一元二次方程组卷及解析.docx
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一元二次方程组卷及解析
一元二次方程的应用
一．选择题（共10小题）
1．（2012•南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ）
A．
7队
B．
6队
C．
5队
D．
4队
2．（2011•黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线．则n的值为（ ）
A．
5
B．
6
C．
7
D．
8
3．（2010•毕节地区）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（ ）个人．
A．
12
B．
11
C．
10
D．
9
4．（2010•本溪）为执行“两免一补”政策，丹东地区2007年投入教育经费2500万元，预计2009年投入3600万元，则这两年投入教育经费的平均增长率为（ ）
A．
10%
B．
20%
C．
30%
D．
15%
5．（2009•恩施州）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（ ）
A．
20%
B．
27%
C．
28%
D．
32%
6．（2008•遵义）如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
A．
21cm2
B．
16cm2
C．
24cm2
D．
9cm2
7．从正方形的铁片上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）
A．
96cm2
B．
64cm2
C．
54cm2
D．
52cm2
8．一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加了39cm2，这个正方形的边长为（ ）
A．
5cm
B．
6cm
C．
8cm
D．
10cm
9．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2．则花边的宽是（ ）
A．
2m
B．
1m
C．
1.5m
D．
0.5m
10．有一块长32cm，宽24cm的长方形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是（ ）
A．
3cm
B．
2cm
C．
5cm
D．
4cm
二．填空题（共11小题）
11．（2012•大连）如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，那么k的值为 _________ ．
12．（2011•潍坊）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，則AE的长为 _________ ．
13．（2011•綦江县）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE= _________ 米时，有DC2=AE2+BC2．
14．（2011•宿迁）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 _________ m（可利用的围墙长度超过6m）．
15．（2010•鞍山）有一块长30cm，宽20cm的纸板，要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔，并且四周宽度相等，则这个框的宽应为 _________ cm．
16．（2007•宁夏）一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条，剩下的面积是54cm2，则原来这块钢板的面积是 _________ cm2．
17．（2006•泉州）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为 _________ ．
18．（2000•海南）某初三一班学生上军训课，把全班人数
的排成一列，这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看，此班有学生 _________ 人．
19．（1999•西安）用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积是625cm2，则这个框子的长为 _________ cm，宽为 _________ cm．
20．一个QQ群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其它好友发送一条消息，这样共有870条消息，则这个QQ群里有 _________ 个好友．
21．一个凸多边形共有9条对角线，则这个多边形的边数是 _________ ．
三．解答题（共9小题）
22．（2012•湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
23．（2012•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
24．（2012•乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：
打九折销售；
方案二：
不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
25．（2012•河池）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．
（1）若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？
试写出所有可能的方案．
26．（2012•绍兴）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．
【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：
设点B将向外移动x米，即BB1=x，
则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=
﹣0.4=2
而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由
+
=
得方程 _________ ，
解方程得x1= _________ ，x2= _________ ，
∴点B将向外移动 _________ 米．
（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？
为什么？
【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？
为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．
27．（2012•南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：
若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 _________ 万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？
（盈利=销售利润+返利）
28．（2012•广元）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：
先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？
为什么？
29．（2011•新疆）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P（个）与每个书包销售价x（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：
如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？
30．（2011•贵港）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2012•南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ）
A．
7队
B．
6队
C．
5队
D．
4队
解答：
解：
设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1=10，
即
=10，
∴x2﹣x﹣20=0，
∴x=5或x=﹣4（不合题意，舍去）．
故选C．
2．（2011•黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线．则n的值为（ ）
A．
5
B．
6
C．
7
D．
8
解答：
解：
设有n个点时，
=21
n=7或n=﹣6（舍去）．
故选C．
3．（2010•毕节地区）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（ ）个人．
A．
12
B．
11
C．
10
D．
9
解答：
解：
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）=121，即（1+x）2=121
解方程得x1=10，x2=﹣12（舍去）
故选C．
4．（2010•本溪）为执行“两免一补”政策，丹东地区2007年投入教育经费2500万元，预计2009年投入3600万元，则这两年投入教育经费的平均增长率为（ ）
A．
10%
B．
20%
C．
30%
D．
15%
解答：
解：
根据题意2008年为2500（1+x），2009年为2500（1+x）（1+x）．
则2500（1+x）（1+x）=3600
解得x=0.2
故这两年投入教育经费的平均增长率为20%．
故选B．
5．（2009•恩施州）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（ ）
A．
20%
B．
27%
C．
28%
D．
32%
解答：
解：
设平均每次降价的百分率为x，
则可以得到关系式：
150×（1﹣x）2=96
x=0.2或1.8
x=1.8不符合题意，舍去，
故x=0.2
答：
平均每次降价的百分率是20%．
故选A．
6．（2008•遵义）如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
A．
21cm2
B．
16cm2
C．
24cm2
D．
9cm2
解答：
解：
设AB=xcm，AD=（10﹣x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10﹣x）2cm2，
根据题意得x2+（10﹣x）2=68
整理得x2﹣10x+16=0
解之得x1=2，x2=8
所以AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm，
综上可求矩形ABCD的面积是16cm2．
故选B
7．从正方形的铁片上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）
A．
96cm2
B．
64cm2
C．
54cm2
D．
52cm2
解答：
解：
设正方形的边长是xcm，根据题意得x（x﹣2）=48，
解得x1=﹣6（舍去），x2=8，
那么原正方形铁片的面积是8×8=64cm2．
故选B．
8．一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加了39cm2，这个正方形的边长为（ ）
A．
5cm
B．
6cm
C．
8cm
D．
10cm
解答：
解：
设这个正方形原来的边长为x，则x2+39=（x+3）2
解得x=5，故选A．
9．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2．则花边的宽是（ ）
A．
2m
B．
1m
C．
1.5m
D．
0.5m
解答：
解：
设花边的宽为x，则地毯的长为8﹣2x，宽为5﹣2x，根据题意列方程得
（8﹣2x）（5﹣2x）=18
解得x1=1，x2=5.5（不符合题意，舍去）．
所以，花边的宽为1m．故选B．
10．有一块长32cm，宽24cm的长方形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是（ ）
A．
3cm
B．
2cm
C．
5cm
D．
4cm
解答：
解：
设盒子的高为xcm，
则其底面长为（32﹣2x）cm，宽为（24﹣2x）cm，
底面面积为（32﹣2x）（24﹣2x）cm2．
则（32﹣2x）（24﹣2x）=
×32×24
整理，得x2﹣28x+96=0
解之，得x1=4，x2=24．
当x=24时不合题意，应舍去．
故选D．
二．填空题（共11小题）
11．（2012•大连）如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，那么k的值为 ±6 ．
解答：
解：
∵方程有两相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=k2﹣36=0，
解得k=±6．
故答案为±6．
12．（2011•潍坊）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，則AE的长为
．
解答：
解：
设AE的长为x，则BE的长为a﹣x
根据题意得：
x2=（a﹣x）•a，
∴x2+ax﹣a2=0，
x=
=
，
解得：
x=
故答案为：
．
13．（2011•綦江县）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=
米时，有DC2=AE2+BC2．
解答：
解：
如图，连接CD，
假设AE=x，可得EC=12﹣x，
∵坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米，
∴AC=12米，
∵正方形DEFH的边长为2米，即DE=2米，
∴DC2=DE2+EC2=4+（12﹣x）2，
AE2+BC2=x2+36，
∵DC2=AE2+BC2，
∴4+（12﹣x）2=x2+36，
解得：
x=
米．
故答案为：
．
14．（2011•宿迁）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 1 m（可利用的围墙长度超过6m）．
解答：
解：
设AB长为x米，则BC长为（6﹣2x）米．
依题意，得x（6﹣2x）=4．
整理，得x2﹣3x+2=0．
解方程，得x1=1，x2=2．（3分）
所以当x=1时，6﹣2x=4；
当x=2时，6﹣2x=2（不符合题意，舍去）．
答：
AB的长为1米．
故答案为：
1．
15．（2010•鞍山）有一块长30cm，宽20cm的纸板，要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔，并且四周宽度相等，则这个框的宽应为 5 cm．
解答：
解：
设这个框的宽应为xcm．
依题意有（30﹣2x）（20﹣2x）=200
即x2﹣25x+100=0．
解得x1=5，x2=20（不合题意舍去）．
故这个框的宽应为5cm．
16．（2007•宁夏）一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条，剩下的面积是54cm2，则原来这块钢板的面积是 81 cm2．
解答：
解：
设正方形的边长为x，
根据题意得：
x2﹣3x=54，
解得x=9或﹣6（不合题意，舍去）．
故这块钢板的面积是x2=9×9=81cm2．
17．（2006•泉州）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为 16 ．
解答：
解：
∵解方程x2﹣7x+12=0
得：
x=3或4
∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；
∴菱形的边长为4．
∴菱形ABCD的周长为4×4=16．
18．（2000•海南）某初三一班学生上军训课，把全班人数
的排成一列，这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看，此班有学生 56 人．
解答：
解：
设班级学生x人，依题意，得
（
x）2+7=x，
整理，得x2﹣64x+448=0，
解得x1=56，x2=8，
当x=8时，
x=1，1人不能成为方阵，舍去，
答：
此班有学生56人．
19．（1999•西安）用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积是625cm2，则这个框子的长为 25 cm，宽为 25 cm．
解答：
解：
设这个框子的长为xcm，宽为（50﹣x）cm，则
x（50﹣x）=625
x2﹣50x+625=0
解得
x1=x2=25
答：
这个框子的长为25cm，宽为25cm．
20．一个QQ群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其它好友发送一条消息，这样共有870条消息，则这个QQ群里有 30 个好友．
解答：
解：
设有x个好友，依题意，
x（x﹣1）=870，
整理，得x2﹣x﹣870=0，（x﹣30）（x+29）=0
解得：
x1=30，x2=﹣29（舍去）
答：
QQ群里共有30个好友．
21．一个凸多边形共有9条对角线，则这个多边形的边数是 6 ．
解答：
解：
设多边形有n条边，
则
=9，
解得n1=6，n2=﹣3（舍去），
故这个多边形的边数为6．
三．解答题（共9小题）
22．（2012•湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
解答：
解：
设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．
根据题意可得，x（50﹣2x）=300，
解得：
x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，
故x1=10（不合题意舍去），
答：
可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．
23．（2012•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
解答：
（1）解：
设每千克核桃应降价x元．…1分
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+
×20）=2240．…4分
化简，得x2﹣10x+24=0解得x1=4，x2=6．…6分
答：
每千克核桃应降价4元或6元．…7分
（2）解：
由
（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．…8分
此时，售价为：
60﹣6=54（元），
．…9分
答：
该店应按原售价的九折出售．…10分
24．（2012•乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：
打九折销售；
方案二：
不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
解答：
解
（1）设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5（1﹣x）2=3.2．
解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：
平均每次下调的百分率是20%．
（2）小华选择方案一购买更优惠．
理由：
方案一所需费用为：
3.2×0.9×5000=14400（元），
方案二所需费用为：
3.2×5000﹣200×5=15000（元）．
∵14400＜15000
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