湍流的数值模拟.docx

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湍流的数值模拟

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2012年秋季学期研究生课程考核

（读书报告、研究报告）

考核科目

高等流体力学

学生所在院（系）

机电工程学院

学生所在学科

机械制造及自动化

学生姓名

高强

学号

12S008123

学生类别

工学硕士

考核结果

阅卷人

湍流的数值模拟

一、流体力学概述

流体力学是研究流体的力学运动规律及其应用的学科。

主要研究在各种力的作用下,流体本身的状态,以及流体和固体壁面、流体和流体间、流体与其他运动形态之间的相互作用的力学分支。

除水和空气之外，这里的流体还指作为汽轮机工作介质的水蒸气、润滑油、地下石油、含泥沙的江水、血液、超高压作用下的金属和燃烧后产生成分复杂的气体、高温条件下的等离子体等等。

它的主要基础是牛顿运动定律和质量守恒定律,常常还要用到热力学知识，有时还用到宏观电动力学的基本定律、本构方程和高等数学、物理学、化学的基础知识。

气象、水利的研究，船舶、飞行器、叶轮机械和核电站的设计及其运行，可燃气体或炸药的爆炸，汽车制造，以及天体物理的若干问题等等，都广泛地用到流体力学知识.许多现代科学技术所关心的问题既受流体力学的指导,同时也促进了它不断地发展。

二、数值计算在流体力学研究中的应用

数值计算是研究流体力学的重要方法。

它是针对流体运动的特点,用数学语言将质量守恒、动量守恒、能量守恒等定律表达出来，从而得到连续性方程、动量方程和能量方程。

此外，还要加上某些联系流动参量的关系式（例如状态方程）,或者其他方程。

这些方程合在一起称为流体力学基本方程组。

求出方程组的解后，结合具体流动，解释这些解的物理含义和流动机理。

通常还要将这些理论结果同实验结果进行比较，以确定所得解的准确程度和力学模型的适用范围.

从基本概念到基本方程的一系列定量研究，都涉及到很深的数学问题，所以流体力学的发展是以数学的发展为前提.反过来，那些经过了实验和工程实践考验过的流体力学理论，又检验和丰富了数学理论,它所提出的一些未解决的难题,也是进行数学研究、发展数学理论的好课题.按目前数学发展的水平看，有不少题目将是在今后几十年以内难于从纯数学角度完善解决的。

在流体力学理论中，用简化流体物理性质的方法建立特定的流体的理论模型，用减少自变量和减少未知函数等方法来简化数学问题，在一定的范围是成功的，并解决了许多实际问题。

对于一个特定领域,考虑具体的物理性质和运动的具体环境后，抓住主要因素忽略次要因素进行抽象化也同时是简化，建立特定的力学理论模型，便可以克服数学上的困难,进一步深入地研究流体的平衡和运动性质。

20世纪50年代开始,在设计携带人造卫星上天的火箭发动机时，配合实验所做的理论研究，正是依靠一维定常流的引入和简化，才能及时得到指导设计的流体力学结论。

此外。

流体力学中还经常用各种小扰动的简化，使微分方程和边界条件从非线性的变成线性的。

声学是流体力学中采用小扰动方法而取得重大成就的最早学科。

声学中的所谓小扰动，就是指声音在流体中传播时，流体的状态（压力、密度、流体质点速度）同声音未传到时的差别很小。

线性化水波理论、薄机翼理论等虽然由于简化而有些粗略，但都是比较好地采用了小扰动方法的例子.

每种合理的简化都有其力学成果，但也总有其局限性。

例如，忽略了密度的变化就不能讨论声音的传播；忽略了粘性就不能讨论与它有关的阻力和某些其他效应。

掌握合理的简化方法，正确解释简化后得出的规律或结论,全面并充分认识简化模型的适用范围，正确估计它带来的同实际的偏离，正是流体力学理论工作和实验工作的精华。

流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此,如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算.

20世纪30~40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题,曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算,比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。

数学的发展,计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了“计算流体力学”。

从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中,经常采用电子计算机做数值模拟,这可以和物理实验相辅相成。

数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快,并节省开支.数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。

随着计算机CPU速度的提高,硬盘及内存容量的持续增大,以及数值计算方法的不断完善,计算流体力学（CFD）已经成为民用飞机气动设计过程中的一个强有力的工具。

然而湍流模型仍然是阻碍人们应用N-S方程组进行飞机设计的瓶颈之一。

近20年来，人们对粘性流动进行了比较深入的研究,提出了许多湍流模型,具有代表性且应用较广的模型是:

代数B—L模型,半方程J—K模型,一方程Spalar—tAllmaras模型，以及两方程k-E和k—X模型等。

三、湍流

湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。

湍流中流体的各个物理参数,如速度、压力、温度等都随时间与空间发生随机变化。

从物理机理上说，可以把湍流看成是各种不同尺度的涡旋叠合而成的，这些涡的大小及旋转方向分布是随机的。

大尺度的涡旋主要由流动的边界条件所决定，其尺寸可与流场的大小相比拟，是引起低频脉动的原因；小尺度的涡主要是由粘性力所决定的，其尺寸可能只有流场尺度的千分之一，是引发高频脉动的原因。

大尺度的涡破裂后形成小尺度的涡，较小尺度的涡破裂后形成更小的涡。

大尺度的涡从主流获得能量，通过涡间的转化将能量传给小尺度的涡。

最后由于粘性的作用，小尺度的涡不断消失，机械能就转化（即耗散）为流体的热能。

同是，由于边界的作用,扰动及速度梯度的影响，新的涡又不断产生，这就构成了湍流运动。

可见，湍流的一个重要特点是物理量的脉动,非稳态的N—S方程对湍流运动仍是适用的。

湍流是自然界当中普遍存在的一种非常复杂的流动现象,但人们对湍流机理的认识及其数值模拟方法至今仍处于探索阶段。

包括已故诺贝尔奖获得者Feynman在内的好几位物理学家认为,湍流是经典物理学中尚未得到解决的最后一个大难题.人们用现代的理论和方法系统地研究湍流现象始于19世纪末,Reynolds提出统计平均方法是湍流研究的起点。

一个多世纪以来,尽管在湍流本质认识和实际应用方面，湍流研究都取得了很大的进步，但是随着计算流体力学及计算空气动力学方法的不断完善，计算机性能的不断提高,湍流的数值模拟方法已成为阻碍人们应用N—S方程进行水流运动特性分析、管道螺旋流水力输送研究［2］、飞机设计等的瓶颈之一.对湍流基础研究的进展,可以直接促进许多实际工程及科学应用的进步.

目前,湍流数值模拟的方法有：

直接数值模拟（DirectNumericalSimulation，DNS）、大涡数值模拟（LargeEddySimulation,LES）和雷诺平均模拟（ReynoldsAveragedNavier-Stokes,RANS）。

1、直接模拟（DNS）

直接数值模拟（DNS）特点在湍流尺度下的网格尺寸内不引入任何封闭模型的前提下对Navier-Stokes方程直接求解。

这种方法能对湍流流动中最小尺度涡进行求解，要对高度复杂的湍流运动进行直接的数值计算，必须采用很小的时间与空间步长，才能分辨出湍流中详细的空间结构及变化剧烈的时间特性。

基于这个原因,DNS目前仅限于相对低的雷诺数中湍流流动模型。

另外，利用DNS模型对湍流运动进行直接的数值模拟对计算工具有很高的要求，计算机的内存及计算速度要非常的高，目前DNS模型还无法应用于工程数值计算,还不能解决工程实际问题。

2、大涡模拟（LES）

大涡模拟（LES）是基于网格尺度封闭模型及对大尺度涡进行直接求解N-S方程，其网格尺度比湍流尺度大，可以模拟湍流发展过程的一些细节,但其计算量仍很大，也仅用于比较简单的剪切流运动及管流。

大涡模拟的基础是：

湍流的脉动与混合主要是由大尺度的涡造成的，大尺度涡是高度的非各向同性，而且随流动的情形而异。

大尺度的涡通过相互作用把能量传递给小尺度的涡，而小尺度的涡旋主要起到耗散能量的作用，几乎是各向同性的.这些对涡旋的认识基础就导致了大涡模拟方法的产生.Les大涡模拟采用非稳态的N-S方程直接模拟大尺度涡，但不计算小尺度涡，小涡对大涡的影响通过近似的模拟来考虑，这种影响称为亚格子Reynolds应力模型.大多数亚格子Reynolds模型都是将湍流脉动所造成的影响用一个湍流粘性系数，既粘涡性来描述。

LES对计算机的容量和CPU的要求虽然仍然很高,但是远远低于DNS方法对计算机的要求，因而近年来的研究与应用日趋广泛。

3、Reynolds平均法

许多流体力学的研究和数值模拟的结果表明,可用于工程上现实可行的湍流模拟方法仍然是基于求解Reynolds时均方程及关联量输运方程的湍流模拟方法，即湍流的统观模拟方法。

统观模拟方法的基本思想是用低阶关联量和平均流性质来模拟未知的高阶关联项，从而封闭平均方程组或关联项方程组。

虽然这种方法在湍流理论中是最简单的，但是对工程应用而言仍然是相当复杂的。

即便如此，在处理工程上的问题时，统观模拟方法仍然是最有效、最经济而且合理的方法.在统观模型中，使用时间最长，积累经验最丰富的是混合长度模型和K-E模型。

其中混合长度模型是最早期和最简单的湍流模型。

该模型是建立在层流粘性和湍流粘性的类比、平均运动与湍流的脉动的概念上的。

该模型的优点是简单直观、无须增加微分方程。

缺点是在模型中忽略了湍流的对流与扩散,对于复杂湍流流动混合长度难以确定。

到目前为止，工程中应用最广泛的是K—E模型.另外针对K—E模型的不足之处，许多学者通过对K—E模型的修正和发展，开始采用雷诺应力模型（DSM）和代数应力模型（ASM）。

近年来，DSM模型已用来预报燃烧室及炉内的强旋及浮力流动。

很多情况下能够给出优于K—E模型的结果。

但是该模型也有不足之处，首先它对工程预报来说太复杂，其次经验系数太多难以确定，此外，对压力应变项的模拟还有争议。

更主要的是，尽管这一模型考虑了各种应变效应，但是其总精度并不总是高于其它模型,这些缺点导致了DSM模型没有得到广泛的应用。

总之，虽然从本质上讲DSM模型和ASM模型比K-E模型对湍流流场的模拟更加合理,但DSM和ASM中仍然采用精度不高的E方程，模型中常数的通用性还没有得到广泛的验证,边界条件不好给定，计算也比较复杂.正因为如此，目前用计算解决湍流问题时仍然采用比较成熟的K-E模型.

Reynolds平均法的分类

在这类方程中,将非稳态N—S方程对时间作平均，即把湍流运动看成二个流动的叠加,一是时间平均流动，二是瞬时脉动流动。

于是在所得的时均的N—S方程中包含了脉动量乘积的时均值等未知量,称为Reynolds应力,它包括了六个未知量.显然方程的个数小于未知量的个数.要让方程封闭，必须作出假设。

按照假设的不同，Reynolds平均法又可以分为Reynolds应力模型及涡粘模型（湍流粘性系数法）。

1）涡粘模型（湍流粘性系数法）

涡粘模型（湍流粘性系数法）基于Boussinesq假设，它将湍流脉动所造成的附加应力（Reynolds应力）同层流运动应力那样与时均的应变率关联起来，这一假设并无物理基础，且采用各向同性的湍流动力粘度来计算湍流应力，难于考虑旋转流动和表面曲率变化的影响，但以此为基础的湍流模型目前在工程计算却应用最为广泛。

2）Reynolds应力模型

Reynolds应力模型不引入Boussinesq假设，而是试图直接求解Reynolds应力。

对此再引入偏微分方程,在建立二个脉动值乘积的时均值方程的过程中，又会引入三个脉动值乘积的时均值,为了封闭，又必须建立微分方程，在建立三个脉动值乘积的时均值方程的过程中，又会引入四个脉动值乘积的时均值，这在理论上是一个不封闭的困难。

该模型在四个脉动值乘积这一层次上,加了一个涡量脉动平方平均值的方程式，从而使Reynolds应力方程封闭。

这是一个17方程模型，因而对计算机的要求较高,但它克服了涡粘模型的一些缺点，可能是目前最有发展前途的湍流模型。

出于计算量的考虑，将Reynolds应力及热力密度用代数方程而不是微分方程来求解，从而大大减轻了计算量，这就是代数应力模型（ASM）。

四、湍流的数值模拟方法总结。

1、湍流粘性系数法

在湍流粘性系数法是基于Boussinesq假设的，它建立了Reynolds应力相对于平均速度梯度的关系。

在引入Boussinesq假设后，关键问题在于计算湍动粘度。

所谓的粘涡模型，就是把湍动粘度与湍流时均参数联系起来的关系式.依据确定湍动粘度的微分方程数目的多少，涡粘就分为零方程、一方程和双方程模型。

零方程模型，是指不需要微分方程而是用代数关系式把湍流粘性系数与时均值联系起来的模型。

多数是基于混合长度理论的。

。

在混合长度理论中，湍流粘性系数仅与时均速度场有关，而与湍流的特性参数无关，一方程模型改进了这一缺点。

它引入了湍流脉动动能的平方根，作为湍流脉动速度的代表.

在一方程模型中，湍流长度标尺是由经验公式给出的，其实它也应是一个变量，通过微分方程计算。

为此，再引入一个耗散率的概念,表示各向同性的小尺度涡的机械能转化为热能的速率。

为计算的封闭性，再引入耗散率的控制方程。

这就是k-e二方程模型。

标准的k—e二方程模型假定湍流粘性系数是各向同性的，当它用于强旋流、弯曲壁面或弯曲流线流动时，会产生一定的失真。

为此,不少学者提出了对标准k—e模型的修正方案，在Fluent中有RNGk-e模型和Realizablek-e模型.

标准的k—e模型能很好的模拟一般的湍流,RNGk-e模型用于处理高应变率及流线弯曲程度较大的流动，Realizablek-e模型在含有射流和混合流的自由流动、管道内流动、边界层流动以及带有分离的流动时具有优势。

在Fluent中，二方程模型还使用了k—w模型.

必须指出的是，以上模型均是针对湍流发展非常充分的湍流流动来建立的，是针对高Re数的湍流计算模型，适用于离开壁面一定距离的湍流区域。

这里的Re数是以湍流脉动动能的平方根作为速度（又称湍流Re数）计算的。

而在Re数比较低的区域，湍流发展不充分，湍流的脉动影响可能不如分子粘性大，在贴近壁面的底层内，流动可能处于层流状态。

这时，必须采用特殊的处理，一般有二种解决方法，一种是采用壁面函数法，另一种是采用低Re数的k-e模型。

2、近壁区的处理策略

壁面函数法的基本思想是:

对于湍流核心区的流动使用k—e模型求解,而在壁面区不进行求解，直接使用半经验公式将壁面上的物理量与湍流核心区内的求解变量联系起来。

它需要把第一个节点布置在对数律层，对第一个节点的值由公式确定.这样,不需要对壁面内的流动进行求解，可直接得到与壁面相邻控制体积的节点变量.各种改进的壁面函数法越来越准确的模拟壁面的相关特性.

为了使k—e模型能够计算到壁面,出现了各种低Re数的k-e模型,它实际上是对k—e模型的控制方程的各个项作出相应的修改，以体现壁面附近流动的各种真实特征.比如：

控制方程中的扩散项包括湍流扩散和分子扩散二部分，k控制方程中壁面的脉动动能的耗散是各向异性等影响。

3、Reynolds应力模型（RSM和ASM）

上述的二方程模型都假定湍流粘性系数是各向同性的，这些模型难于反映旋转流动及流动方向表面曲率变化的影响，有必要对湍流脉动应力及湍流热密度直接建立微分方程求解.在此模型中,对二个脉动值乘积的时均值方程直接求解，而对三个脉动值乘积的时均值，采用模拟方式计算，不少研究者认为这是目前最有发展前途的湍流模型，这就是Reynolds应力方程模型（RSM）。

为了减轻RSM的计算工作量,将Reynolds应力和热力密度用代数方程式而不是用微分方程来求解，用代数方程去近似的模拟微分方程,这就是代数应力方程模型（ASM）。

对于湍流的计算，初场的选择要合适，初始的k-e分布假定如不合适，会形成一个不合理的场，容易引起迭代发散;为避免由于低阶格式的假扩散误差加剧湍流计算结果的不准确性，建议采用二阶及二阶以上的格式。

结语

本文阐述并分析了三种湍流数值模拟方法的基本思想及其应用特点,从中能够看出：

1、直接数值模拟（DNS）

仅仅能计算中低Re数且几何边界简单的湍流流动，只能做一些探索性工作，如检验与改进湍流模型等。

目前,从基础理论出发有可能探索出新的高精度的湍流计算途径，形成适用于湍流各种复杂流场的方法。

2、大涡数值模拟（LES）

在模型构造方法的原理上优于湍流时均方法,但其理论还处于研究和发展阶段,至今主要应用在气象和环境科学领域.由于计算机资源不足及亚格子应力模型的不完善,其在工程问题中的应用还较少，还不能作为工程设计的工具。

当前，湍流大涡数值模拟需要解决的课题是亚格子模式的改进和复杂几何边界近壁模型的建立。

3、Reynolds平均法

湍流模型多种多样，没有一个模式能够对所有湍流运动给出满意的预测结果。

模拟计算时应根据不同的湍流流动类型选用不同的模型.所有模型采用的都是湍流统计理论，因此无法绕过方程组不封闭的困难。

随着湍流理论其他研究方法的出现，总体上其重要性相对呈下降趋势，但雷诺应力模型（RSM）仍然是一种颇有应用前途的模型,为提高模型精度,今后必须探索其所使用的方程的改进方法。

参考文献

（1）李家春现代流体力学发展的回顾与展望力学进展,1995。

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（2）路明等湍流数值模拟方法及其特点分析河北建筑科技学院学报，2006.6

（3）肖志祥等湍流模型在复杂流场数值模拟中的应用计算物理,2003.7

（4）梁政等论水力旋流器流场数值模拟中湍流模型的选择天然气工业，2007。

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