春季初二数学下学期新思维中心对称图形培优专题三学生版.docx
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春季初二数学下学期新思维中心对称图形培优专题三学生版
2018年春季初二数学新思维中心对称图形专题培优(三)学生版
【知识梳理】
1、三角形中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
2、中位线性质定理的结论,兼有位置和大小关系,可以用它判定平行,计算线段的长度,确定线段的和、差、倍关系。
3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点,找到三角形或梯形,包括作出辅助线。
4、中位线性质定理,常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论,
①一组平行线在一直线上截得相等线段,在其他直线上截得的线段也相等
②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线,必平分第三边
③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线,必平分另一腰
5、有关线段中点的其他定理还有:
①直角三角形斜边中线等于斜边的一半
②等腰三角形底边中线和底上的高,顶角平分线互相重合
③对角线互相平分的四边形是平行四边形
④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等
因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
【例1】如图,在△ABC,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点,AB=10cm,求MD的长.
提示:
∠B=2∠C构造
【例2】如图所示,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点.
(1)四边形EFGH是平行四边形吗,为什么?
(2)若使四边形ABCD对角线相等,那么四边形EFGH为菱形吗?
(3)当四边形EFGH为矩形,正方形时,那么四边形ABCD各应满足什么条件?
(4)请补上你所认为四边形ABCD应满足的条件,证明四边形EFGH为矩形.
【例3】
(1)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB>CD.E、F分别是AC、BD的中点.
求证:
EF=
(AB﹣CD).
(2)如图,在四边形ABCD中,AB>CD,E、F分别是对角线BD、AC的中点,求证:
EF>
(AB﹣CD).
(3)已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,判断AD+BC与AB+CD的大小关系:
AD+BC AB+CD.
【例4】
(1)如图,在梯形ABCD中,AD∥EF∥GH∥BC,AE=EG=GB=AD=18,BC=32,则EF+GH=( )
A.40B.48C.50D.56
(2)已知梯形ABCD中,AD∥EF∥GH∥BC,AE:
EG:
GB=1:
2:
3,AD=3,BC=9,则EF+GH=( )
A.7B.8C.9D.10
【例5】(2015秋•永春县期末)阅读材料:
我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.如图1,D、E分别是BC、AC的中点,则DE∥AB,DE=
AB.
(1)如图1,D、E分别是BC、AC的中点,若AB=10,则DE= ;
(2)如图2,AD,BE是△ABC的中线,AD⊥BE,垂足为F,设BC=a,AC=b,AB=c,求证:
a2+b2=5c2.
(3)如图3,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是AD、BC、CD、AF的中点,BE⊥EG,且BE过点H,已知BC=6,AB=4,求AF的长.
1、(2002•无锡)已知:
四边形ABCD中,AB=2,CD=3,M、N分别是AD,BC的中点,则线段MN的取值范围是( )
A.1<MN<5B.1<MN≤5C.
<MN<
D.
<MN≤
2、(2014春•汉阳区期末)如图,四边形ABCD中,AD>BC,E,F分别是AB,CD的中点,AD,BC的延长线分别与EF的延长线交于H,G,则( )
A.∠AHE>∠BGEB.∠AHE=∠BGEC.∠AHE<∠BGED.∠AHE与∠BGE的大小关系不确定
3、(2010秋•大邑县期中)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AH=HC,DG=GB,GH交两腰于E、F.则下列结论:
(1)AE=EB,DF=FC.
(2)AD∥EF∥BC.(3)EH=GF=
BC,EG=HF=
AD.(4)GH=
(BC﹣AD).
其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
4、如图,在△ABC中,BC=4,BC边上的中线AD=2,AB+AC=3+
,则S△ABC等于( )
A.
B.
C.
D.
5、(2007•南阳校级自主招生)在平面内有线段AB和直线l,点A、B到直线l的距离分别是4cm、6cm.则线段AB的中点C到直线l的距离是( )
A.1或5B.3或5C.4D.5
6、(2006•孝感)如图,矩形ABCD沿DF折叠后,点C落在AB边上的点E处,DE、DF三等分∠ADC,若AB=6
,则梯形ABFD的中位线的长为 .
7、(2017秋•南岗区校级月考)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,BN的长为 .
8、(2011•丰台区一模)已知在△ABC中,BC=a.如图1,点B1、C1分别是AB、AC的中点,则线段B1C1的长是 ;如图2,点B1、B2,C1、C2分别是AB、AC的三等分点,则线段B1C1+B2C2的值是 ;如图3,点B1、B2、…、Bn,C1、C2、…、Cn分别是AB、AC的(n+1)等分点,则线段B1C1+B2C2+…+BnCn的值是 .
9、(2017•浦东新区二模)如果一个三角形一边上的中线的长与另两边中点的连线段的长相等,我们称这个三角形为“等线三角形”,这条边称为“等线边”.在等线三角形ABC中,AB为等线边,且AB=3,AC=2,那么BC= .
10、(2013•碑林区校级一模)如图,已知AB=10,P是线段AB上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB,连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,则点G移动路径的长是 .
11、如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB中点,连接CE、CD,求证:
CD=2EC.
12、(2014春•张家港市校级期末)如图,点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点,连接BE,已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点.
(1)求∠FGH度数;
(2)连CD,取CD中点M,连接GM,若BD=8,CE=6,求GM的长.
13、如图,任意五边形ABCDE,M、N、P、Q分别为AB、CD、BC、DE的中点,K、L分别为MN、PQ的中点,
求证:
KL∥AE且KL=
AE.
14、(2017春•洪山区期中)如图,正方形ABCD中,点E为边BC的上一动点,作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点,连PC
(1)若点E为BC的中点,求证:
F点为DC的中点;
(2)若点E为BC的中点,PE=6,PC=4
,求PF的长;
(3)若正方形边长为4,直接写出PC的最小值 .
15、(2013•庐阳区校级模拟)如图,将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起(图1).△ABD不动,
(1)若将△ACE绕点A逆时针旋转,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC(图2),证明:
MB=MC.
(2)若将图1中的CE向上平移,∠CAE不变,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC(图3),判断并直接写出MB、MC的数量关系.
(3)在
(2)中,若∠CAE的大小改变(图4),其他条件不变,则
(2)中的MB、MC的数量关系还成立吗?
说明理由.