正前开环系统传递函数
step（Wy_c,'r',5）;%校正前单位阶跃响应曲线
gridon;
系统校正前单位阶跃响应曲线。
图1校正前系统的阶跃响应曲线
由图可知，上升时间
，超调时间
，调节时间
s，超调量
2.1.3校正前系统的波德图
用MATLAB绘制校正前系统波德的程序如下:
num=2;
den=conv（[10],conv（[0.11],[0.51]））;%分母多项式展开
W=tf（num,den）;%开环传递函数
Wy_c=feedback（W,1）%校正前开环系统传递函数
bode（W,'r'）;%校正前开环系统伯德图
gridon;
系统校正前的波德图。
图2校正前系统伯德图
系统校正前的波德图如图2所示。
由图可知，此时截止频率Wc=1.56rad/s,相位裕度Pm=43.2°，相位穿越频率Wg=4.47rad/s,幅值裕度GM=15.6dB。
2.1.4校正前系统的奈奎斯特图
用MATLAB绘制校正前系统波德的程序如下:
num=2;
den=conv（[10],conv（[0.11],[0.51]））;%分母多项式展开
W=tf（num,den）;%开环传递函数
Wy_c=feedback（W,1）%校正前开环系统传递函数
figure（3）;
nyquist（W,'r'）;%校正前开环系统奈奎斯特图
gridon;
校正前系统的奈奎斯特图。
图3校正前系统的奈氏曲线
由图可知原系统稳定。
2.2稳态误差分析
已知系统为1型系统，当为斜坡信号输入时，则有：
，满足题意，且K不变，则
不变。
3控制系统超前校正分析设计
3.1串联超前校正原理分析
利用超前校正网络或PD控制器进行串联校正的基本原理，是利用超前校正网络或PD控制器的相角超前特性，只要正确地将校正网络的交接频率1/
T和1/T选在待校正系统截止频率的两旁，并适当选择参数
和T，就可以使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求，从而改善闭环系统的动态性能。
闭环系统的稳态性能要求，可以通过选择已校正系统的开环增益来保证。
用频域法设计无源超前网络的步骤如下：
（1）根据稳态误差要求，确定开环增益K；
（2）利用已确定的开环增益，计算未校正系统的相角裕度；
（3）由校正后的相角裕度确定a值；
（4）由a值计算出
的值，然后计算出T以及aT的值；
（5）得出校正函数和校正后的传递函数。
在本步骤中，关键是选择最大超前相角频率等于要求的系统截止频率，即
，以保证系统的响应速度，并充分利用网络的相角超前特性。
显然
成立的条件是
（9）
根据上式求出α值，然后由
（10）
确定T值。
如果对校正后系统的截止频率
未提出要求，可以从给出的相角裕度
出发，通过下式求得：
（11）
式中，
为利用超前校正网络产生的最大超前相角；
为系统所要求的相角裕度；
为未校正系统在
时的相角裕度；选择
为
是由于加入超前校正装置后，对数幅频特性向右移动，为补偿由此而造成的相角滞后，需要在相角裕度上加以修正。
求出校正装置的最大超前相角
后，根据下式：
（12）
求得α值。
在未校正系统的对数幅频特性上计算其幅值等于所对应的频率就是校正后系统的截止
，且
。
由以上各式计算出校正装置的参数
，T和αT，并以此写出校正装置应具有的传递函数。
校正系统的传递函数为：
（13）
校正后系统的传递函数为：
（14）
当完成校正装置设计后，需要进行实际系统调试工作，或者进行计算机仿真以检查实际系统的响应特性。
这时，需将系统建模时省略的部分尽可能加入系统，以保证仿真结果的逼真度。
如果由于系统各种固有非线性因素影响，或由于系统噪声和负载效应等因素的影响，使已校正系统不能满足全部性能指标要求，则需要适当调整校正装置的形式或参数，直到满足全部性能指标要求为止。
3.2理论计算
（1）给定K值
K=2
（2）未校正系统的相位裕度
求得：
=1.56rad/s
=43.2°
（3）根据未校正前系统的相角裕度和题目初始条件规定的相角裕度值，可以得到最大超前角，由
计算，取规定相角裕度为48.2°，取补偿角为10°。
可得最大超前角为:
=48.2°-43.2°+10°=15°
（4）由
求得
1.70
（5）根据公式
求得
=1.88rad/s
根
据公式求得
T=0.408s
①所以系统的超前校正装置的传递函数为：
②校正后系统的开环传递函数为
（6）校验：
系统校正后的相位裕度：
180°-90°-arctan0.1*1.88-arctan0.3*1.88-arctan0.408*1.88+arctan0.694*1.88
≈52.53°
3.3采用MATLAB工具进行串联超前校正设计
3.3.1利用MATLAB进行超前校正设计的程序
num=2;
den=conv（[10],conv（[0.11],[0.51]））;%分母多项式展开
W=tf（num,den）;%开环传递函数
kc=1;%稳态误差系数不变
yPm=48.2+10;%增加量取10deg
W=tf（W）;%超前校正环节
[mag,pha,w]=bode（W*kc）;%开环频率特性的幅值和相位值
Mag=20*log10（mag）;%幅值的对数值的20倍
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin（W*kc）;%幅值稳定裕度Gm,相位稳定裕度Pm和相应的交接频率Wcg和Wcp
phi=（yPm-Pm）*pi/180;%确定φm值
alpha=（1+sin（phi））/（1-sin（phi））;%确定a的值
Mn=-10*log10（alpha）;%a的对数值的负10倍
Wcgn=spline（Mag,w,Mn）;%确定最大相角位移频率
T=1/Wcgn/sqrt（alpha）;%求T值
Tz=alpha*T;
Wc=tf（[Tz1],[T1]）%超前校正环节的传递函数
Wy_c=feedback（W*kc,1）%校正前开环系统传递函数
Wx_c=feedback（W*kc*Wc,1）%校正后开环系统传递函数
figure
（1）;
step（Wy_c,'r',5）;%校正前开环单位阶跃响应曲线
holdon;
step（Wx_c,'b',5）;%校正后开环单位阶跃响应曲线
gridon;
figure
（2）;
bode（W*kc,'r'）;%校正前开环系统伯德图
holdon;
bode（W*kc*Wc,'b'）;%校正后开环系统伯德图
gridon;
figure（3）;
nyquist（W*kc,'r'）;%校正前开环系统奈奎斯特图
holdon;
nyquist（W*kc*Wc,'b'）;%校正后开环系统奈奎斯特图
gridon;
3.3.2利用MATLAB工具设计超前校正结果
3.3.2.1校正环节传递函数及校正后系统传递函数
校正环节传递函数：
0.6965s+1
------------
0.4102s+1
校正前系统闭环传递函数：
2
--------------------------
0.05s^3+0.6s^2+s+2
校正后系统闭环传递函数：
1.393s+2
-------------------------------------------------
0.02051s^4+0.2961s^3+1.01s^2+2.393s+2
3.2.3.2校正后系统的阶跃响应曲线、伯德图和奈奎斯特图
用MATLAB绘制校正后系统阶跃响应曲线的程序如下:
num=2;
den=conv（[10],conv（[0.11],[0.51]））;%分母多项式展开
W=tf（num,den）;%开环传递函数
kc=1;%稳态误差系数不变
yPm=48.2+10;%增加量取10deg
W=tf（W）;%超前校正环节
[mag,pha,w]=bode（W*kc）;%扩大系数后的开环频率特性的幅值和相位值
Mag=20*log10（mag）;%幅值的对数值的20倍
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin（W*kc）;%幅值稳定裕度Gm,相位稳定裕度Pm和相应的交接频率Wcg和Wcp
phi=（yPm-Pm）*pi/180;%确定φm值
alpha=（1+sin（phi））/（1-sin（phi））;%确定a的值
Mn=-10*log10（alpha）;%a的对数值的负10倍
Wcgn=spline（Mag,w,Mn）;%确定最大相角位移频率
T=1/Wcgn/sqrt（alpha）;%求T值
Tz=alpha*T;
Wc=tf（[Tz1],[T1]）%超前校正环节的传递函数
Wx_c=feedback（W*kc*Wc,1）%校正后开环系统传递函数
step（Wx_c,'b',5）;%校正后开环单位阶跃响应曲线
gridon;
校正后系统的阶跃响应曲线。
图4校正后系统的阶跃响应曲线
由图可知，上升时间
，超调时间
，调节时间
3.29s，超调量
。
用MATLAB绘制校正后系统阶跃响应曲线的程序如下:
num=2;
den=conv（[10],conv（[0.11],[0.51]））;%分母多项式展开
W=tf（num,den）;%开环传递函数
kc=1;%稳态误差系数不变
yPm=48.2+10;%增加量取10deg
W=tf（W）;%超前校正环节
[mag,pha,w]=bode（W*kc）;%扩大系数后的开环频率特性的幅值和相位值
Mag=20*log10（mag）;%幅值的对数值的20倍
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin（W*kc）;%幅值稳定裕度Gm,相位稳定裕度Pm和相应的交接频率Wcg和Wcp
phi=（yPm-Pm）*pi/180;%确定φm值
alpha=（1+sin（phi））/（1-sin（phi））;%确定a的值
Mn=-10*log10（alpha）;%a的对数值的负10倍
Wcgn=spline（Mag,w,Mn）;%确定最大相角位移频率
T=1/Wcgn/sqrt（alpha）;%求T值
Tz=alpha*T;
Wc=tf（[Tz1],[T1]）%超前校正环节的传递函数
Wx_c=feedback（W*kc*Wc,1）%校正后开环系统传递函数
bode（W*kc*Wc,'b'）;%校正后开环系统伯德图
gridon;
校正后的bode图。
图5校正后系统的bode图
由图可知，此时截止频率Wc=1.87rad/s,相位裕度Pm=51.3°，相位穿越频率Wg=5.55rad/s,幅值裕度GM=15.3dB。
用MATLAB绘制校正后系统奈氏曲线的程序如下:
num=2;
den=conv（[10],conv（[0.11],[0.51]））;%分母多项式展开
W=tf（num,den）;%开环传递函数
kc=1;%稳态误差系数不变
yPm=48.2+10;%增加量取10deg
W=tf（W）;%超前校正环节
[mag,pha,w]=bode（W*kc）;%扩大系数后的开环频率特性的幅值和相位值
Mag=20*log10（mag）;%幅值的对数值的20倍
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin（W*kc）;%幅值稳定裕度Gm,相位稳定裕度Pm和相应的交接频率Wcg和Wcp
phi=（yPm-Pm）*pi/180;%确定φm值
alpha=（1+sin（phi））/（1-sin（phi））;%确定a的值
Mn=-10*log10（alpha）;%a的对数值的负10倍
Wcgn=spline（Mag,w,Mn）;%确定最大相角位移频率
T=1/Wcgn/sqrt（alpha）;%求T值
Tz=alpha*T;
Wc=tf（[Tz1],[T1]）%超前校正环节的传递函数
Wx_c=feedback（W*kc*Wc,1）%校正后开环系统传递函数
nyquist（W*kc*Wc,'b'）;%校正后开环系统奈奎斯特图
gridon;
校正后系统的奈奎斯特曲线。
图6校正后系统的奈奎斯特曲线
4控制系统校正前后的对比
4.1控制系统校正前后的阶跃响应曲线、伯德图和奈奎斯特图对比
采用扩大系数之后的校正前系统曲线与校正后进行对比。
这样在控制K值相等的前提下，可以更好地看到超前校正对系统各项性能指标的影响。
4.1.1系统校正前后单位阶跃曲线对比及分析
4.1.1.1系统校正前后单位阶跃响应曲线
系统校正前后单位阶跃响应曲线。
图7系统校正前后单位阶跃响应曲线
虚线为校正前图像，实线为校正后图像。
由图可知，校正前：
上升时间
，超调时间：
，调节时间
4.4s，超调量σ%=25.4%。
校正后：
上升时间
，超调时间：
，调节时间
3.29s，超调量σ%=16.2%。
4.1.2系统校正前后伯德图与奈奎斯特图对比
4.1.2.1系统校正前后伯德图
系统校正前后伯德图。
图8系统校正前后伯德图
虚线为校正前图像，实线为校正后图像。
由图可知，校正前：
截止频率Wc=1.56rad/s,相位裕度Pm=43.2°，相位穿越频率Wg=4.47rad/s,幅值裕度GM=15.6dB。
校正后：
截止频率Wc=1.87rad/s,相位裕度Pm=51.3°，相位穿越频率Wg=5.55rad/s,幅值裕度GM=15.3dB。
3.1.2.2系统校正前后奈奎斯特图
系统校正前后奈奎斯特图。
图9系统校正前后奈奎斯特图
虚线为校正前图像，实线为校正后图像。
4.1.2.3频域角度分析超前校正对系统性能指标的影响
从伯德图与奈奎斯特图中可以看出系统校正后，
（1）截止频率增大，系统频带宽增加，增强了系统的快速性，但同时也造成了对高频干扰较敏感。
（2）截止频率附近的对数幅频特性斜率减小，相位裕度增大，系统的相对稳定性增强。
4.1.2.4时域角度分析超前校正对系统性能指标的影响
从系统校正前后的单位阶跃响应可以看出，
（1）校正后系统的超调量减小，稳定裕度增加。
（2）校正后系统的上升时间减少，调节时间减少，说明系统的快速性变好。
5频率法校正优缺点及适用条件
5.1频率法超前校正的优缺点及适用条件
5.1.1频率法超前校正的优缺点：
本方案采用超前校正来改善系统性能，从前面的分析设计中可以总结出其作用。
优点：
（1）在
附近使对数幅频特性斜率减小，增大系统相位裕度和增益裕度；
（2）截止频率增大，频带宽增加；
（3）由于稳定裕度增加，单位阶跃响应的超调量减小；
缺点：
（1）由于频带加宽，对高频干扰较敏感；
5.1.2频率法超前校正的适用条件：
适用范围：
（1）在靠近
处，随ω变化，相位滞后增加较缓慢的情况；
（2）要求有大的带宽和较快的动态响应的情况；
（3）高频干扰不是主要问题的情况；
不适用情况：
（1）在
附近，相位滞后随ω迅速增大的情况；
（2）相位超前要求过大；
（3）因高频干扰指标所限，不能增大高频增益的情况。
5.2频率法校正的其他情况
频率法校正通常可分为三种基本的校正方式：
串联校正、反馈校正和前馈校正。
串联校正是最常用的校正方式，按串联装置的特点来分，又分为串联超前（微分）校正、串联滞后（积分）校正和串联滞后-超前（积分-微分）校正。
本方案采用的超前校正，是用来提高系统的动态性能，而又不影响系统的稳态精度的一种校正方法。
它是在系统中加入一个相位超前的校正装置，使之在穿越频率处相位超前，以增加相位裕度，这样既能使开环增益足够大，又能提高系统的稳定性。
滞后校正是在系统动态品质满意的情况下，为了改善系统稳态性能的一种校正方法。
从这种方法的频率特性上看，是在低频段提高其增益，而在穿越频率附近，保持其相位移的大小几乎不变。
同时，如果稳态性能满足指标，而动态性能未满足要求，并希望降低频带宽度时，也可利用滞后校正来降低穿越频率。
超前校正会使带宽增加，加快系统的动态响应速度，滞后校正可改善系统的稳态特性，减少稳态误差。
如果需要同时改善系统的动态品质和稳态精度，则可采用串联滞后-超前校正。
总之，每种方法的应用要根据系统的具体情况而定。
5.3频率法校正的优缺点及适用条件
控制系统校正的方法有三种：
时域法、根轨迹法和频率法。
时域法的基本思
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