教师资格考试中学数学学科知识.docx

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教师资格考试中学数学学科知识

V数学学科知识

数与代数

实数

有理数

无理数

性质和运算

代数式

概念性质和基本运算

方程

一元二次，一元一次组

不等式

一元二次，一元一次组

函数

一元一次，反函数，一元二次

图形与几何

图形性质

探索，证明

图形变化

图形与坐标

统计与概论

数据分析过程

处理较复杂的数据

数据分析方法

整理描述分析，方差，众数等

随机性

每次数据不同

大量数据有规律

概率

发生结果的相同性

综合与实践

问题以载体，自主学习

发现提出问题

分析解决问题

交流合作

反思

求知欲

克服困难勇气

数学价值

科学态度

初中阶段的十个核心概念：

数感；符号意识，空间观念，几何观念，数据分析观念；运算能力，推理能力；模型思想；创新思想（提出问题，独立思考，归纳验证）；应用意识。

义务教育阶段数学课程总目标

1）获得适应生活必要的知识技能思想和经验

2）体会数学与生活，其他学科的联系。

分析解决问题能力培养。

3）了解数学价值，增加兴趣，信心，爱好。

养成良好习惯，初步形成科学态度。

数学在义务教育的地位。

义务教育具有基础性发展性和普及性。

数学课程能使学生掌握以后生活工作必备的基本知识，基本技能，思想方法；抽象能力和推理能力；促进情感态度价值观健康发展。

为今后的生活，学习打下基础。

二次根式：

就是开根号

目标：

了解意义，掌握字母取值问题，掌握性质灵活运用

通过计算，培养逻辑思维能力

领悟数学的对称性和规律美。

重点：

根式意义；难点;字母取值范围

勾股定理

探索证明的基础上，联系实际，归纳抽象，应用解决实际问题。

通过探索分析归纳过程，提高逻辑能力和分析解决问题能力。

数学好奇心，热爱数学。

重点：

应用

难点：

实际问题转化为数学问题

平行四边形及性质

经历探索平行四边形性质和概念，掌握性质，能够判别

体会操作转化的思想过程，积累问题解决的思想。

与他人交流，积极动手的习惯

四边形内角和：

量角器；内部做三角形；按照边做三角形；按照定点做三角形。

一次函数和二元一次方程的关系。

数形结合

数学思想为主体；问题为贯穿；数形结合为工具；提高问题解决能力。

数学课程理念

内涵：

人人获得良好数学教育，在数学上得到不同发展

内容：

符合数学特点，认知规律，社会实际。

层次性和多样性。

间接与直接。

过程：

师生交往

评价：

多元发展

信息技术与课程：

现在信息技术改进教学方法，资源。

1）信息技术开发资源，注重整合

2）教学方式的改善

3）理解原理的基础上，利用计算器，计算机

4）不能完全替代原有的有段。

合情推理：

根据已有的结论，实践结果，直观等推测某些结论。

便于发现问题。

（归纳法：

n=1和n大于1成立的证明）

演绎推理：

根据已有的结论，严格按照逻辑进行推理，用于证明。

从一般到特殊

直接证明：

原命题直接逐步推理的到新命题。

间接证明：

反证法

数学教学目标明确解决三个问题：

为什么学习数学，应当学那些，将给学生带来什么。

数据课程核心概念

数感，符号意识，空间概念，几何观念，数据分析观念，运算能力，推理能力，模型思想，应用意识，创新意识。

论述：

数学学科内涵是影响数学课程的主义因素，以一元二次论述内涵的意义。

1）数学本身的内涵即知识方法和意义。

2）一元二次方程有关概念基本解法和其他知识的联系，模型应用等。

3）学科内涵作为教育任务，学习中可能存在困难。

过程性目标与结果性目标分析初中数学学段目标的知识技能。

数与代数：

体验具体情景中数学符号的抽象过程，理解有理数，无理数，实数，方程，函数等；掌握必要的运算技能；探索变化规律，掌握表达方法。

包含了过程性和结果性目标。

体验探索…….为过程性目标；掌握……为结果性目标

图形与几何：

掌握三角形，平行线，园，四边形基本性质判断，掌握基本作图技能，理解探索图形变化，投影，理解坐标系和位置。

包含了包含了过程性和结果性目标。

体验探索…….为过程性目标；掌握，理解……为结果性目标

统计与概率：

体验收集处理分析推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体过程；进一步认识随机现象和概率。

包含了包含了过程性和结果性目标。

体验探索…….为过程性目标；掌握，理解……为结果性目标

函数集中安排在不等式方程学习后

不合理，函数学习不仅仅是掌握知识本身，还有认识现象，解决问题的方法；函数知识本身的内涵不单纯的包括定理定义等，还有内部的联系。

代数，方程，不等数与函数的联系密切相关，认识过程要经历感性到理性的过程，不能仅仅的抽象符号利用。

举例子说明统计相关概念的教学重心。

例如平均数，重心在于帮助学生理解内涵，特点，可以表达的数据信息，容易产生的误导原因；而不是简单的快速计算公示。

综合与实践在初中课程中的作用，谈一谈。

1）自主学习以问题为载体；将综合运用数与代数，图形与几何，统计与概率等知识和方法解决问题。

目的在与培养学生解决实际问题的问题意识，创新意识和应用意识等。

2）有效的调动了学生的积极性主动性，发展学生个性，提高多方面能力，促进学生情感态度价值观发展。

对丰富学生经验，形成对自然，学科，自我整体的认识，发展创新实践精神。

3）数与代数，图形与几何，统计与概率与综合实践内容都是数学课程的重要组成部分，可以课堂上完成，可以内外课堂结合。

统计与概率中数据随机性的内涵

1）同样的事情每次收集的数据可能不同；足够的数据可以发现规律。

2）举例子：

红球。

。

让学生感悟数据是随机的，数据很多时又具有稳定性，知道大概能出现多少次。

学习图形与几何的重点是培养几何证明能力

错误

图形与几何的内容包括图形的性质，变化和坐标。

其中证明性质知识其中一部分。

其他两方面也很重要，例如。

。

。

。

举例子说明课堂教学发生状况处理情况

1）在处理状况时将情感态度目标落实。

2）例如：

学生练习错误又不努力改正时，教师要求学生字句独立完成修改；自己对自己的事情负责；并且相信学生能够完成，增加学生改正错误的自信心。

3）例如：

学生不能正确回到问题时，要引导，不能简单的打断错误回答，要让学生理解自己哪里的理解认识是错误的，而不是简单的否定。

数学教学中预设与生成的关系

1）教学方案是预设，老师要理解钻研在钻研理解，以《义务教育数学课程标准》为依据，把握教材编写意图，和内容的教育价值。

2）对教材的再创造，根据班级实际情况，选择贴切的教学素材和教学流程，体现基本理念和内容规定的要求。

3）教学活动：

将预设转为实际活动，会生成新的资源，要求老师即时把握，因势利导，即时调整，使活动收到更好的效果。

面向全体与关注个性差异的关系

1）努力让全体达到目标要求，同时关注差异，促进在原有基础上发展。

2）有苦难的，即时帮助，鼓励自己解决问题，点滴进步给予肯定；耐心引导错误原因，增加信心。

3）有余力的学生，提供足够的思维空间和材料，发展才能。

4）方式多样化，评价多样化，问题情境，主动参与，交流合作。

合情推理与演绎推理

1）推理贯穿于整个数学教学的始终，形成和提高是一个长期的循序渐进的过程。

2）年龄不同程度不同，注重条理性，不要过分强调形式。

3）推理包括合情和演绎推理。

4）设计适当的活动，通过观察，类比等发现规律，猜测结论，发展合情推理能力；通过实例让学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认。

5）合情推理和演绎推理是相辅相成的。

证明的教学应关注学生对证明必要性的感受，对证明基本方法掌握和体验。

证明过程应注重符合逻辑性，条理性，清晰性。

多种思路。

举例说明教学活动中，如何引导积累数学活动，感悟思想

1）《义务教育数学课程标准》建议：

引导学生积累经验，感悟思想。

2）例如分类是一种重要的数学思想。

数学学习中经常用分类问题，例如图形，代数式，函数分类等。

3）实际问题中：

通过分类解决实际问题，理解共性和抽象过程。

4）逐步体会怎么分类，如何分类，标准，性质。

5）反复积累，才能逐步感悟思想。

评语

以定性为主，实际上是一情感交流，学生阅读评语时，能够获得成功的体验，树立自信心，也能知道自己的不足和能力方向。

评价形式

1）口头测试

2）书面测试

3）开放式问题研究

4）活动报告

5）课堂观察

6）课后访谈

7）作业

8）成长记录

数学思考评价的重心和重点

1）数学思考并非简单的知识，而是学生能力的发展。

2）重心在于：

关注是否能进行思考。

3）重点：

用数学来表达交流信息；观察现象；运动数学进行推理；根据特质推测，猜测；有条理的表达自己观点。

书面测试注意事项

1）知识技能到达情况。

必须符合标准要求

2）选学内容不列入

3）基本技能要注重考察本质的理解和应用，不出怪题，淡化解题技巧

4）设计试题，注重标准的思路核心词体验：

数感，符号意识，运算能力，模型能力，空间观念，几何观念，推理能力数据，分析能力。

5）根据评价目的合理设计

6）积极探索可以考察学生学习过程的试题

发现式教学

1）问题教学法，是布鲁纳提出的。

让学生主动发现问题解决，获取知识的教学方法。

从学生的好奇，好学，好问，动手中提出在老师指导下，通过解决问题，引导学生像科学家发现定理那样发现知识，，培养学生的观察，探讨，研究创造能力。

2）步骤：

创设问题情景，激发主动积极性；寻找问题答案，探讨解法；完善解答，总结思路；进行知识综合，改善问题结构。

3）思考这个题目时，能够获得a＋b平方公示猜想，进一步验证。

可以从几何角度面积出发证明，也可以从代数角度出发证明；发现法从多个角度解决问题，培养灵活的思维，而灵活的思维有利于创造性。

概念的内涵和外延

1）内涵：

反映事物本质属性总和。

质

2）外延：

概念反应事物的总和。

量

3）除了要理解内涵外延，还要明白两者的关系。

4）等腰三角形的内涵比三角形多；外延少。

概念间的逻辑关系

1）相容关系：

全同关系，交叉关系（等腰三角形与直角三角形），从属关系。

2）不相容关系：

矛盾关系（内涵互斥）和对立关系（反对关系，外延互斥）

定义是揭示概念内涵的逻辑方法

1）被定义项：

内涵揭示的概念

2）定义项：

确定被定义项的概念

3）定义联项：

联结两者。

“是”“称为”

1）属加种差定义项：

一个和几个本质属性叫做种差。

两组平行的四边形叫平行四边形。

概念＝临近属概念＋种差

2）揭示外延定义：

a不等于1

3）描述性定义：

直接定义

数学概念的获得方式

1）同类事物的不同例证中，独立发现同类事物的关键特性，概念形成。

2）直接展示定义，利用原有认知结构理解同化。

概念同化。

概念教学的要求

1）明确内涵外延和表达方式。

使用合适的数学语言：

符号，图形和图像。

原始概念为出发点

2）正确理解使用概念

3）了解概念关系，形成体系

概念教学方法（教学设计材料分析题，都有优点和缺点）

1）认知水平和数学逻辑起点要匹配互相衔接，正迁移。

2）创设合适的问题情景。

互动，学生主体

3）自主探究要有实际，素材，发挥主导作业。

命题：

简单命题和复核命题（逻辑关联词）

理解命题，运用解决问题，掌握相关联系。

命题引入：

直接引入，素材引入。

证明：

思路分析；多种论证；体系化系统化；数学思想方法。

命题的巩固离不开解题，越多越好

错误

1）大量习题占用大量时间，加重负担，失去兴趣。

2）反复演练，无暇思考总结，不利于能力提高。

3）同一类型反复演练，思维定势，无灵活和创新。

4）应使用自己的语言描述理解，自己给出反正例，实际应用加强理解，命题间加深关系的联系理解，形成体系。

策略：

整体性策略；准备性策略（把握目标，起点，模式）；问题性策略；情景化；过程化（理解联系关系体系）；产生式（通过是什么为什么，来解决

怎么办）

举例说明问题解决，解决问题和解答习题

1）已知三角形180，求四边形。

解答习题，四边形内画三角

2）解决问题：

求四边形内角和，学生有各种方法

3）问题解决：

学生根据四边形的方法找出规律，自己找出多边形内角和的方法，包括发现问题，探索结论，形成规律，形成结论。

推理教学：

证明的工具；从已知知识推出新知识

包括前提和结论

演绎，归纳，类比推理

直接讲授和讨论/发现

1）主动性，提出发现问题。

2）不同思想，因材施教

3）生成性资源，新的思想和方法。

理解函数单调性作为目标

1）不合适，无法判断学生是否理解。

2）给出增减函数的具体例子，能用函数单调性定义判断一个函数

三个数学题目

1）逻辑密切联系，考虑学生的认知，循序渐进，由浅入深，由易到难，由表及里；让学生步步深入，以达到将所理解的知识灵活运用。

2）发展……..过程方法中的能力

3）接着出题时：

将常量变为变量，找三个变量的关系

例题设计要具有：

典型性，目的性，启发性，科学性，变通性和有序性

习题：

有助于理解，巩固，发展智力。

目的性，及时性，层次，多样和反馈

教科书，课程标准和学生情况的三者统一

学生自己小结：

培养归纳能力，表达能力，让学生在自己脑海中思考所学内容，意识到自己会什么不会什么，加深印象，又对老师提供了信息，哪些是学生不会的。

引入时：

新旧知识，新知识与学生水平的衔接非常重要

教授时：

1）引导学生发现问题，问题情景

2）突出核心，重要要反复说明，针对只突出问题情景，不突出知识的材料

3）预设要全面，针对打断预设的材料题

学生学习：

善于思考，提出问题，发现问题，解决问题，学生积极性，合作意识（针对灌输式材料）

关于试题设计

1）“”包括课程内容中的要求。

知识点包括。

。

。

。

。

。

要求全面。

2）体现学生对数感，符号，运算，推理扥该考虑，包含“”计算，规律的应用和证明，可联系实际生活

3）题型多样化，合理，有选择，证明，计算，解答。

4）考虑学生学习过程，难度，区分度，掌握程度。

概念的与其他的内容关系：

内部应用和外部应用。

例如单调递增内部应用：

定义域，最大值最小值等；外部，证明不等式，数列性质等的应用

概念的研究方法：

定义法和导数法。

找相关利用概念

概念：

人脑对客观事物数量关系，空间形式本质属性的反应。

引入概念要恰当，明确内涵外延，表达准确，即时巩固。

数学科学内涵：

数学的方法意义知识等。

讲授法：

将思想贯穿其中，引导迁移分类，接受新知识解决问题

发现法：

学生主体，主动性积极性，发散思维

学生错误后的知道

1）还原知识发生发展过程：

算理和理解

2）还原错原因根源，学生的思考过程，后续改进教学。

3）认真研究学生，认知水平，学生观，此阶段的容易错误的思想是……

两个老师，一个按照认知水平一步一步搭台阶，引发学生思考，一个直接让学生给出不合适学生思维水平，只发挥学生主体地位，没有发挥老师的引导地位。

严谨性与量力性结合，出了两次了。

三维目标：

1）知识技能：

理解。

。

。

，会使用…..分析/解决/画出…..

2）过程与方法：

通过……，探索…….，发展推理能力

3）情感态度：

在合作探索中，发现数学的作用，快乐……

义务教育阶段数学目标4基：

基本知识（概念，性质，法则，公示），技能（运算，绘图，测量），思想（建模，推理和抽象），活动。

体会数学知识之间，数学与其他学科之间，与生活之间联系，运用思维进行思考，增加发现分析解决问题能力；了解数学价值，提高兴趣，增强学数学的信心，养成习惯，具有初步创新和实事求是的意识。

初中阶段数学目标

1）知识技能：

经历数与代数的抽象，运算建模过程，掌握代数基本知识和技能；经历图像的抽象，分类，性质探讨，运动，位置等过程，掌握几何基本知识和技能；经历实际问题的数据收集处理，分析数据，获取信息，掌握统计与概论的基本知识和技能；参与综合实践活动，积累运用数学知识解决问题的经验。

2）数学思考：

建立数感，符号意识，空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展抽象思维和形象思维；体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象；在参与观察，实验，猜想证明等活动中，发展合情推理和演绎推理，清晰表达自己想法；学会独立思考，体会基本思想的思维。

3）问题解决：

初步学会从数学的角度发现提出问题，解决问题，增强应用数学的实践意识；或份额分析解决问题的基本方法，体验多样性，发展创新意识；学会交流，初步学会评价和反思。

4）情感态度：

积极参与活动，对数学有好奇心和求知欲；学习过程中，体验成功的乐趣，锻炼克服困难的意志信心；体会数学特点价值；养成认真勤奋，独立思考，交流合作，反思质疑等学习习惯；坚持真理，修正错误，严谨求实的科学态度。

总体目标由学段目标来体现。

1）建立数感：

数量，关系，结果估算的感悟

2）符号意识：

理解用符号表示数，关系，规律；符号用于推理运算，结论具有一般性

3）空间观念：

根据物体抽象出几何，根据几何想象出物体，方位，位置，运动，依据语言画出

4）几何直观：

使用图像描述和分析问题

5）数据分析：

调查，分析数据，找到规律

6）运算能力：

根据法则和运算规律正确运算

7）推理能力：

合情推理和演绎推理。

合情推理：

从已知事实出发，运用经验和知觉进行归纳和类比判断；演绎推理：

从已知事实和规则出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计算

8）模象思想：

体会和理解数学与外部世界联系的途径：

抽象数学问题，符号建立变化规律；求出结果讨论意义。

9）应用和创新意识：

有意识的运用数学，认识现实存在的大量数学问题。

基本任务

初中课程内容

1）数与代数：

概念，运算，估计，字母表示，代数式，方程，方程组，不等式，函数等

2）图形与几何：

几何性质，变化（轴对称，中心对称，旋转等），坐标

3）统计与概率：

核心是分析数据。

分析过程，方法，体会随机性。

4）综合实践：

问题载体，自主参与学习

教学中关系

1）预设与生成

2）面向全体与差异

3）合情与演绎推理

4）信息技术与教学手段多样化关系

数学教学原则

1）抽象与具体结合：

感知具体形成表象，引导形成抽象思维，正确的判断，推理概念等

2）严谨性于量力性结合：

钻研教材；逐步教授；培养学生言必有据，思考缜密，思路清晰的良好思维；研究学生。

3）理论实际结合：

4）巩固法则结合：

符合数学实际，符合学生心理，新旧知识联系（清晰的逻辑联系，认知结构完整层次分明条理清楚）能力发展。

凯洛夫的组织教学

1）组织教学：

导入

2）复习提问

3）讲授新课

4）巩固新课

5）布置作业

考试中课堂包括

1）导入

2）新课

3）巩固新知

4）课堂练习

5）反思：

有什么收获

6）布置作业

学习数学某个方面必要性：

科技发展，行业应用，基本素质，时代要求。

学习数学某个方面可能性：

已具有运算知识，生活相关，计算机不陌生，具有一定分析/推理等能力。

初中数学常用的数学思想：

划归与转化思想（乘法转化为加法，复杂问题转换为简单，逆运算，已知ab和a+b,求

）；分类思想（一个标准）；数形结合思想；特殊与一般思想（类比，归纳，演绎）；有限与无限思想；随机与必然思想；函数与方程思想。

推理方法：

演绎（一般到特殊。

由已知定理，性质推出特殊的事物），归纳（个别到一般），类比（特殊到特殊，由两个事物的某些相同属性推理出其他属性也相同）

推理能力：

通过观察实验类比等获得数学信息，进一步寻求证据，给出证明或者反例，能清晰逻辑的表达自己的思考过程，言之有理；交流时能用数学语言合乎逻辑的讨论和质疑。

综合证明法：

已知定理调节，推断结论P￫Q1￫Q2

例如证明a和b平方和大于2ab。

尺规作图要求：

直尺和圆规与现实并非完全相同，带有想象性质。

直尺没有限度，无限长，没有刻度，只能连接两个点。

圆规可以展开无限宽，没有刻度，只可以构造之前构造的长度。

几何研究方法：

综合几何方法，解析几何方法，向量几何方法，函数方法。

综合几何方法：

利用已知基本图形性质研究复杂图形性质，基本图形的转化，平移，对称的手段。

解析几何：

笛卡尔、费马。

由代数方法研究几何对象关系和性质，坐标几何。

向量几何：

用向量来讨论空间平面和几何问题

古希腊三大问题，19世纪被证明是不可能用尺规完成的。

1）立方倍积问题：

求做立方体的体积是已知立方体两倍的边长。

2）化圆为方问题：

圆面积＝方面积，画方

3）三等分角

50m围长方形，面积最大的。

讲解的层次。

1）理解题目，提出策略，进行画图

2）列举满足条件的特殊值，列表排序

3）找规律

4）给予验证

5）鼓励发现和提出一般性问题，例如长宽变化不限于整数

命题引入方式

1）观察实验

2）观察归纳

3）实际需要

4）矛盾

5）加强或者削弱条件引入

数学题目

函数单调性：

a>b,f（a）>f（b）；或者使用导数是否大于0；

函数奇偶性

在Xo导数的意义：

斜率，对应的切线方程y-yo=f’（xo）×（x-xo）

S=∑an收敛半径r=|a（n+1）/a（n）|，a（n）不是1/n形式都收敛

常见函数导数：

（Xn）’=nXn-1

（ax）’=axlna

（logax）’=

（fg）’=fg’+f’g

洛必达法则：

分子分母的值趋于无穷大或者0，则极限

求最大值，则找导数为o的。

柯西不等式：

>（a2+b2）（x2+y2）

2xy

连续：

对于任意δ>0，存在ε>0,x－xo<ε，存在fx－fx0<δ

离散事件，a1，a2，……an。

每次事件等于ai的概率pi。

数学期望E。

这个离散事件的方差为：

连续：

既证明f（x）=f（x0）在x趋向xo。

既相减绝对值为0

可导：

首先证明存在，第二x趋向xo正和负的时候，分别导数等于xo导数

拉格朗日中值定理：

ab区间连续可到，f（a）=f（b）中间一定有一个点导数为0

利用拉格朗日中值定理解题：

构造函数g（x）=f（x）-f（a）-（f（b）-f（a））（x-a）/（b-a）。

g（a）=g（b）=0

罗尔定律：

函数连续可导，有两个x的值相等，这两个x中间有一个点导数为0

证明导数＝某个值的都可以使用这个变换的定律完成证明

1）f（x）在某个域可导连续。

f

（1）=f（0）+2，证明存在f（x）导数＝2

2）取F（x）＝f（x）－2x，连续可导。

则F（0）=f（0）。

F

（1）=F

（1）－2＝f（0）=F（0）

3）根据罗尔定律存在F（x）的导数为0

拉格朗日微分中值定理

4）函数在闭区间连续，开区间可导，则存在ab区间的数使期导数等于v=f（b）-f（a）/（b－a）

5）利用罗尔定理证明。

定义g（）＝f－f（a）－v（x-a）

同样可以利用fx为F（x）的导数，找到和题目形式为f（x），对应的F（x），证明出F有两个不同的x值的y值相等，则f（x）＝0肯定有根

F（x,y）是线性空间的证明

1）唯一性：

f（x,y）唯一

2）封闭性：

交换律，存在零元素X+Q=X;负元素T-T=Q，这里Q可以表示任意符合f（x，y）中的东西，例如1/X;结合律；恒等率，找到一个“1”的表达式使“1”*f（x，y）=f（x，y）

等比数列和Sn=a1（a-qn）/（1-q）

空间站点到面Ax+By+Cz+D=0的距离

|Ax0+By0+Cz0+D|÷

F（x，y）在Ax＋b变换下的方程。

1）

＝A

＋b。

解除x1与x的关系式

2）将X＝g（x1）带入f（xy）求出变换方程

不收敛。

S（2n）－s（n）的极限是0.5不是0

X1+ax2+bx3+dx4=0通解

1）列矩阵