全国中考数学试题分类解析汇编159套63专题专题37 三角形全等.docx

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全国中考数学试题分类解析汇编159套63专题专题37三角形全等

2012年全国中考数学试题分类解析汇编（159套63专题）

专题37：

三角形全等

一、选择题

1.（2012海南省3分）图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断不正确的是【】

A．△ABD≌△CBDB．△ABC≌△ADCC．△AOB≌△COBD．△AOD≌△COD

【答案】B。

【考点】全等三角形的判定，轴对称的性质。

【分析】根据轴对称的性质，知△ABD≌△CBD，△AOB≌△COB，△AOD≌△COD。

由于AB≠AD，从而△ABC和△ADC不全等。

故选B。

2.（2012四川巴中3分）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件

是【】

A.AB=ACB.∠BAC=90°C.BD=ACD.∠B=45°

【答案】A。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】添加AB=AC，符合判定定理HL。

而添加∠BAC=90°，或BD=AC，或∠B=45°，不能使△ABD≌△ACD。

故选A。

3.（2012贵州贵阳3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是【】

A．∠BCA=∠FB．∠B=∠EC．BC∥EFD．∠A=∠EDF

【答案】B。

【考点】全等三角形的判定。

190187。

【分析】应用全等三角形的判定方法逐一作出判断：

A、由AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

B、由AB=DE，BC=EF和∠B=∠E构成SAS，符合全等的条件，能推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；

C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA。

由AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

D、由AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误。

故选B。

4.（2012山东泰安3分）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【】

　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1

【答案】D。

【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。

【分析】连接DE并延长交AB于H，

∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。

∵E是AC中点，∴DE=EH。

∴△DCE≌△HAE（AAS）。

∴DE=HE，DC=AH。

∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线。

∴EF=

BH。

∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。

∴EF=1。

故选D。

5.（2012山东淄博4分）已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是【】

（A）两条边长分别为4，5，它们的夹角为β

（B）两个角是β，它们的夹边为4

（C）三条边长分别是4，5，5

（D）两条边长是5，一个角是β

【答案】D。

【考点】全等三角形的判定，等腰三角形的性质。

【分析】（A）由SAS知两三角形全等：

（B）由ASA知两三角形全等：

（C）由SSS知两三角形全等：

（D）当顶角为β时，两三角形不一定全等。

故选D。

6.

6.（2012广西柳州3分）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果

△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是【】

A．PO　　　　　B．PQC．MO　　　　　D．MQ

【答案】B。

【考点】全等三角形的应用。

【分析】根据全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长。

故选B。

7.（2012广西玉林、防城港3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有【】

A.4对B.6对.C.8对D.10对

【答案】C。

【考点】菱形的性质，全等三角形的判定。

【分析】根据菱形四边形等，对角线互相垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答案：

由四个直角坐标三角形可组成6对全等三角形：

△ABO≌△ADO、△ABO≌△CBO、

△ABO≌△CDO、△AOD≌△COB、△AOD≌△COD、△DOC≌△BOC；

两条对角分菱形可组成2对全等三角形：

△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC。

共8对。

故选C。

二、填空题

1.（2012山东临沂3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=▲cm．

【答案】3。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°。

∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°。

∴∠ECF=∠B，

在△ABC和△FEC中，∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°，

∴△ABC≌△FEC（ASA）。

∴AC=EF。

∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm。

2.（2012山东潍坊3分）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件▲，使ΔABC≌ΔDBE．（只需添加一个即可）

【答案】∠BDE=∠BAC（答案不唯一）。

【考点】全等三角形的判定，开放型。

【分析】根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“ASA”“SAS”“AAS”分别写出第三个条件即可：

∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠ABC=∠DBE。

∵AB=DB，

∴①用“ASA”，需添加∠BDE=∠BAC；

②用“SAS”，需添加BE=BC；

③用“AAS”，需添加∠ACB=∠DEB。

3.（2012甘肃白银4分）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是▲．（只需填一个即可）

【答案】∠A=∠F（答案不唯一）。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加AC∥EF得夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加BC=DE，利用SSS可证全等。

（答案不唯一）

4.（2012青海省2分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是▲（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．

【答案】∠ADC=∠AEB（答案不唯一）。

【考点】开放型，全等三角形的判定。

【分析】∵∠A=∠A，AE=AD，

∴添加：

∠ADC=∠AEB（ASA），∠B=∠C（AAS），AB=AC（SAS），∠BDO=∠CEO（ASA）可得△ABE≌△ACD。

故填：

∠ADC=∠AEB或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO。

5.（2012黑龙江牡丹江3分）如图．点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．请写出图中的全等三角形▲（写出一对即可）．

【答案】△ABD≌△ACE（答案不唯一）。

【考点】开放型，等腰三角形的性质，全等三角形的判定。

【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，则

∵AB=AC，AD=AE（已知），

∴BH=CH，DH=EH（等腰三角形三线合一）。

∴BH－DH=CH-EH，即BD=CE。

∴△ABD≌△ACE（SSS）。

还可得△ABE≌△ACD（SSS）。

6.（2012黑河、黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，己知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是▲（填一个即可）

【答案】AB=DC（答案不唯一）。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】∵AC=BD，BC是公共边，

∴要使△ABC≌△DCB，需添加：

①AB=DC（SSS）或②∠ACB=∠DBC（SAS）。

三、解答题

2.（2012广东佛山6分）如图，已知AB=DC，DB=AC

（1）求证：

∠ABD=∠DCA，注：

证明过程要求给出每一步结论成立的依据．

（2）在

（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？

【答案】证明：

（1）连接AD，

在△BAD和△CDA中，

∵AB=CD（已知），DB=AC（已知），AD=AD（公共边），

∴△BAD≌△CDA（SSS）。

∴∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等）。

（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】

（1）连接AD，证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论；

（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形。

3.（2012广东广州9分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：

BE=CD．

【答案】证明：

∵在△ABE和△ACD中，∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C．

∴△ABE≌△ACD（ASA）。

∴BE=CD。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】由已知和∠A=∠A，根据ASA证△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质即可求出答案。

4.（2012浙江绍兴8分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于

EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M。

（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；

（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：

△ACN≌△MCN。

【答案】

（1）解：

∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°。

又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°。

由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠AMB=

∠CAB=33°。

（2）证明：

∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，

∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA。

∴∠CAN=∠CMN。

又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC。

在△ACN和△MCN中，

∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）。

【考点】平行的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定。

【分析】

（1）由作法知，AM是∠ACB的平分线，由AB∥CD，根据两直线平行同旁内角互补的性质，得∠CAB=66°，从而求得∠MAB的度数。

（2）要证△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共边，故只要再有一边或一角相等即可，考虑到AB∥CD和AM是∠ACB的平分线，有∠CAN=∠MAB=∠CMN。

从而得证。

5.（2012江苏常州5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，

求证：

∠DBC=∠DCB。

【答案】证明：

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。

又∵AB=AC，AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SAS）。

∴BD=CD。

∴∠DBC=∠DCB。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。

【分析】由已知，根据SAS可证△BAD≌△CAD，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得BD=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠DBC=∠DCB。

6.（2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。

（1）求证：

△ADE≌△BFE；

（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。

【答案】解：

（1）证明：

∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。

∵E是AB的中点，∴AE=BE。

又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。

（2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF。

理由如下：

∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，

∴∠GDF=∠BFE（等量代换）。

∴GD=GF（等角对等边）。

又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。

∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】

（1）由已知，应用AAS即可证明△ADE≌△BFE。

（2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由

（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。

根据等腰三角形三线合一的性质可得EG⊥DF。

7.（2012广东河源6分）如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD交于点O，E是AD的中点，连接OE．

（1）求证：

△AOD≌△DOC；

（2）求∠AEO的度数．

【答案】解：

（1）证明：

在△AOB和△COD中，∵∠B＝∠C，∠AOB=∠DOC，AB=DC，

∴△AOB≌△COD（AAS）。

（2）∵△AOB≌△COD，∴AO=DO。

∵E是AD的中点，∴OE⊥AD。

∴∠AEO=90°。

【考点】对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。

【分析】

（1）由已知可以利用AAS来判定其全等；

（2）根据全等三角形对应边相等的性质得AO=DO，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求得∠AEO=90°。

8.（2012福建厦门6分）已知：

如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，且AC∥DF.

求证：

△ABC≌△DEF.

【答案】证明：

∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE。

又∵∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△EDF（ASA）。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定。

【分析】利用ASA证明两三角形全等即可。

9.（2012福建福州7分）如图，点E、F在AC上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF．求证：

△ABF≌△CDE．

【答案】证明：

∵AB∥CD，∴∠A＝∠C。

∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE。

又∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE（SAS）。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定。

10.（2012湖北武汉6分）如图CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB，求证：

DE＝AB．

【答案】证明：

∵∠DCA=∠ECB，∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE。

∴∠DCE=∠ACB。

∵在△DCE和△ACB中，DC=AC，∠DCE=∠ACB，CE=CB，

∴△DCE≌△ACB（SAS）。

∴DE=AB。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案。

11.（2012湖北十堰6分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：

∠B=∠D．

【答案】证明：

连接AC，

在△ABC和△ADC中，

∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）。

∴∠B=∠D。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】连接AC，由于AB=AD，CB=CD，AC=AC，由SSS可证△ABC≌△ADC，于是∠B=∠D。

12.（2012四川宜宾6分）如图，点A．B．D．E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：

AC=EF．

【答案】证明：

∵AD=EB∴AD﹣BD=EB﹣BD，即AB=ED。

又∵BC∥DF，∴∠CBD=∠FDB。

∴∠ABC=∠EDF。

又∵∠C=∠F，∴△ABC≌△EDF（AAS）。

∴AC=EF。

【考点】平行的性质，补角的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据BC∥DF证得∠CBD=∠FDB，利用邻角的补角相等证得∠ABC=∠EDF，然后根据AD=EB得到AB=CD，利用AAS证明两三角形全等即可。

13.（2012辽宁铁岭12分）已知：

在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25，BC=32.连接BD，

AE⊥BD，垂足为E.

（1）求证：

△ABE∽△DBC;

（2）求线段AE的长.

【答案】解：

（1）证明：

∵AB=AD=25，∴∠ABD=∠ADB。

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC。

∴∠ABD=∠DBC。

∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠C=90°。

∴△ABE∽△DBC。

（2）∵AB=AD，又AE⊥BD，∴BE=DE。

∴BD=2BE。

由△ABE∽△DBC，得

。

∵AB=AD=25，BC=32，∴

，解得BE=20。

∴

。

【考点】直角梯形的性质，等腰三角形的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】

（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又∵∠AEB=∠C=90°，利用“AA”可证△ABE∽△DBC。

（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE。

14.（2012贵州铜仁10分）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：

△ADE≌△CBF．

【答案】证明：

∵AE∥CF，∴∠AED=∠CFB。

∵DF=BE，∴DF+EF=BE+EF，即DE=BF。

∵在△ADE和△CBF中，AE=CF，∠AED=∠CFB，DE=BF，

∴△ADE≌△CBF（SAS）。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定。

【分析】利用平行线的性质得出∠AED=∠CFB，由DF=BE根据等量加等量和相等得出DE=BF，利用SAS即可证出结论。

15.（2012山东滨州12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．

（1）求证：

△ADF≌△CBE；

（2）求正方形ABCD的面积；

（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3

表示正方形ABCD的面积S．

【答案】解：

（1）证明：

在Rt△AFD和Rt△CEB中，

∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）。

（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH。

又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°，∴△ABH≌△BCE（AAS）。

同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF。

∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×

×2×1+1+1=5。

（3）由

（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，

由

（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，

∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×

（h1+h2）•h1+h22=2h12+2h1h2+h22．

【考点】全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。

【分析】

（1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB。

（2）由AAS定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF即可得出结论。

（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根据

（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知

S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，从而得出结论。

16.（2012山东莱芜9分）某市规划局计划在一坡角为16º的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意

图如图所示．已知支架AC与斜坡AB的夹角为28º，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O

的圆心，AB＝12m，⊙O的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离（结果精确到0.01m，参考

数据：

cos28º≈0.9，sin62º≈0.9，sin44º≈0.7，cos46º≈0.7）．

【答案】解：

如图，过点O作水平地面的垂线，垂足为点E。

在Rt△AOB中，

，即

，

∴

。

∵∠BAE=160，∴∠OAE=280＋160=440。

在Rt△AOE中，

，即

，

∴

9.333＋1.5=10.833≈10.83（m）。

答：

雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83m。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】如图，过点O作水平地面的垂线，构造Rt△AOE。

解Rt△AOB，求出OA；解Rt△AOE，求出OE，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。

6.（2012山东聊城7分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？

（参考数据：

sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，

≈1.41，

≈1.73）

【答案】解：

作PD⊥AB于点D，

由已知得PA=200米，∠APD=30°，∠B=37°，

在Rt△PAD中，

由cos30°=

，得PD=PAcos30°=200×

=100

（米）。

在Rt△PBD中，

由sin37°=

，得PB=

（米）。

答：

小亮与妈妈的距离约为288米。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数。

【分析】作PD⊥AB于点D，分别在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得结论。

7.（2012山东青岛8分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，

教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影

子F与墙角C有13m的距离（B、F、C在一条直线上）．

（1）求教学楼AB的高度；

（2）学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．

（参考数据：

sin22º≈

，cos22º≈

，tan22º≈

）

【答案】解：

（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M。

设AB为x．

在Rt△ABF中，∠AFB=45°，

∴BF=AB=x。

∴BC=BF＋FC=x＋13。

在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2，

又∵

，∴

，解得：

x≈12。

∴教学楼的高12m。

（2）由

（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25。

在Rt△AME中，

，

∴AE=MEcos22°≈

。

∴A、E之间的距离约为27m。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】

（1）首先构造直角三角形△AEM，利用

，求出即可。

（2）利用Rt△AME中，

，求出AE即可。

17.（2012山东枣庄8分）已知：

如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．

（1）求证：

AB＝BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：

BE＝AE＋CD．

【答案】解：

（1）证明：

连接AC。

∵