9年级数学上册第一单元新Word格式.docx

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学期教学进度计划

周次

课题或单元、章节（内容）

课时数

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

期中测试

11

12

13

14

15

16

17

期末复习

18

19

20

单元（章节）教学计划

单元

（章节）

教学目标

重难点

1.了解一元二次方程及有关概念；

2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；

3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；

4.应用熟练掌握以上知识解决问题 

重点:

用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;

利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决问题

难点:

建立一元二次方程实际问题的数学模型；

方程解与实际问题解的区别

课时教（导）学案

主备人

邢潇月

审查人（学科组长）

李燮

课题（内容）

12.1一元二次方程

第1课时

课型

新课

三维目标

知识能力：

1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准

2.掌握一元二次方程的一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式

3.理解根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根

过程方法：

经历观察，归纳一元二次方程的概念及其一般形式，一元二次方程的根的概念，

情感态度：

通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。

重难点

重点：

一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念

难点：

通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

教（学）法

启发、课堂讨论法

媒体使用

教（导）学过程

（主备人：

一次备案）

集体备课或自主备课

一、谈话引入：

初中一二年级学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。

从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.

二、探究新知

（一）自学指导（学生提前预习教材中问题一、二）

问题1：

分析：

设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为__（100－2x）cm__，宽为__（50－2x）cm__．列方程__（100－2x）·

（50－2x）＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__①

问题2:

全部比赛的场数为__4×

7＝28__

设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__（x－1）__个队各赛1场，所以全部比赛共

x（x-1）场．列方程

x（x-1）=28，化简整理，得__x2－x－56＝0_②

探究：

（1）方程①②中未知数的个数各是多少？

__1个__．

（2）它们最高次数分别是几次？

__2次__．

归纳总结：

方程①②的共同特点是：

这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数（一元），并且未知数的最高次数是__2__的方程．

（二）知识点讲解

1．一元二次方程的定义

等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数（一元），并且未知数的最高次数是__2__（二次）的方程，叫做一元二次方程．

跟踪训练：

判断下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x3－2x2＋5＝0；

（2）x2＝1；

（3）ax2+bx+c=0;

（4）3x2-

=0

点拨精讲：

有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．

2．一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．

二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．

3.一元二次方程的根的概念

a.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念

b.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

c.思考：

一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？

e.排球邀请赛问题中，所列方程

的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？

归纳：

1.一元二次方程的根的情况

2.一元二次方程的解要满足实际问题

（三）、例题：

将方程3x（x－1）＝5（x＋2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

解：

去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.

将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

三、跟踪练习：

1．判断下列方程是否为一元二次方程．

（1）1－x2＝0;

（2）2（x2－1）＝3y；

（3）2x2－3x－1＝0;

（4）

－

＝0；

（5）（x＋3）2＝（x－3）2;

（6）9x2＝5－4x.

2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．

3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.

四、课堂小结

1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），特别强调a≠0.

3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．

板书设计

教学反思

作业批改及辅导记录

21.2.1配方法

根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．

通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法

通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情

运用开平方法解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程；

领会降次——转化的数学思想

通过根据平方根的意义解形如x2＝n（n≥0）的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程

启发、合作讨论法

在第一节我们已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首先学习直接开平方法。

（板书课题）

（一）、自学指导（学生预习课本问题1）

设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：

__10×

6x2＝1500__，

由此可得__x2＝25__，

根据平方根的意义，得x＝__±

5__，

即x1＝__5__，x2＝__－5__．

可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.

（二）师生合作例题：

对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程（2x－1）2＝5和x2＋6x＋9＝4?

（教师将例题板书在黑板上）

方程（2x－1）2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±

__，即将方程变为__2x－1＝

和__2x－1＝－

__两个一元一次方程，从而得到方程（2x－1）2＝5的两个解为x1＝

，x2＝

．

在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．

方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成（x＋__3__）2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±

2__，方程的根为x1＝__－1__，x2＝__－5__.

在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p（p≥0）或（mx＋n）2＝p（p≥0）的形式，那么可得x＝±

或mx＋n＝±

.

三、课堂训练

1.解下列方程：

（1）2y2＝8；

（2）2（x－8）2＝50；

（3）（2x－1）2＋4＝0;

（4）y2＋2y＋1＝24；

（5）9n2－24n＋16＝11.

教师提醒：

运用开平方法解形如（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程时，最容易出错的是漏掉负根．

2．已知关于x的方程x2＋（a2＋1）x－3＝0的一个根是1，求a的值．

四、课堂小结：

学生总结本堂课的收获与困惑．

1．用直接开平方法解一元二次方程．

2．理解“降次”思想．

3．理解x2＝p（p≥0）或（mx＋n）2＝p（p≥0）中，为什么p≥0?

21.2.1配方法

第2课时

1.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤

2．会用配方法解数字系数的一元二次方程

通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识.

1.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神．

2.感受数学的严谨性和数学结论的确定性.

掌握配方法解一元二次方程

把一元二次方程转化为形如（x－a）2＝b的过程

启发法

（学科教师：

二次备案）

一、复习旧知

1．填空：

（1）x2－8x＋__16__＝（x－__4__）2；

（2）9x2＋12x＋__4__＝（3x＋__2__）2；

2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±

12__．

二、探究新知：

（一）、自学指导（学生自学课本p6探究部分）

怎样解方程x2＋6x+4＝0?

对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；

而方程x2＋6x+4＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？

移项，得x2＋6x＝-4

两边都加上__9__，使左边配成x2＋bx＋（

）2的形式，得

__x2__＋6__x__＋9＝-4＋__9__，

左边写成平方形式，得

__（x＋3）2＝5_，

开平方，得

__x＋3＝±

，　　（降次）

即__x＋3＝_

或__x＋3＝－

，

解一次方程，得出结论．

通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；

配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．

（二）例题讲解

解下列方程：

（1）x2-8x+1=0；

（2）2x2+1=3x

（3）3x2-6x＋4＝0.

利用配方法解方程时应该遵循的步骤：

.把常数项移到方程右边；

.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；

.方程两边都加上一次项系数一半的平方；

.原方程变形为（x+m）2=n的形式；

.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

（三）、拓展：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝8m，CB＝6m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？

设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．

三、课堂练习：

1．用配方法解下列关于x的方程：

（1）2x2－4x－8＝0；

（2）x2－4x＋2＝0；

（3）x2－

x－1＝0;

（4）2x2＋2＝5.

2．如果x2－4x＋y2＋6y＋

＋13＝0，求（xy）z的值．

由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋

＝0，即（x－2）2＋（y＋3）2＋

＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.

∴（xy）z＝[2×

（－3）]－2＝

1．用配方法解一元二次方程的步骤．

2．用配方法解一元二次方程的注意事项．

21.2.2公式法

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.

2.知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.

3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程

经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；

提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.

求根公式的推导和公式法的应用

一元二次方程求根公式的推导

一、复习旧知：

用配方法解方程：

（1）x2＋3x＋2＝0；

（2）2x2－3x＋5＝0.

（一）师生合作探究

问题：

如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？

因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根由方程的系数a，b，c而定，因此：

（1）一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac。

当Δ＞0时，有两个不等实根；

Δ=0时有两个相等实根；

Δ<

0时无实根.

（2）x＝

叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式．

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

随堂练习：

方程x2－4x＋4＝0的根的情况是（　B　）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．有一个实数根

D．没有实数根

（二）、例题讲解：

用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？

（1）x2－4x-7＝0；

（2）2x2－2

x＋1＝0；

（3）5x2-3x=x＋1.

Δ＞0时，有两个不相等的实数根；

Δ＝0时，有两个相等的实数根；

Δ＜0时，没有实数根．

（三）、拓展

1.当m为何值时，方程（m＋1）x2－（2m－3）x＋m＋1＝0，

（1）有两个不相等的实数根？

（2）有两个相等的实数根？

（3）没有实数根？

2.已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：

x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.

证明：

∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，

∴4－4（1－m）＜0，∴m＜0.

对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，

Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，

∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．

1．利用判别式判定下列方程的根的情况：

（1）2x2－3x－

＝0;

（2）16x2－24x＋9＝0；

（3）x2－4

x＋9＝0;

（4）3x2＋10x＝2x2＋8x.

2．用公式法解下列方程：

（1）x2＋x－12＝0;

（2）x2－

x－

（3）x2＋4x＋8＝2x＋11;

　（4）x（x－4）＝2－8x；

（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；

（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x＝

（b2－4ac≥0）中，可求得方程的两个根；

（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．

1.求根公式的推导过程．

2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：

先确定a，b，c的值，再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解．

3.用判别式判定一元二次方程根的情况．

21.2.3因式分解法

1.了解因式分解法的概念

2.会用提公因式法和运用乘法公式解方程

经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力

积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验。

用因式分解法解一元二次方程

理解因式分解法解一元二次方程的基本思想

将下列各题因式分解：

（1）am＋bm＋cm＝（__a＋b＋c__）m；

（2）a2－b2＝__（a＋b）（a－b）__；

（3）a2±

2ab＋b2＝__（a±

b）2__．

（一）、自学指导（学生自学教材p12-p13内容）

设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0，　　①

思考：

除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？

方程①的右边为0，左边可以因式分解得：

x（10－4.9x）＝0，

于是得x＝0或10－4.9x＝0，　　②

∴x1＝__0__，x2≈2.04．

上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.

（1）对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

（2）如果a·

b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．

（二）、例题讲解：

（1）x（x-2）+x-2=0；

（2）5x2-2x-

=x2-2x+

注意本例中的方程可以试用多种方法．

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

（1）将方程右边化为__0__；

（2）将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；

（3）令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解

1．用因式分解法解下列方程：

（1）x2＋x＝0;

（2）x2－2

x＝0；

（3）3x2－6x＝－3;

（4）4x2－121＝0；

（5）（x－4）2＝（5－2x）2.

2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．

1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．

2．正确的因式分解是解题的关键．

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系

2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题

学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明

培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神

一元二次方程的根与系数的关系及运用

对根与系数关系的理解和推导

一、探究新知

（一）、合作学习：

利用求根公式推导根与系数的关系．（韦达定理）

ax2＋bx＋c＝0的两根x