勾股定理经典例题详细讲解A.docx
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勾股定理经典例题详细讲解A
勾股定理经典例题详解
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．
类型二：
勾股定理的构造应用
1、如图，已知：
在中，，，.求：
BC的长.
2.如图，已知：
，，于P.求证：
.
3.已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
类型三：
勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
4、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？
请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
（二）用勾股定理求最短问题
6、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
7.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
类型四：
利用勾股定理作长为的线段
8、作长为、、’的线段。
9、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
10.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
11.已知:
△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角形.
12.如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且
。
请问FE与DE是否垂直?
请说明。
13、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
14、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。
15.如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
16、矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的长。
17、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求
（1）DE的长；
（2）EF的长。
18.如图
，
分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
19.如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，
把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
20、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
21、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
22、如图所示，已知在
ABC中，AB=AC，
BAC=
，D是BC上任一点，求证：
BD
。
答案:
1. 思路点拨：
由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有
，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解析：
作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）
∴（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在中，
.
根据勾股定理，在中，
.
∴.
总结升华：
利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.
2. 思路点拨:
图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.
解析：
连结BM，根据勾股定理，在中，
.
而在中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵（已知），
∴.
在中，根据勾股定理有
，
∴.
3. 分析：
如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
4.思路点拨：
把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。
解析：
（1）过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得：
BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
（2）在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
总结升华：
本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。
本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。
5.思路点拨：
（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。
（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：
作AB⊥MN，垂足为B。
在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，
∴AB＝AP＝80。
（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100（m），
由勾股定理得：
BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100（m），BD＝60（m）,
∴CD＝120（m）。
拖拉机行驶的速度为:
18km/h＝5m/s
t＝120m÷5m/s＝24s。
答：
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
6.思路点拨：
解答本题的思路是：
最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
解析：
设正方形的边长为1，则图
（1）、图
（2）中的总线路长分别为
AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3
图（3）中，在Rt△ABC中
同理
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH
由∠FBH＝ 及勾股定理得：
EA＝ED＝FB＝FC＝
∴EF＝1－2FH＝1－
∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞2.828>2.732
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．
总结升华：
在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．
7. 解：
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm， 根据勾股定理得
（提问：
勾股定理）
∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
答：
最短路程约为１０．７７cm．
8. 思路点拨：
由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。
作法：
如图所示
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。
斜边为；
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是
、、、。
总结升华：
（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；
（2）取单位长时可自定。
一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
解析：
可以把看作是直角三角形的斜边，，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：
如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。
9.思路点拨：
要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解析：
由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。
∵（a-3）2≥0,（b-4）2≥0,（c-5）2≥0。
∴a=3，b=4，c=5。
∵32+42=52,
∴a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
总结升华：
勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
10.【答案】：
连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
11.分析:
本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:
a2+b2=c2即可
证明：
所以△ABC是直角三角形.
12【答案】答：
DE⊥EF。
证明：
设BF=a，则BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,
∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF（如图）
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴DF2=EF2+DE2,
∴FE⊥DE。
13思路点拨：
现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．
解：
连接AD．
因为∠BAC=90°，AB=AC． 又因为AD为△ABC的中线，
所以AD=DC=DB．AD⊥BC．
且∠BAD=∠C=45°．
因为∠EDA+∠ADF=90°． 又因为∠CDF+∠ADF=90°．
所以∠EDA=∠CDF． 所以△AED≌△CFD（ASA）．
所以AE=FC=5．
同理：
AF=BE=12．
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。
总结升华：
此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。
通过此题，我们可以了解：
当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
14 思路点拨：
由，再找出、的关系即可求出和的值。
解：
在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
则，由勾股定理，得。
因为，所以，
，，。
总结升华：
在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
15. 解：
因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，
所以。
所以。
设，则。
在Rt△ECF中，，即，解得。
即EF的长为5cm。
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