高中数学同初中数学相比无论在知识的深度广度和难度.docx
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高中数学同初中数学相比无论在知识的深度广度和难度
经历了四年新课程理念的洗礼，相信大家在接受新课程改革的同时，心里也会囤积太多的迷茫与纠结。
这些困惑有来自于学生的也有来自于教材和教学过程的。
学生的欠缺表现在：
1、学生原有的知识建构不完善，尤其是对初中学过的概念、公式、定理等不记得或不理解。
2、学生的思维能力达不到教学内容的要求。
因为知识建构不完善，就没有或者说逻辑推理能力不健全，是非观薄弱，更别谈理性思维。
3、统一标准施教，学生的合作交流大多流于形式，出现学习的严重分化。
4、“懂而不会”问题难以解决。
当然教材带给我们的冲击更大：
1、新课程标准中初、高中知识衔接上存在脱节现象。
如因式分解，根式化简不达标，立方和差公式省略等等。
很多到达高中后要用的应用知识要求较低或被删减。
2、课程结构变化太大，知识的编排顺序不合理。
例如，各类不等式的解法还没有讲解，直接就进入集合的运算，函数的定义域，值域的求法；必修二中直线的倾斜角、斜率概念出现在三角函数知识之前等等。
3、知识的删减造成对传统内容教学的冲击，新增内容也给我们带来困惑。
这些主要来自于高考的评价方式变化不可预测及传统内容对现有课标内容的作用在高考中的影响未知等等。
4、课时安排不合理，与其他学科的协调没做好。
在教学环节上的问题也很麻烦：
1、三维教学目标被孤立。
双基目标落实不到位，过程、方法目标出现了游离现象，情感、态度、价值目标出现了“贴标签”现象。
2、课程资源开发导致教学内容泛化。
教材地位被弱化，为情景而设置情景，联系实际变成了装饰，搜集和处理信息形式化。
3、教师角色转换失衡，导致过度强调学生的主体见解、知识建构，忽视教师的掌控方向，出现知识理解的偏差，推理就不遵循规律。
4、教学设计埋没于数学课的模式，忽视数学的本质教学，淡化知识建构与知识应用的评价环节，即教学设计的四个角：
数学学科特点，教材的角度，学生原有知识经验，高考的角度（评价环节）。
针对以上问题、困惑的思考及对策建议：
一、从传统的大纲体系中走出来，建立新的课标体系。
首先，应重新构建新的知识网络体系。
对于新增内容的建构，还有分布在各个模块的传统内容的重新建构。
其次，从教材结构来讲，根据教学需要，可开设“思考”、“观察”、“探究”等栏目，这些问题的设置，使学生明确学习目标，有助于教学重难点的突破，使学生自己亲身经历知识的产生过程，培养学生发现问题、解决问题的能力；培养学生的类比猜想和知识迁移的能力；培养学生思维的深刻性、广阔性、严谨性和批判性等，这也是高考考查方向。
例如，2012年新课标卷第1题已知集合A=
，
B=
则B中所含元素的个数为
A、3B、6C、8D、10
分析：
显然要从集合A中选取两个不能重复使用的数，而且只能用大的数减去小的数，用知识迁移的
=10。
再有，教材在一些例题或习题中安排了传统知识，加深难度，更能体现知识的探究性，应该鼓励好的学生去探究证明应用，发掘隐形课堂，揭示数学本质，而这也是高考考查方向。
如：
2012年高考数学新课标卷第12题
12、
A、1-ln2B、
C、1+ln2D、
这道题从指数式与对数式的互化，函数定义等角度理解不为超出课标要求，但从互为反函数性质的课标要求就高于课标，有些学生上过辅导班或在课堂上接受过这部分知识，那他就知道利用互为反函数的图像特征分析问题，即数形结合然后利用求导解决问题了。
所以这道题的得分率偏低。
二、重新进行例题的筛选、编制一题多解或一题多变及习题的搭配。
习题的搭配上现有资料都不太符合要求，普遍问题在于：
整体要求偏高，基础性体现不够；题量分布不均，题型不全面；与初中数学缺乏有机的兼顾和联系；能力层次结构不够清晰等。
三、重新进行教学目标及重难点的定位，认真做好每一节课的教学设计。
关于教学设计我想说的是，教学设计有五个环节：
教学任务分析→教学重点、难点→教学基本流程→教学情景设计→几点说明。
大多数公开课在前四个环节是很优秀的，往往忽略或淡化了说明中的评价环节，就是说教学设计中教师还要设计出你是如何评价这节课的高效性，就是让探究者口述或用笔展示探究的成果，更能在搭配的习题中体现你这节课的高效性。
四、重新制定三年教学计划方案。
每学期的计划方案，每章节内容的计划方案。
写这一计划前应考虑以下几个问题：
①与初中教材的衔接问题；②几个教材模块顺序的选择；③内容的适度调整与安排；④内容的适度补充等。
五、认真思考传统教学与新课程理念的有机融合点。
教学改革不是全盘否定传统教学，从新课程理念出发，把传统教学的优点找出来，有机的融汇于新课程理念教学中，做到该探究的探究，把探究落到实处，该讲授的内容大胆的讲授，不要把问题极端化。
当然，在以往教学中发现有些问题是不适合探究的。
1、着重体现程序性的知识，应用尽量少的时间让学生学会就是。
如：
指数的运算的几个问题。
2、大多教学生一看便知的较容易的内容去探究，没意义。
3、对某事物进行有意义的探究活动，必须有一定的基础知识和技能的积累，在积累之初的学习，采用效率较高的接受性学习方式为好。
一、高中数学同初中数学相比，无论在知识的深度广度和难度，还是思维能力上的要求，都有较大的跨越。
进入高中教学不要急于教授新知识，注意新旧知识的衔接，初、高中数学知识学习的发展联系。
我的做法如下：
1、从知识的发展角度上介绍高中数学知识与初中知识的联系，如：
数的发展史：
自然数→正数→有理数+无理数（实数＝小数）→复数（高中）；最大的知识模块：
函数，有初中学的一次函数、二次函数、反比例函数。
进入高中还要学习指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等这些都称为基本初等函数，在此基础上研究复合函数、抽象函数等；又如初中学的平面几何的三角形、圆的知识，我们到选修4-1要学，但必修2及选修2-1我们要学习立体几何，而且平面几何中的直线，圆的问题我们又可以化为代数知识去研究，这就是平面解析几何了。
当然在此基础上我们进一步研究椭圆、双曲线、抛物线、平面解析几何知识；还有概率、统计知识在高中也要作为一个模块系统研究。
角度由锐角，钝角等发展到任意角，引入三角函数的定义、图像与性质，解直角三角形发展成解三角形等等。
这些只是让学生知道知识的横向发展。
2、了解高中数学学科特点
2.1.数学语言的突变
高中数学中的概念大多是以三种语言出现的：
自然语言、符号语言、图形语言，我们讲课时多用自然语言讲述的，而我们学生解答问题是以符号语言加逻辑语言推出的，图形语言是在帮助我们分析问题上更有直观明了的作用，再有数学语言更有了抽象性，都会给学生带来“数学难”的印象；
2.2知识内容的整体数量增加；
2.3学习方法、习惯的养成。
2.3.1知识网络积累
关注每章节的目录，形成知识框图，更好的是帮学生产生思维导图。
章节内知识的横向联系及章与章之间知识的纵向联系，这就积累知识的交汇点，使新知识融汇于原有知识结构之中。
2.3.2学好基础知识，基本技能，常用的数学思想，数学方法，基本逻辑方法，思维策略，掌握程序性知识是学好数学必不可少的。
揭示知识的内在联系，强调思维方式的理性化。
2.3.3增强学习的积极性与主动性，主动探索知识，重视自身体验与领悟的过程，多独立思考，减少依赖性，培养思维的逻辑性、严谨性。
2.3.4听课的四个环节很重要，看、听是收集信息源的，脑的环节是用来接收并处理信息，通过数据信息处理进行知识建构活动。
口、手是最后环节，是对知识的表述，应用过程，也是体现价值评价的过程。
犹如真理与实践一样，先有认识程度，再有实践来检验自身认识与原有知识水平的差异。
这四个环节可以产生高效知识与高效课堂。
3、常用数学思想、数学方法、数学思维培养
美国著名教育学家波利亚说过，掌握数学就意味着善于解题，而当我们解题时遇到一个新问题总是用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有将数学思想、数学方法理解透彻并融会贯通时，才能提出新看法，巧解法，高考更是重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查脑力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法和解题策略，在数学过程中培养学生的数学思想方法去分析问题、解决问题、形成能力、提高数学素养、拥有数学头脑与灵气。
4、在初高中知识衔接上我用了必修一教材第24页第6题
若f（x）=x²+bx+c且f
（1）=0f（3）=0，求f（-1）的值
变式1：
解不等式f（x）＞0
变式2：
解方程f（x）=8
变式3：
解不等式f（x）＞8
更可以在此基础上进行一些因式分解，十字相乘的深度训练。
渗透函数方程不等式数学思想意识等等。
二、关于必修一教材讲解的一些建议
教材是“本”，要“用教材教”而不是“教教材”，要“用好教材，超出教材”，要“走进教材，在走出教材”，而做到进一步的关键是经常研究教材。
建议在第一章内容的教授中根据不同层次的学生采用不同的传授方法，但是三个目标要做到，（以讲授第一单元集合内容为例）
1、教授学生读数学书的方法
读小节内容时，归纳段落大意（知识点）及中心思想（小节名称）借助工具书预习教材，做到课前预习了解大概。
课上积极互动，参与知识探究与生成，最后能熟练应用，即用眼耳来收集信息，用脑处理信息，最后用口、手把它表述及应用起来。
这个学习方法更适用于程序化知识的传授。
2、知识网络建构
先了解单元目录，知晓本单元三节的中心内容，了解并掌握每小节的知识点，帮助学生建构知识横向结构，当这一单元讲完后，进行单元知识总结时可以引领学生画出思维导图，完善知识的建构体系到应用。
如图：
┌集合、元素的定义
┌集合的定义与表示元素的性质
元素与集合的关系
常见数集的符号
└集合的表示方法
┌真子集
┌包含关系（子集）└相等
集合├集合与集合的关系
└空集┌定义
└性质
┌交集
└集合运算并集
└补集
3、初步了解数学思想、数学方法提高数学思维品质
本单元涉及知识面广，是数学思想数学方法集源地，有目的在例题或习题讲解时注意慢慢渗透，培养并提高学生的数学思维能力，以便学生能很好地适应第二单元函数的学习。
如：
A={x丨y=x²-2x-3}
B={y丨y=x²-2x-3}
C={（x,y）丨y=x²-2x-3}
D={x丨x²-2x-3=0}
E={x丨x²-2x-3＞0}
让学生读懂这些集合的含义可以借助于二次函数y=x²-2x-3的图像，直观感知函数值的取值与自变量的关系，从而渗透了函数方程不等式思想。
可利用教材的第12页B组第2，第3题以及第44页A组第2、第3题进行数形结合思想的渗透。
又如考查集合关系知识的题型中常见求参问题的分类讨论，如教材第44页第4题
已知集合A={x丨x²=1}B={x丨ax=1}，若B
A，求实数a的值。
这道题分类讨论思想体现很好，尤其是展现集合知识的一个易错点，子集关系中容易漏掉空集的讨论。
建议这一单元细讲，慢慢引导学生探索数学文化的美。
新课引入，“函数”，初中的函数，教材采用“变量说”，高中提出了“对应说”，人教A版采用了从实际例子中抽象概括出用集合与对应的语言，定义函数的方式介绍函数概念，把“映射”作为“函数”的一种推广，这种安排我在实践中觉得更有利于学生集中精力理解函数的概念。
而具体教学过程，我为学生设计他们熟悉的“行程问题”、“比例问题”、“价格问题”，利用图表、图形，让学生探究用集合与对应的语言来刻画，从学生熟悉实际背景和定义两个方面，帮助学生理解函数的本质。
要求学生认识、描绘以及概括模式。
尤为注意教材第16页一段话，x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛y︱y=f（x）,x∈A｝叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集。
这个可以让学生口述他的理解价值，也是评价的一种方式。
必修一教材第25页B组第2题可作为学生对函数定义另一种价值评价（应用能力）：
2、画出定义域为｛x︱-3≤x≤8，且x≠5｝，值域为｛y︱-1≤y≤2，且y≠0｝的一个函数图像。
（1）将你的图像与其他同学的相比较，有什么差别吗？
（2）如果平面直角坐标系中点P（x,y）的坐标满足-3≤x≤8，-1≤y≤2，那么其中那些点不能在图像上？
（不妨从最简单的情形开始，在函数定义的教学中，常费尽口舌，总是言不尽意，忽然想到儿子上幼儿园，小学做过的连线题，一列为水果、动物等，然后把后面各个名词分类连线，俗称对应，加以条件给予对应关系，解释给学生，领悟倒是很快。
）
在集合的区间表示讲解上应注意规则、规范、科学
常见的规则书上有九种：
[a,b][a,b）（a,b）（a，-b）
（-∞，+∞）[a,+∞）（a,+∞）（-∞,a）
[-∞,a]
强调规范：
（-∞,6]或x≠±3是不成立
强调科学：
1.{x丨x=1或2≤x≤3}
2.{x丨x≤6且x≠3}等价于求不等式
的解集。
认真研读教材，细读教材的每一句话，研究每个关键词，挖掘隐含因素、揭示知识本质，提炼思维方式。
在课本17页有例1：
已知函数
1.求函数的定义域
2.求f（-3），f（
）的值
3.当a＞0时求f（a），f（a-1）的值
课本解题分析如下
函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出y=f（x）的解析式，没有指名它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数集合。
这里不仅告诉我们求定义域的几种情况，更有定义域的表示：
实数的集合。
可带领学生归纳初中所有使代数式有意义的情况，积累笔记。
又在第三问的解答中，揭示数学方法换元法的知识本质。
（3）∵a＞0∴f（a）f（a-1）有意义
∴f（a）=
f（a-1）=
进而提出问题：
若把a>0的条件去掉，以上式子成立吗？
在此认知上提出问题（也可用教材第45页第4题进行变式）：
已知函数f（x）=
。
求f
（2），f（-2），f（a²-a）。
学生反应激烈，大声喊不能代入-2，f（-2）无意义，我抛出问题，为什么？
负数不能开平方，接下一个问题，那f（a²-a）呢？
少数的声音是确定的，分情况讨论吧，进而引起争论，最后化为一个声音，成立条件x²-x≥0
解决掉这个问题，我直接给出复合函数的概念，以及复合函数定义域的本质
y=f（x）与y=f[g（x）]的定义域关系
当然也有部分学生有着困惑的目光，你可以给与鼓励的微笑，相信数学天赋的存在是来源于对数学兴趣的浓厚。
这也为数学方法中的换元法打下伏笔，尤其下节讲授求函数解析式的方法更是好用的很。
当然我们在讲函数的表示方法中函数图像的画法时，更是好好利用了一下P21例5
例5画出函数y=f（x）的图像
书上为引入分段函数的概念而引出课本的解答，学生的答法却很多，有说关于y轴对称，也有说把x＜0的y=x直线部分翻折到x轴上方，由此我引入图像变换知识①平移②对称③翻折④伸缩（不做要求）。
给出例题，画以下函数图像
①
②
③
④
最后揭示知识本质，是点的对称问题
（x,y）（-x,y）（x,-y）（-x,-y）让学生去感受
进一步加深④对勾函数的引入
（a＞0）
以图引领学生直观感受数学的对称美，在探究中牵动学的好奇心与兴趣。
在讲授函数解析式时，没有做大的深度与广度探究，只对搭配资料上的习题给予思考归纳应用，特别关注的是换元法。
课本P27“函数单调性”，由所学的正比例函数，二次函数的图象观察y随x变化情况。
教材编写的很好，从图形语言——文字语言——数学语言，一步一个台阶，可在实施过程中，我先让学生自己探究后，犯错、徘徊后才提醒，教学过程中发现，文字语言：
“当图像上升时，y随x的增大而增大”，学生在初中里用过，一下就能说出来，而最后一个台阶，学生却很难跨上，即数学语言：
“当x增大时，有相应的y也随之增大”。
数学老师看似简单，可学生刚刚接触就感到怎么来的式子，单调性定义的引入是让学生直观感知的，然后给出严谨性的定义。
这也是研究问题的方法由特殊到一般的规律。
数学教学中问题的设计和选择，应尽可能地来源于学生们的实际生活经历，应找出更多的机会让学生们接触各种各样的现实问题，捕捉学生的生活的疑点、兴奋点，社会生活和热点，同时使抽象的教学内容更直观、更通俗、更具体。
我在此把单调性定义分成四部分
1.定义域内某个区间D
2.任取
＜
3.
或
4.函数f（x）在区间D上是增函数（减函数）
问题一：
由①②③推④是单调性定义域内函数的单调性，引出例2及P78
例1总结步骤细节及作差变形的技巧与图象
引出复合函数单调性的判断方法与步骤，鼓励学生用定义推理验证。
探究问题：
两个增函数的和仍是增函数的证明
问题二：
比较出数值大小
在区间D上的增函数y=f（x）,若
＜
则
问题三：
解不等式或求参数的值
在区间D上的增函数y=f（x）若
则
＜
（教材第44页第9题）已知函数
在
上具有单调性，求实数k的取值范围.
变式训练：
已知函数
在区间
具有单调性，求实数k的取值范围
从本质去研究问题，最后解决问题。
问题四：
①方程x²=1的根是x=1或x=-1
②x=1是方程x²的根
③方程x²=1的根是x=1
从这三个命题中的理解，类比探究
①y=f（x）=x²-2x-3的增区间（1，+∞）
②函数f（x）=x²-2x-3在（1,10）上单调递增
③函数f（x）=x²-2x-3的增区间为（3，+∞）的真与假
讲完单调性之后建议大家先讲奇偶性，而奇偶性是对称性的特殊情况，故更要揭示对称的本质，学生能接受的情况下，可推出图象对称的公式。
最后讲解最值与值域时，建议以单调性求解方法为主。
加以图象直观求解，不建议太多方法，搞得学生很厌倦。
必修一课本P31例3例4告诉每个学生求解最值得一些方法，图像法、单调性法，尤其是对例4，也可以画图求出，更可以让学生探究分式函数
的单调性，及某个闭区间上的单调性。
从实用的角度来看，我们可以对第39页B组第1题进行一题多变。
求g（x）=x²-2xx∈[2,4]的最小值
变式：
①当x∈[a,4]g（x）的值
②g（x）=x²-ax在x∈[2,4]上的最值
讲完函数一定要总结归纳函数能研究的知识、定义、图象（变换）、定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等，更要有函数、方程、不等式等数学思想的渗透。
这些用在第二章基本初等函数的研究上就会事半功倍，如讲指对数函数时，教师只需列出清单，引领学生回顾学习第一章函数内容的思路，构建指对数函数的知识框架即可，不仅学生在知识上形成思维导图，更有独自探究的成功感，你可以提出重新研究初中能学函数的知识框架。
而对于指对数的运算是程序性知识较多于探究的情景，可以参照读数学书的方法，归纳知识点，思考知识本质，探究二阶公式，达到灵活运用即可。
在第三章函数、方程零点更是体现数形结合思想，二分法的逼近思想，还有函数的增加变化率下的指数爆炸，更要给学生以直观感受。
总之，在教学反思的行动中，我坚持：
一、保持敏感而好奇的心灵，“好奇心‘唤起关心’，唤起对现在存在或可能存在的东西的关心。
正是好奇心使人们摈弃熟悉的思维方式，用一种不同的方式来看待同一事物。
二、要经常、反复地进行反思，通过反思来理解对象、理解自己，让自己与对象对话、与自己对话。
以上是在讲授必修一时的自我作法，欢迎各位同仁指正并提出宝贵意见。
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