一元二次方程组卷及解析.docx

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一元二次方程组卷及解析

一元二次方程的应用

 一.选择题(共10小题)

1.(2012•南宁)某单位要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排10场比赛,则参加比赛的球队应有(  )

 

A.

7队

B.

6队

C.

5队

D.

4队

 2.(2011•黄石)平面上不重合的两点确定一条直线,不同三点最多可确定3条直线,若平面上不同的n个点最多可确定21条直线.则n的值为(  )

 

A.

5

B.

6

C.

7

D.

8

 3.(2010•毕节地区)有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了(  )个人.

 

A.

12

B.

11

C.

10

D.

9

 4.(2010•本溪)为执行“两免一补”政策,丹东地区2007年投入教育经费2500万元,预计2009年投入3600万元,则这两年投入教育经费的平均增长率为(  )

 

A.

10%

B.

20%

C.

30%

D.

15%

 5.(2009•恩施州)某种衬衣的价格经过连续两次降价后,由每件150元降至96元,平均每次降价的百分率是(  )

 

A.

20%

B.

27%

C.

28%

D.

32%

 6.(2008•遵义)如图,矩形ABCD的周长是20cm,以AB,CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2,那么矩形ABCD的面积是(  )

 

A.

21cm2

B.

16cm2

C.

24cm2

D.

9cm2

 7.从正方形的铁片上,截去2cm宽的一条长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是(  )

 

A.

96cm2

B.

64cm2

C.

54cm2

D.

52cm2

 8.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加了39cm2,这个正方形的边长为(  )

 

A.

5cm

B.

6cm

C.

8cm

D.

10cm

 9.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如图所示,它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2.则花边的宽是(  )

 

A.

2m

B.

1m

C.

1.5m

D.

0.5m

 10.有一块长32cm,宽24cm的长方形纸片,在每个角上截去相同的正方形,再折起来做成一个无盖的盒子,已知盒子的底面积是原纸片面积的一半,则盒子的高是(  )

 

A.

3cm

B.

2cm

C.

5cm

D.

4cm

 二.填空题(共11小题)

11.(2012•大连)如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,那么k的值为 _________ .

 12.(2011•潍坊)已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF丄CD,垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,則AE的长为 _________ .

13.(2011•綦江县)一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米,坡角∠A=30°,∠B=90°,BC=6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE= _________ 米时,有DC2=AE2+BC2.

14.(2011•宿迁)如图,邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2,则AB的长度是 _________ m(可利用的围墙长度超过6m).

15.(2010•鞍山)有一块长30cm,宽20cm的纸板,要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔,并且四周宽度相等,则这个框的宽应为 _________ cm.

 

16.(2007•宁夏)一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条,剩下的面积是54cm2,则原来这块钢板的面积是 _________ cm2.

 17.(2006•泉州)菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长为 _________ .

 18.(2000•海南)某初三一班学生上军训课,把全班人数

的排成一列,这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看,此班有学生 _________ 人.

 19.(1999•西安)用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子,框子的面积是625cm2,则这个框子的长为 _________ cm,宽为 _________ cm.

 20.一个QQ群里有若干个好友,每个好友都分别给群里其它好友发送一条消息,这样共有870条消息,则这个QQ群里有 _________ 个好友.

 21.一个凸多边形共有9条对角线,则这个多边形的边数是 _________ .

 三.解答题(共9小题)

22.(2012•湘潭)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2.

23.(2012•山西)山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:

(1)每千克核桃应降价多少元?

(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?

 

24.(2012•乐山)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售.

(1)求平均每次下调的百分率;

(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:

方案一:

打九折销售;

方案二:

不打折,每吨优惠现金200元.

试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.

 

25.(2012•河池)随着人们环保意识的不断增强,我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计,某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆,2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.

(1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同,则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆?

(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资3万元再建若干个停车位,据测算,建造费用分别为室内车位1000元/个,露天车位200元/个.考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,则该小区最多可建两种车位各多少个?

试写出所有可能的方案.

 

26.(2012•绍兴)小明和同桌小聪在课后复习时,对课本“目标与评定”中的一道思考题,进行了认真的探索.

【思考题】如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?

(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整:

解:

设点B将向外移动x米,即BB1=x,

则B1C=x+0.7,A1C=AC﹣AA1=

﹣0.4=2

而A1B1=2.5,在Rt△A1B1C中,由

+

=

得方程 _________ ,

解方程得x1= _________ ,x2= _________ ,

∴点B将向外移动 _________ 米.

(2)解完“思考题”后,小聪提出了如下两个问题:

【问题一】在“思考题”中,将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”,那么该题的答案会是0.9米吗?

为什么?

【问题二】在“思考题”中,梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离,有可能相等吗?

为什么?

请你解答小聪提出的这两个问题.

 

27.(2012•南京)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量有如下关系:

若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内(含10部),每部返利0.5万元;销售量在10部以上,每部返利1万元.

(1)若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为 _________ 万元;

(2)如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少部汽车?

(盈利=销售利润+返利)

 

28.(2012•广元)某中心城市有一楼盘,开发商准备以每平方米7000元价格出售,由于国家出台了有关调控房地产的政策,开发商经过两次下调销售价格后,决定以每平方米5670元的价格销售.

(1)求平均每次下调的百分率;

(2)房产销售经理向开发商建议:

先公布下调5%,再下调15%,这样更有吸引力,请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠?

为什么?

 

29.(2011•新疆)某商场推销一种书包,进价为30元,在试销中发现这种书包每天的销售量P(个)与每个书包销售价x(元)满足一次函数关系式.当定价为35元时,每天销售30个;定价为37元时,每天销售26个.问:

如果要保证商场每天销售这种书包获利200元,求书包的销售单价应定为多少元?

 

30.(2011•贵港)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2008年底该市汽车拥有量为75万辆,而截止到2010年底,该市的汽车拥有量已达108万辆.

(1)求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率;

(2)为了保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆;另据统计,从2011年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同,请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆.

 

参考答案与试题解析

 一.选择题(共10小题)

1.(2012•南宁)某单位要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排10场比赛,则参加比赛的球队应有(  )

 

A.

7队

B.

6队

C.

5队

D.

4队

解答:

解:

设邀请x个球队参加比赛,

依题意得1+2+3+…+x﹣1=10,

=10,

∴x2﹣x﹣20=0,

∴x=5或x=﹣4(不合题意,舍去).

故选C.

 2.(2011•黄石)平面上不重合的两点确定一条直线,不同三点最多可确定3条直线,若平面上不同的n个点最多可确定21条直线.则n的值为(  )

 

A.

5

B.

6

C.

7

D.

8

解答:

解:

设有n个点时,

=21

n=7或n=﹣6(舍去).

故选C.

3.(2010•毕节地区)有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了(  )个人.

 

A.

12

B.

11

C.

10

D.

9

解答:

解:

设每轮传染中平均一个人传染了x个人,依题意得1+x+x(1+x)=121,即(1+x)2=121

解方程得x1=10,x2=﹣12(舍去)

故选C.

4.(2010•本溪)为执行“两免一补”政策,丹东地区2007年投入教育经费2500万元,预计2009年投入3600万元,则这两年投入教育经费的平均增长率为(  )

 

A.

10%

B.

20%

C.

30%

D.

15%

解答:

解:

根据题意2008年为2500(1+x),2009年为2500(1+x)(1+x).

则2500(1+x)(1+x)=3600

解得x=0.2

故这两年投入教育经费的平均增长率为20%.

故选B.

5.(2009•恩施州)某种衬衣的价格经过连续两次降价后,由每件150元降至96元,平均每次降价的百分率是(  )

 

A.

20%

B.

27%

C.

28%

D.

32%

解答:

解:

设平均每次降价的百分率为x,

则可以得到关系式:

150×(1﹣x)2=96

x=0.2或1.8

x=1.8不符合题意,舍去,

故x=0.2

答:

平均每次降价的百分率是20%.

故选A.

6.(2008•遵义)如图,矩形ABCD的周长是20cm,以AB,CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2,那么矩形ABCD的面积是(  )

 

A.

21cm2

B.

16cm2

C.

24cm2

D.

9cm2

解答:

解:

设AB=xcm,AD=(10﹣x)cm,则正方形ABEF的面积为x2cm2,正方形ADGH的面积为(10﹣x)2cm2,

根据题意得x2+(10﹣x)2=68

整理得x2﹣10x+16=0

解之得x1=2,x2=8

所以AB=2cm,AD=8cm或AB=8cm,AD=2cm,

综上可求矩形ABCD的面积是16cm2.

故选B

7.从正方形的铁片上,截去2cm宽的一条长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是(  )

 

A.

96cm2

B.

64cm2

C.

54cm2

D.

52cm2

解答:

解:

设正方形的边长是xcm,根据题意得x(x﹣2)=48,

解得x1=﹣6(舍去),x2=8,

那么原正方形铁片的面积是8×8=64cm2.

故选B.

8.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加了39cm2,这个正方形的边长为(  )

 

A.

5cm

B.

6cm

C.

8cm

D.

10cm

解答:

解:

设这个正方形原来的边长为x,则x2+39=(x+3)2

解得x=5,故选A.

9.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如图所示,它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2.则花边的宽是(  )

 

A.

2m

B.

1m

C.

1.5m

D.

0.5m

解答:

解:

设花边的宽为x,则地毯的长为8﹣2x,宽为5﹣2x,根据题意列方程得

(8﹣2x)(5﹣2x)=18

解得x1=1,x2=5.5(不符合题意,舍去).

所以,花边的宽为1m.故选B.

10.有一块长32cm,宽24cm的长方形纸片,在每个角上截去相同的正方形,再折起来做成一个无盖的盒子,已知盒子的底面积是原纸片面积的一半,则盒子的高是(  )

 

A.

3cm

B.

2cm

C.

5cm

D.

4cm

解答:

解:

设盒子的高为xcm,

则其底面长为(32﹣2x)cm,宽为(24﹣2x)cm,

底面面积为(32﹣2x)(24﹣2x)cm2.

则(32﹣2x)(24﹣2x)=

×32×24

整理,得x2﹣28x+96=0

解之,得x1=4,x2=24.

当x=24时不合题意,应舍去.

故选D.

二.填空题(共11小题)

11.(2012•大连)如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,那么k的值为 ±6 .

解答:

解:

∵方程有两相等的实数根,

∴△=b2﹣4ac=k2﹣36=0,

解得k=±6.

故答案为±6.

12.(2011•潍坊)已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF丄CD,垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,則AE的长为 

 .

解答:

解:

设AE的长为x,则BE的长为a﹣x

根据题意得:

x2=(a﹣x)•a,

∴x2+ax﹣a2=0,

x=

=

解得:

x=

故答案为:

13.(2011•綦江县)一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米,坡角∠A=30°,∠B=90°,BC=6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE= 

 米时,有DC2=AE2+BC2.

解答:

解:

如图,连接CD,

假设AE=x,可得EC=12﹣x,

∵坡角∠A=30°,∠B=90°,BC=6米,

∴AC=12米,

∵正方形DEFH的边长为2米,即DE=2米,

∴DC2=DE2+EC2=4+(12﹣x)2,

AE2+BC2=x2+36,

∵DC2=AE2+BC2,

∴4+(12﹣x)2=x2+36,

解得:

x=

米.

故答案为:

14.(2011•宿迁)如图,邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2,则AB的长度是 1 m(可利用的围墙长度超过6m).

解答:

解:

设AB长为x米,则BC长为(6﹣2x)米.

依题意,得x(6﹣2x)=4.

整理,得x2﹣3x+2=0.

解方程,得x1=1,x2=2.(3分)

所以当x=1时,6﹣2x=4;

当x=2时,6﹣2x=2(不符合题意,舍去).

答:

AB的长为1米.

故答案为:

1.

15.(2010•鞍山)有一块长30cm,宽20cm的纸板,要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔,并且四周宽度相等,则这个框的宽应为 5 cm.

解答:

解:

设这个框的宽应为xcm.

依题意有(30﹣2x)(20﹣2x)=200

即x2﹣25x+100=0.

解得x1=5,x2=20(不合题意舍去).

故这个框的宽应为5cm.

16.(2007•宁夏)一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条,剩下的面积是54cm2,则原来这块钢板的面积是 81 cm2.

解答:

解:

设正方形的边长为x,

根据题意得:

x2﹣3x=54,

解得x=9或﹣6(不合题意,舍去).

故这块钢板的面积是x2=9×9=81cm2.

17.(2006•泉州)菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长为 16 .

解答:

解:

∵解方程x2﹣7x+12=0

得:

x=3或4

∵对角线长为6,3+3=6,不能构成三角形;

∴菱形的边长为4.

∴菱形ABCD的周长为4×4=16.

18.(2000•海南)某初三一班学生上军训课,把全班人数

的排成一列,这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看,此班有学生 56 人.

解答:

解:

设班级学生x人,依题意,得

x)2+7=x,

整理,得x2﹣64x+448=0,

解得x1=56,x2=8,

当x=8时,

x=1,1人不能成为方阵,舍去,

答:

此班有学生56人.

19.(1999•西安)用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子,框子的面积是625cm2,则这个框子的长为 25 cm,宽为 25 cm.

解答:

解:

设这个框子的长为xcm,宽为(50﹣x)cm,则

x(50﹣x)=625

x2﹣50x+625=0

解得

x1=x2=25

答:

这个框子的长为25cm,宽为25cm.

20.一个QQ群里有若干个好友,每个好友都分别给群里其它好友发送一条消息,这样共有870条消息,则这个QQ群里有 30 个好友.

解答:

解:

设有x个好友,依题意,

x(x﹣1)=870,

整理,得x2﹣x﹣870=0,(x﹣30)(x+29)=0

解得:

x1=30,x2=﹣29(舍去)

答:

QQ群里共有30个好友.

21.一个凸多边形共有9条对角线,则这个多边形的边数是 6 .

解答:

解:

设多边形有n条边,

=9,

解得n1=6,n2=﹣3(舍去),

故这个多边形的边数为6.

三.解答题(共9小题)

22.(2012•湘潭)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2.

解答:

解:

设AB=xm,则BC=(50﹣2x)m.

根据题意可得,x(50﹣2x)=300,

解得:

x1=10,x2=15,

当x=10,BC=50﹣10﹣10=30>25,

故x1=10(不合题意舍去),

答:

可以围成AB的长为15米,BC为20米的矩形.

23.(2012•山西)山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:

(1)每千克核桃应降价多少元?

(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?

解答:

(1)解:

设每千克核桃应降价x元.…1分

根据题意,得(60﹣x﹣40)(100+

×20)=2240.…4分

化简,得x2﹣10x+24=0解得x1=4,x2=6.…6分

答:

每千克核桃应降价4元或6元.…7分

(2)解:

(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.

因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.…8分

此时,售价为:

60﹣6=54(元),

.…9分

答:

该店应按原售价的九折出售.…10分

24.(2012•乐山)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售.

(1)求平均每次下调的百分率;

(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:

方案一:

打九折销售;

方案二:

不打折,每吨优惠现金200元.

试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.

解答:

(1)设平均每次下调的百分率为x.

由题意,得5(1﹣x)2=3.2.

解这个方程,得x1=0.2,x2=1.8.

因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,

符合题目要求的是x1=0.2=20%.

答:

平均每次下调的百分率是20%.

(2)小华选择方案一购买更优惠.

理由:

方案一所需费用为:

3.2×0.9×5000=14400(元),

方案二所需费用为:

3.2×5000﹣200×5=15000(元).

∵14400<15000

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