最新钢管下料数学建模.docx
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最新钢管下料数学建模
最新钢管下料数学建模
关于防盗窗钢管下料最优方案的数学模型
摘要
本文主要是解决在工程施工过程中钢管下料的最优方案，建立相关的数学优化模型，及在遇到原料不能满足我们的生产需要的时候如何建立一个比较优化的方案并能切实可行，并能满足双方的利益最大。
对上述问题的分析，将钢管下料问题简单的分为圆形和方形钢管分别下料，使问题更简化。
同时考虑到原料的价格对我们的选择方案的影响，通过查阅有关资料得知原料的价格与长度成正比。
对圆形钢管原料和订购商所需规格钢管的材料总长的分析可得，原料足以满足所需，主要考虑的是生产厂家在满足订单生产的条件下，使自己所使用的钢管原料的总费用最少，同时满足剩余废料最省作为最终目标。
同理分析得出出方形管原料总长不足以满足订单的生产需要，故我们应先满足订单中规格中米数较长的量。
因为从厂家的利益考虑，规格米数较长额单价更高；而对于订购商来说规格较长的量比规格短的量用途大。
故我们例举出针对圆形或方形的所有可行的下料方案，把用于该方案的钢管数为设定相应的未知数x，同时根据已知条件构建了相应的约束条件，建立了本文中的线性优化模型，最终使用lingo.12计算的出如下结果：
一、圆形钢管分割方案：
对模型一、二分析得出最终使用模型二，具体数据如下：
（分析详见正文）
模式
1.5
1.8
1.2
原料用量
原料总用量
余料
4米
模式三
0
1378
0
689
689
275.6
6米
模式七
500
0
0
125
8999
0
模式八
16000
8000
8000
8000
0
模式十
0
2622
0
874
524.4
总合
16500
12000
8000
9688
9688
800
二、方形钢管分割方案：
模型具体结果如下：
模式
1.4m
1.7m
3m
原料用量（根）
原料总用量（根）
余料（米）
4米
模式三
0
4000
0
2000
2000
1200
6米
模式五
0
0
2000
1000
2000
0
模式八
1600
0
800
800
160
模式九
600
200
0
200
20
总合
2200
4200
2800
4000
4000
1380
【关键词】线性规划费用最省余料最省LINGO12.0
一．问题的提出
某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程，为此购进了一批型号为304的不锈钢钢管，分为方形管和圆形管两种，具体数据如下表：
规格
长4m
长6m
方形管
25×25×1.2（mm）
5000根
9000根
圆形管
Φ19×1.2（mm）
2000根
2000根
根据小区的实际情况，需要截取钢管的规格与数量如下：
圆形管
规格
1.5m
1.8m
1.2m
方形管
规格
1.4m
1.7m
3m
数量（根）
16500
12000
8000
数量（根）
6000
4200
2800
根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案，使得厂家在满足订购商的订单的同时还能使自己所用的原料费最少。
二．问题的分析
通过题目可知，要求我们在题目所给定的条件下，找寻最佳下料方案，使满足各种需要的前提下所使用的原材料的费用、所使用的量和所剩的余料最省。
圆形钢管
原材料的总长：
4*5000+6*9000=74000（米）
订单产品的总长：
1.5*16500+1.8*12000+1.2*8000=55950（米）
方形钢管
原材料的总长：
4*2000+6*2000=20000（米）
订单产品的总长：
1.4*6000+1.7*4200+3*2800=23940（米）
通过计算，分析得出问题中的圆形钢管原料足够多，在使用时主要考虑所使用的原材料的费用、使用量和切割之后的余料最少；而方形管的原材料明显不能满足生产需要，此时应首先考虑切割不同长度的钢管的优先问题。
通过查阅网络资料可得网络上对于304不锈钢钢管的单价是50元/公斤，而相应的
不锈钢管重量公式:
[（外径-壁厚）*壁厚]*0.02491=kg/米（每米的重量）
又因为在我们的原材料中，规格都为Φ19×1.2（mm），所以可得每米的重量都是一定的，故我们可以得到钢管的单价与原材料的长度成正比，即：
米*k=单价（k为每米的单价）
且6米管的单价是6*k，4米的单价是4*k，所以6米管的单价是4米管的6*k/4*k=1.5倍
因此在处理这个问题时对于生产厂家而言，应考虑所生产的成品规格越长利益越大；对于订购商而言，规格长度越大材料的使用性越大。
通过上诉分析可得，应该在原有材料使用完的情况下先满足规格为3米的钢管，其次满足1.7米的钢管，再次生产1.4米的钢管。
然而此类问题属于数学中最优解的求得问题，这是典型的线性优化，故该问题可以建立线性优化方程解决。
三、模型假设与符号说明
3.1模型假设
1、假设钢管切割过程中无原料损耗或损坏；
2、假设所生产的各种规格的钢管不能通过焊接产生；
3、假设同种钢管采用的切割模式数量不限；
4、假设每种钢管的单价相同且与长度成正比；
3.2符号说明
…………………………………………………表示采用第i种模式下切割的钢管数
…………………………………………………表示第i中模式下的第j种规格下的根数
…………………………………………………表示第i种模式下的余料
…………………………………………………表示第j种规格的需求量
…………………………………………………表示使用4米的原料所以使用的根数
…………………………………………………表示使用6米的原料所以使用的根数
…………………………………………………表示生产的1.5米的钢管总数
…………………………………………………表示生产的1.8米的钢管总数
…………………………………………………表示生产的1.2米的钢管总数
五．模型的建立与求解
针对题目的要求我们将钢管下料方案分为圆形钢管和方形钢管两大类，是问题简单化，并建立相应的数学模型。
首先根据题目的已知条件可得要先给4米和6米不同规格的原材料进行分割，因此产生了不同的切割模式，选取最佳的切割模式才是所要求的下料方案。
其中切割所剩的余料必须小于所需切割的最小长度，在条件满足的不同组合的情况下，得知圆形管的切割方案有17种，其中4米管有6种，6米管有11种；方形钢管的切割方案有11种，其中4米管有4种，6米管有7种。
具体切割组合如下：
5.1圆形钢管
5.1.1圆形钢管的切割方案
模式
1.5m
1.8m
1.2m
余料（m）
圆形
4米切割模式
模式一
0
0
3
0.4
模式二
2
0
0
1
模式三
0
2
0
0.4
模式四
0
1
1
1
模式五
1
0
2
0.1
模式六
1
1
0
0.7
6米切割模式
模式七
4
0
0
0
模式八
2
1
1
0
模式九
0
0
5
0
模式十
0
3
0
0.6
模式十一
0
1
3
0.6
模式十二
1
0
3
0.9
模式十三
1
2
0
0.9
模式十四
0
2
2
0
模式十五
3
0
1
0.3
模式十六
2
0
2
0.6
模式十七
1
1
2
0.3
5.1.2圆形钢管的下料模型建立
针对圆形管的切割方案，我们假设原材料采用模式i切割的数量为xi（xi必须为大于1的正整数），那么我们的目标函数即为使生产厂家在完成订单的情况下所使用的原材料最少，同时所使用的原料的费用是最少的，且又因为6米管的原料单价是4米管的1.5倍，所以目标函数是：
min=k*（原料中4米的总根数）+1.5*k*（原料中6米的总根数）
又由已知条件可得，所生产的量必须满足订购商的需要，即1.5m圆管16500根，1.8m圆管12000根，1.2m圆管8000根，因此产生以下三个目标函数的约束条件：
生产规格中所有的1.5米的总根数<=16500
生产规格中所有的1.8米的总根数<=12000
生产规格中所有的1.2米的总根数<=8000
因此可得如下数学模型：
利用lingo12.0编程运算得出最终结果如下表：
（程序代码详见附件一）
模式
1.5
1.8
1.2
原料用量
原料总用量
余料
4米
模式三
0
1378
0
689
689
275.6
6米
模式七
500
0
0
125
8999
0
模式八
16000
8000
8000
8000
0
模式十
0
2622
0
874
524.4
总合
16500
12000
8000
9688
9688
800
表一
且对于模型中用到的钢管每米的单价k进行不同程度改变，得知k的值不会影响生产过程中我们对模式的选择，只会相应的改变原料成本。
又对上表的结果进行分析可得，该模型已经满足生产不同规格的钢管，并且没有多余的生产，但该模型只考虑到所有的原料费用最省，不一定满足所要求的生产订单过后的余料最省，也就是不一定满足原料的使用率最大，故我们对模型进一步优化检验，把目标函数变为：
min=4*（原料中4米的总根数）+6*（原料中6米的总根数）-（订单中所有规格长）
*（订单中相应规格的根数）
最终可得模型如下：
同样用lingo12.0编程运算得出结果如下：
（程序代码详见附件二）
模式
1.5
1.8
1.2
原料用量
原料总用量
余料
4米
模式三
0
1378
0
689
689
275.6
6米
模式七
500
0
0
125
8999
0
模式八
16000
8000
8000
8000
0
模式十
0
2622
0
874
524.4
总合
16500
12000
8000
9688
9688
800
表二
从表一和表二相应结果可得，两张表的结果一模一样。
相应的证明了该切割方案是最优的切割方案，同时也满足是最初的假设，即生产厂家在完成订购商的订单需要的情况下，原材料的使用最少，所产生的费用最少，并且在生产过程种产生的废料最少，废料的总和才800米，同时也满足原料的使用率最大。
因此最佳的切割方案是用689根4米的原材料采用模式三进行切割，125根6米的原材料采用模式七进行切割，8000根6米的原材料采用模式八进行切割，874根6米的原材料采用模式十进行切割，此时刚好满足需要，同时产生的废料为800米。
5.2方形钢管
5.2.1方形钢管的切割方案
模式
1.4m
1.7m
3m
余料（m）
方形管
4米切割模式
模式一
0
0
1
1
模式二
2
0
0
1.2
模式三
0
2
0
0.6
模式四
1
1
0
0.9
6米切割模式
模式五
0
0
2
0
模式六
4
0
0
0.4
模式七
0
3
0
0.9
模式八
2
0
1
0.2
模式九
3
1
0
0.1
模式十
1
2
0
1.2
模式十一
0
1
1
1.3
5.2.1方形钢管余料最少
由于方型钢管所能提供的原材料远远不能满足生产所需，这种情况下，如果还要继续限制我们所用的材料，那么我们就无法满足生产方管的订单需要。
根据问题分析中原材料的单价与它的长度成正比，并对于生产厂家而言，成品规格越长利益越大；对于订购商而言，规格长度越大材料的使用性越大。
又因为：
方管的总量为：
4*2000+6*2000=20000（米）
方管中的规格为1.7米和3米的钢管总长为：
1.7*4200+3*2800=15540（米）
所以可以看出方管总长足以满足规格为3米和1.7米的生产需要，所以严格要求生产规格为3米和1.7米的钢管，对于规格为1.4米的钢管实在无法满足需要，所以只限制它的量必须大于0即可。
故可得：
生产处的规格为3米的总量=2800
生产处的规格为1.7米的总量=4200
生产处的规格为1.4米的总量>0
又因为总量本身不够生产，所以要求方管的所有材料必须用于生产，所以可得：
原料方管中所使用的4米的总根数=2000
原料方管中所使用的6米的总根数=2000
综上分析可得关于余量最省的优化数学模型如下：
同样使用lingo12.0软件编程运算得出如下结果：
（程序代码详见附件三）
模式
1.4m
1.7m
3m
原料用量（根）
原料总用量（根）
余料（米）
4米
模式三
0
4000
0
2000
2000
1200
6米
模式五
0
0
2000
1000
2000
0
模式八
1600
0
800
800
160
模式九
600
200
0
200
20
总合
2200
4200
2800
4000
4000
1380
对模型结果分析可得，该切割方案已是最优，没有成品钢管数的浪费，同时又是满足生产厂家利润最大，同时又是满足订购商的长料利用率较大。
并且生产过程中总共产生1380米废弃材料。
所以最优切割方案是用2000根4米的原材料采用模式三进行切割，1000根6米的原材料采用模式五进行切割，800根6米的原材料采用模式八进行切割，200根6米的原材料采用模式九进行切割。
六．模型的分析与推广
通过线性规划的应用，可以更好的求解一定约束条件下的最优值的求解问题，能够得出最佳合理的答案。
同时线性规划对实际问题的分析与应用较为普遍，容易查找相关资料，同时可见其适于现实问题的求解，例如：
对水管的下料，钢材的切割，电线的切割等，优化之后还能解决玻璃的切割问题等等。
同时枚举法的运用是问题的求解思路更清晰的呈现，此为该模型的优点。
但是切割模式较多，枚举法加大了运算量同时导致问题的解答相对繁杂，也是该模型的明显缺点。
参考文献：
[1]颜文勇，数学建模，高等教育出版社，2011.6
[2]谢金星、薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件，北京，清华大学出版社，2009.12
[3]
附录
附录一：
MODEL:
MIN=k*（X1+X2+X3+X4+X5+X6）+1.5*k*（X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17）;k=50;
2*X2+X5+X6+4*X7+2*X8+X12+X13+X17>=16500;
2*X3+X4+X6+X8+3*X10+X11+2*X13+2*X14+X17>=12000;
X4+2*X5+X8+5*X9+3*X11+3*X12+X15+2*X16+2*X17>=8000;
X1+X2+X3+X4+X5+X6<=5000;
X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X17<=9000;
y1=x1+x2+x3+x4+x5+x6;!
y1是使用4米长的原料所用的根数;
y2=x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x17;!
y2是使用6米长的原料所用的根数;
y3=2*x2+x5+x6+4*x7+2*x8+x12+x13+3*15+2*16+x17;!
y3是切得规格为1.5米钢管的总数;
y4=2*x3+x4+x6+x8+3*x10+x11+2*x13+2*x14+x17;!
y4是切得规格为1.8米钢管的总数;
y5=x4+2*x5+x8+5*x9+3*x12+3*x11+2*14+x15+2*x16+2*x17;!
y5是切得规格为1.2米钢管的总数;
y6=x1*0.4+x2+x3*0.4+x4+x5*0.1+x6*0.7+x7*0+x8*0+x9*0+x10*0.6
+x11*0.6+x12*0.9+x13*0.9+x14*0+x15*0.3+x16*0.6+x17*0.3;!
为满足生产需求产生的余料总和;
@GIN（X1）;@GIN（X2）;@GIN（X3）;@GIN（X4）;@GIN（X5）;@GIN（X6）;@GIN（X7）;
@GIN（X8）;@GIN（X9）;@GIN（X10）;@GIN（X11）;@GIN（X12）;@GIN（X13）;
@GIN（X14）;@GIN（X15）;@GIN（X16）;@GIN（X17）;
END
附录二：
MODEL:
MIN=4*X1+4*X2+4*X3+4*X4+4*X5+4*X6+6*X7+6*X8+6*X9+6*X10+6*X11+6*X12+6*X13+6*X14+6*X15+6*X16+6*X17-55950;
2*X2+X5+X6+4*X7+2*X8+X12+X13+X17>=16500;
2*X3+X4+X6+X8+3*X10+X11+2*X13+2*X14+X17>=12000;
X4+2*X5+X8+5*X9+3*X11+3*X12+X15+2*X16+2*X17>=8000;
X1+X2+X3+X4+X5+X6<=5000;
X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X17<=9000;
y1=x1+x2+x3+x4+x5+x6;!
y1是使用4米长的原料所用的根数;
y2=x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x17;!
y2是使用6米长的原料所用的根数;
y3=2*x2+x5+x6+4*x7+2*x8+x12+x13+3*15+2*16+x17;!
y3是切得规格为1.5米钢管的总数;
y4=2*x3+x4+x6+x8+3*x10+x11+2*x13+2*x14+x17;!
y4是切得规格为1.8米钢管的总数;
y5=x4+2*x5+x8+5*x9+3*x12+3*x11+2*14+x15+2*x16+2*x17;!
y5是切得规格为1.2米钢管的总数;
y6=x1*0.4+x2+x3*0.4+x4+x5*0.1+x6*0.7+x7*0+x8*0+x9*0+x10*0.6
+x11*0.6+x12*0.9+x13*0.9+x14*0+x15*0.3+x16*0.6+x17*0.3;!
为满足生产需求产生的余料总和;
@GIN（X1）;@GIN（X2）;@GIN（X3）;@GIN（X4）;@GIN（X5）;@GIN（X6）;@GIN（X7）;
@GIN（X8）;@GIN（X9）;@GIN（X10）;@GIN（X11）;@GIN（X12）;@GIN（X13）;
@GIN（X14）;@GIN（X15）;@GIN（X16）;@GIN（X17）;
END
附录三：
MODEL:
MIN=4*X1+4*X2+4*X3+4*X4+4*X5+4*X6+6*X7+6*X8+6*X9+6*X10+6*X11+6*X12+6*X13+6*X14+6*X15+6*X16+6*X17-55950;
2*X2+X5+X6+4*X7+2*X8+X12+X13+X17>=16500;
2*X3+X4+X6+X8+3*X10+X11+2*X13+2*X14+X17>=12000;
X4+2*X5+X8+5*X9+3*X11+3*X12+X15+2*X16+2*X17>=8000;
X1+X2+X3+X4+X5+X6<=5000;
X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X17<=9000;
y1=x1+x2+x3+x4+x5+x6;!
y1是使用4米长的原料所用的根数;
y2=x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x17;!
y2是使用6米长的原料所用的根数;
y3=2*x2+x5+x6+4*x7+2*x8+x12+x13+3*15+2*16+x17;!
y3是切得规格为1.5米钢管的总数;
y4=2*x3+x4+x6+x8+3*x10+x11+2*x13+2*x14+x17;!
y4是切得规格为1.8米钢管的总数;
y5=x4+2*x5+x8+5*x9+3*x12+3*x11+2*14+x15+2*x16+2*x17;!
y5是切得规格为1.2米钢管的总数;
y6=x1*0.4+x2+x3*0.4+x4+x5*0.1+x6*0.7+x7*0+x8*0+x9*0+x10*0.6
+x11*0.6+x12*0.9+x13*0.9+x14*0+x15*0.3+x16*0.6+x17*0.3;!
为满足生产需求产生的余料总和;
@GIN（X1）;@GIN（X2）;@GIN（X3）;@GIN（X4）;@GIN（X5）;@GIN（X6）;@GIN（X7）;
@GIN（X8）;@GIN（X9）;@GIN（X10）;@GIN（X11）;@GIN（X12）;@GIN（X13）;
@GIN（X14）;@GIN（X15）;@GIN（X16）;@GIN（X17）;
END
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