春季初二数学下学期新思维中心对称图形培优专题三学生版.docx

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春季初二数学下学期新思维中心对称图形培优专题三学生版

2018年春季初二数学新思维中心对称图形专题培优（三）学生版

【知识梳理】

1、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，

①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等

②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边

③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰

5、有关线段中点的其他定理还有：

①直角三角形斜边中线等于斜边的一半

②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合

③对角线互相平分的四边形是平行四边形

④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等

因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

【例1】如图，在△ABC，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10cm，求MD的长．

提示：

∠B=2∠C构造

【例2】如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．

（1）四边形EFGH是平行四边形吗，为什么？

（2）若使四边形ABCD对角线相等，那么四边形EFGH为菱形吗？

（3）当四边形EFGH为矩形，正方形时，那么四边形ABCD各应满足什么条件？

（4）请补上你所认为四边形ABCD应满足的条件，证明四边形EFGH为矩形．

【例3】

（1）已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD．E、F分别是AC、BD的中点．

求证：

EF=

（AB﹣CD）．

（2）如图，在四边形ABCD中，AB＞CD，E、F分别是对角线BD、AC的中点，求证：

EF＞

（AB﹣CD）．

（3）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，判断AD+BC与AB+CD的大小关系：

AD+BC　　AB+CD．

【例4】

（1）如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=（　　）

A．40B．48C．50D．56

（2）已知梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE：

EG：

GB=1：

2：

3，AD=3，BC=9，则EF+GH=（　　）

A．7B．8C．9D．10

【例5】（2015秋•永春县期末）阅读材料：

我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．如图1，D、E分别是BC、AC的中点，则DE∥AB，DE=

AB．

（1）如图1，D、E分别是BC、AC的中点，若AB=10，则DE=　　；

（2）如图2，AD，BE是△ABC的中线，AD⊥BE，垂足为F，设BC=a，AC=b，AB=c，求证：

a2+b2=5c2．

（3）如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、CD、AF的中点，BE⊥EG，且BE过点H，已知BC=6，AB=4，求AF的长．

1、（2002•无锡）已知：

四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　）

A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．

＜MN＜

D．

＜MN≤

2、（2014春•汉阳区期末）如图，四边形ABCD中，AD＞BC，E，F分别是AB，CD的中点，AD，BC的延长线分别与EF的延长线交于H，G，则（　　）

A．∠AHE＞∠BGEB．∠AHE=∠BGEC．∠AHE＜∠BGED．∠AHE与∠BGE的大小关系不确定

3、（2010秋•大邑县期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AH=HC，DG=GB，GH交两腰于E、F．则下列结论：

（1）AE=EB，DF=FC．

（2）AD∥EF∥BC．（3）EH=GF=

BC，EG=HF=

AD．（4）GH=

（BC﹣AD）．

其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4、如图，在△ABC中，BC=4，BC边上的中线AD=2，AB+AC=3+

，则S△ABC等于（　　）

A．

B．

C．

D．

5、（2007•南阳校级自主招生）在平面内有线段AB和直线l，点A、B到直线l的距离分别是4cm、6cm．则线段AB的中点C到直线l的距离是（　　）

A．1或5B．3或5C．4D．5

6、（2006•孝感）如图，矩形ABCD沿DF折叠后，点C落在AB边上的点E处，DE、DF三等分∠ADC，若AB=6

，则梯形ABFD的中位线的长为　　．

7、（2017秋•南岗区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，BN的长为　　．

8、（2011•丰台区一模）已知在△ABC中，BC=a．如图1，点B1、C1分别是AB、AC的中点，则线段B1C1的长是　　；如图2，点B1、B2，C1、C2分别是AB、AC的三等分点，则线段B1C1+B2C2的值是　　；如图3，点B1、B2、…、Bn，C1、C2、…、Cn分别是AB、AC的（n+1）等分点，则线段B1C1+B2C2+…+BnCn的值是　　．

9、（2017•浦东新区二模）如果一个三角形一边上的中线的长与另两边中点的连线段的长相等，我们称这个三角形为“等线三角形”，这条边称为“等线边”．在等线三角形ABC中，AB为等线边，且AB=3，AC=2，那么BC=　　．

10、（2013•碑林区校级一模）如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是　　．

11、如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD，求证：

CD=2EC．

12、（2014春•张家港市校级期末）如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．

（1）求∠FGH度数；

（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长．

13、如图，任意五边形ABCDE，M、N、P、Q分别为AB、CD、BC、DE的中点，K、L分别为MN、PQ的中点，

求证：

KL∥AE且KL=

AE．

14、（2017春•洪山区期中）如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC

（1）若点E为BC的中点，求证：

F点为DC的中点；

（2）若点E为BC的中点，PE=6，PC=4

，求PF的长；

（3）若正方形边长为4，直接写出PC的最小值　　．

15、（2013•庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：

MB=MC．

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．

（3）在

（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则

（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？

说明理由．