且log1u¯，u=-（x-1）+1，如图：
22
2当xÎ（0，1]时，u，又log1u¯，∴y¯
当xÎ[1，2）时，u¯，又log1u¯，∴y
2
∴„„）
15.如何利用导数判断函数的单调性？
在区间（a，b））
A.0B.1
2C.2D.3aö÷³03øæ（令f’（x）=3x-a=3çx+èaöæ÷çx-3øè
则x£-
a3
或x³
a3
由已知f（x）在[1，+¥）上为增函数，则∴a的最大值为3）
a3
£1，即a£3
16.函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f（x）定义域关于原点对称）
若f（-x）=-f（x）总成立Ûf（x）为奇函数Û函数图象关于原点对称若f（-x）=f（x）总成立Ûf（x）为偶函数Û函数图象关于y轴对称注意如下结论：
（1）在公共定义域内：
两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（2）若f（x）是奇函数且定义域中有原点，则f（0）=0。
a·2+a-2
2+1
xx
如：
若f（x）=为奇函数，则实数a=
（∵f（x）为奇函数，xÎR，又0ÎR，∴f（0）=0
a·2+a-2
2+1
00
即=0，∴a=1）
又如：
f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当xÎ（0，1）时，f（x）=求f（x）在（-1，1）上的解析式。
2
x
x
4+1
，
（令xÎ（-1，0），则-xÎ（0，1），f（-x）=
24
-x-x
24
xx-x
-x
+1
又f（x）为奇函数，∴f（x）=-
+1
=-
2
1+4
x
ì2ï-x
ï4+1
又f（0）=0，∴f（x）=í
x
ï2xïî4+1
xÎ（-1，0）x=0xÎ（0，1）
）
17.你熟悉周期函数的定义吗？
（若存在实数T（T¹0），在定义域内总有f（x+T）=f（x），则f（x）为周期
函数，T是一个周期。
）
如：
若f（x+a）=-f（x），则（答：
f（x）是周期函数，T=2a为f（x）的一个周期）又如：
若f（x）图象有两条对称轴x=a，x=b（Û）即f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x）则f（x）是周期函数，2a-b为一个周期如：
18.你掌握常用的图象变换了吗？
f（x）与f（-x）的图象关于y轴对称
f（x）与-f（x）的图象关于x轴对称
f（x）与-f（-x）的图象关于原点对称f（x）与f-1（x）的图象关于直线y=x对称f（x）与f（2a-x）的图象关于直线x=a对称f（x）与-f（2a-x）的图象关于点（a，0）对称
y=f（x+a）左移a（a>0）个单位¾®将y=f（x）图象¾¾¾¾¾¾¾¾y=f（x-a）右移a（a>0）个单位
y=f（x+a）+b上移b（b>0）个单位¾®¾¾¾¾¾¾¾¾y=f（x+a）-b下移b（b>0）个单位
注意如下“翻折”变换：
f（x）¾¾®f（x）f（x）¾¾®f（|x|）
如：
f（x）=log2（x+1）
作出y=log2（x+1）及y=log2x+1的图象
y=log2x
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
（1）一次函数：
y=kx+b（k¹0）
（2）反比例函数：
y=的双曲线。
böæ（3）二次函数y=ax+bx+c（a¹0）=açx+÷
è2aø
2
2
kx
（k¹0）推广为y=b+
kx-a
（k¹0）是中心O’（a，b）
+
4ac-b4a
2
图象为抛物线
2
æb4ac-böb
，顶点坐标为ç-÷，对称轴x=-
4a2aè2aø
开口方向：
a>0，向上，函数ymin=
4ac-b4a
2
2
a<0，向下，ymax=
4ac-b4a
应用：
①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程22ax+bx+c=0，D>0时，两根x1、x2为二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴
2的两个交点，也是二次不等式ax+bx+c>0（<0）解集的端点值。
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
ìD³0
ïïb2如：
二次方程ax+bx+c=0的两根都大于kÛí->k2aï
ïîf（k）>0
一根大于k，一根小于kÛf（k）<0
（4）指数函数：
y=ax（a>0，a¹1）
（5）对数函数y=logax（a>0，a¹1）
由图象记性质！
（注意底数的限定！
）
ax（a>1）
（6）“对勾函数”y=x+k
x（k>0）
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
1
ap20.你在基本运算上常出现错误吗？
指数运算：
a0=1（a¹0），a-p=
m-m
n（a¹0）an=am（a³0），a=1
am（a>0）
对数运算：
logaM·N=logaM+logaN（M>0，N>0）
logaMN=logM-logN，logaaa
aM=1nlogMa对数恒等式：
alogx=x
对数换底公式：
logab=
21.如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）logcblogcaÞlogambn=nmlogab
如：
（1）xÎR，f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），证明f（x）为奇函数。
（先令x=y=0Þf（0）=0再令y=-x，„„）
（2）xÎR，f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），证明f（x）是偶函数。
（先令x=y=-tÞf[（-t）（-t）]=f（t·t）
∴f（-t）+f（-t）=f（t）+f（t）
∴f（-t）=f（t）„„）
（3）证明单调性：
f（x2）=f[（x2-x1）+x2]=„„
22.掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。
）
如求下列函数的最值：
（1）y=2x-3+
2x-4
x+3-4x
（2）y=
（3）x>3，y=2x2
x-3
2（4）y=x+4+
（5）y=4x+9
x9-xq，qÎ[0，p]）（设x=3cos，xÎ（0，1]
23.你记得弧度的定义吗？
能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？
（l=a·R，S扇=12l·R=
12a·R）2
24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
sina=MP，cosa=OM，tana=ATy
TBS
OMAx
如：
若-p
8又如：
求函数y=1-æpö2cosç-x÷的定义域和值域。
è2ø
（∵1-æpö2cosç-x÷）=1-è2ø2sinx³0
∴sinx£2
2
，如图：
∴2kp-5p
4£x£2kp+p
4（kÎZ），0£y£1+2
25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？
并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？
x£1，cosx£1sin
y
x
-O
2
y=tgx
对称点为çkæ
èpö，0÷，kÎZø2
é
ëp2x的增区间为ê2kp-y=sin，2kp+pù（kÎZ）2úû
减区间为ê2kp+ëép2，2kp+3pù（kÎZ）ú2û
图象的对称点为（kp，0），对称轴为x=kp+
y=cosx的增区间为[2kp，2kp+p]（kÎZ）p2（kÎZ）
减区间为[2kp+p，2kp+2p]（kÎZ）
图象的对称点为çkp+æ
èpö，0÷，对称轴为x=kp（kÎZ）ø2
y=tanx的增区间为çkp-æ
èp2，kp+pö÷kÎZ2ø
26.正弦型函数y=Asin（wx+j）的图象和性质要熟记。
[或y=Acos（wx+j）]
（1）振幅|A|，周期T=2p
|w|
若f（x0）=±A，则x=x0为对称轴。
若f（x0）=0，则（x0，0）为对称点，反之也对。
（2）五点作图：
令wx+j依次为0，
（x，y）作图象。
（3）根据图象求解析式。
（求A、w、j
值）p2，p，3p2，2p，求出x与y，依点
ìw（x1）+j=0ï如图列出íp
ïw（x2）+j=2î
解条件组求w、j值
D正切型函数y=Atan（wx+j），T=p
|w|
27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
如：
cosçx+
（∵p6ø22ëû3p
2，∴7p
66<5p
3，∴x+p
6=5p
4，∴x=13
12p）
28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
如：
函数y=sinx+sin|x|的值域是
（x³0时，y=2sinxÎ[-2，2]，x<0时，y=0，∴yÎ[-2，2]）
29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
®ìx’=x+ha=（h，k）
（1）点P（x，y）¾¾¾¾¾¾®P’（x’，y’），则íy’=y+k平移至î
®
（2）曲线f（x，y）=0沿向量a=（h，k）平移后的方程为f（x-h，y-k）=0如：
函数y=2sinç2x-
图象？
（y=2sinç2x-æ
èpöéæ1横坐标伸长到原来的2倍÷-1¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y=2sinê2ç4øëè2öpùx÷-ú-1ø4ûæèpö÷-1的图象经过怎样的变换才能得到y=sinx的4ø
p个单位pöæ平移1个单位4¾¾¾®y=2sinx-1¾上=2sinçx-÷-1¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y=2sinxèø4左平移
纵坐标缩短到原来的1倍
2¾®y=sinx）¾¾¾¾¾¾¾¾¾
30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
如：
1=sina+cosa=seca-tana=tana·cota=cosa·seca=tan=sinp
2=cos0=„„称为1的代换。
p
2±a”化为a的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，2222p4“k·
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
如：
cos
9p
æ7pö+tanç-÷+sin（21p）=
è46ø
sina+tanacosa+cota
，则y的值为
又如：
函数y=A.正值或负值
sina+
D.正值
sina
B.负值
2
C.非负值
（y=
cosa+
sina（cosa+1）cosa=>0，∵a¹0）2
cosacosa（sina+1）sina
31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
acosb±cosasinb¾¾¾¾®sin2a=2sinacosasin（a±b）=sin
令a=b
令a=b22
co（sa±b）=cosacosbmsinasinb¾¾¾¾®cos2a=cosa-sinatan（a±b）=
tana±tanb1mtana·tanb
=2cosa-1=1-2sinaÞ
2
2
tan2a=
2tana1-tana
2
cosa=
2
1+cos2a2
1-
cos2a
2
sina=
2
a+bcosa=asin
a+bsinj=（a+j），tan
2
2
ba
sina+cosa=
pöæ
2sinça+÷
è4ø
sina+
pöæ
3cosa=2sina+ç÷
è3ø
应用以上公式对三角函数式化简。
（化简要求：
项数最少、函数种类最少，分母中不含
三角函数，能求值，尽可能求值。
）具体方法：
（1）角的变换：
如b=（a+b）-a，
（2）名的变换：
化弦或化切（3）次数的变换：
升、降幂公式
（4）形的变换：
统一函数形式，注意运用代数运算。
如：
已知
sinacosa1-cos2a
=1，tan（a-b）=-
23
，求tan（b-2a）的值。
a+b2böæaæö
=ça-÷-ç-b÷„„èø2øè2
（由已知得：
又tan（b-a）=
sinacosa2sina23
2
=
cosa2sina
=1，∴tana=
12
2
tana（b-a）-tan1+tana（b-a）·tan
-2121=18）
∴tan（b-2a）=tan[（b-a）-a]=
=
31+
32
32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？
如何实现边、角转化，而解斜三角形？
·
余弦定理：
a=b+c-2bccosAÞcosA=
222
b+c-a
2bc
222
（应用：
已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。
）ìa=2RsinA
abcï
正弦定理：
===2RÛíb=2RsinB
sinAsinBsinCïc=2RsinC
î
SD=
12
a·bsinC
∵A+B+C=p，∴A+B=p-C
C，si∴sin（A+B）=sin
A+B2
C
=co
2
如DABC中，2sin
（1）求角C；
2
A+B2
+cos2C=1
（2）若a=b+
22
c
2
2
，求cos2A-cos2B的值。
2
（
（1）由已知式得：
1-cos（A+B）+2cosC-1=1
又A+B=p-C，∴2cosC+cosC-1=0∴cosC=
12
或cosC=-1（舍）
p3
2
2
又0=b+
2
2
（2）由正弦定理及a
2
2
12
2
c得：
p3=34
2
2sinA-2sinB=sinC=sin
2A-1+cos2B=1-cos
34
∴cos2A-cos2B=-3
4）
33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。
反正弦：
arcsinxÎ-，，xÎ[-1，1]ê2ú2ûë
反余弦：
arccosxÎ[0，p]，xÎ[-1，1]
反正切：
arctanxÎç-
34.不等式的性质有哪些？
（1）a>b，c>0Þac>bc
c<0Þac（2）a>b，c>dÞa+c>b+d
（3）a>b>0，c>d>0Þac>bd
（4）a>b>0Þ1
a<1
b，a1a>1b（5）a>b>0Þan>bn，a>b
（6）|x|0）Û-aaÛx<-a或x>a
如：
若
21a2<1b<0，则下列结论不正确的是（）A.aD.a
b+b
a>22C.|a|+|b|>|a+b|
答案：
C
35.利用均值不等式：
a+b³2ab（a，bÎR22
++）æa+bö；a+b³2ab；ab£ç÷求最值时，你是否注è2ø2意到“a，bÎR”且“等号成立”时的条件，积（ab）或和（a+b）其中之一为定
值？
（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
a+b
222³a+b
2³ab³a，bÎR）（a+b+2ab
当且仅当a=b时等号成立。
a+b+c³ab+bc+ca（a，bÎR）222
当且仅当a=b=c时取等号。
a>b>0，m>0，n>0，则
b
aa+m<1b+nb
4如：
若x>0，2-3x-的最大值为x
（设y=2-ç3x+æ
è4ö÷£2-2=2-43xø
23
3当且仅当3x=4
x，又x>0，∴x=时，ymax=2-43）
又如：
x+2y=1，则2x+4y的最小值为
（∵2x+22y³22x+2y=221，∴最小值为22）
36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
如：
证明1+
1
22122+132+„+1n2<2（1++132+„„+1n2<1+11´2
1
n+12´3+„„+1（n-1）n=1+1-1
2+1
2-1
3+„„+1
n-1-
=2-1
n<2）
37.解分式不等式f（x）
g（x）>a（a¹0）的一般步骤是什么？
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。
）
38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
如：
（x+1）（x-1）2（x-2）3<0
39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
如：
对数或指数的底分a>1或040.对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。
）
例如：
解不等式|x-3|-x+1<1
ì
î1üý）2þ（解集为íx|x>
41.会用不等式|a|-|b|£|a±b|£|a|+|b|证明较简单的不等问题
如：
设f（x）=x2-x+13，实数a满足|x-a|<1
求证：
f（x）-f（a）<2（|a|+1）
证明：
|f（x）-f（a）|=|（x2-x+13）-（a2-a+13）|
=|（x-a）（x+a-1）|（Q|x-a|<1）
=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|
£|x|+|a|+1
又|x|-|a|£|x-a|<1，∴|x|<|a|+1
∴f（x）-f（a）<2|a|+2=2（|a|+1）
（按不等号方向放缩）
42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？
（可转化为最值问题，或“△”问题）如：
aa>f（x）恒成立Ûa>f（x）的最大值
a>f（x）能成立Ûa>f（x）的最小值
例如：
对于一切实数x，若x-3+x+2>a恒成立，则a的取值范围是（设u=x-3+x+2，它表示数轴上到两定点-2和3距离之和
umin=3-（-2）=5，∴5>a，即a<5
或者：
x-3+x+2³（x-3）-（x+2）=5，∴a<5）
43.等差数列的定义与性质
定义：
an+1-an=d（d为常数），an=a1+（n-1）d
等差中项：
x，A，y成等差数列Û2A=x+y
前n项和Sn=
（a1+an）n
2
=na1+
n（n-1）2
d
性质：
{an}是等差数列
（1）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；
（2）数列{a2n-1}，{a2n}，{kan+b}仍为等差数列；Sn，S2n-Sn，S3n-S2n„„仍为等差数列；
（3）若三个数成等差数列，可设为a-d，a，a+d；（4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则
ambm
=S2m-1T2m-1
；
2
（5）{an}为等差数列ÛSn=an+bn（a，b为常数，是关于n的常数项为
0的二次函数）
2
Sn的最值可求二次函数Sn=an+bn的最值；或者求出{an}中的正、负分界
项，即：
ìan³0
当a1>0，d<0，解不等式组í可得Sn达到最大值时的n值。
îan+1£0ìan£0
当a1<0，d>0，由í可得Sn达到最小值时的n值。
a³0în+1
如：
等差数列{an}，Sn=18，an+an-1+an-2=3，S3=1，则n=（由an+an-1+an-2=3Þ3an-1=3，∴an-1=1又S3=
（a1+a3）
2
·3=3a2=1，∴a2=
13
∴Sn=
（a1+an）n
2
=
（a2+an-1）·n2
=
æ1ö
ç+1÷nè3ø
2
=18
\n=27）
44.等比数列的定义与性质
定义：
an+1an
升级会员 