函数的奇偶性教案.doc

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1.3.2

（1）函数的奇偶性

【教学目标】

1.理解函数的奇偶性及其几何意义；

2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3.学会判断函数的奇偶性；

【教学重难点】

教学重点：

函数的奇偶性及其几何意义

教学难点：

判断函数的奇偶性的方法与格式

【教学过程】

“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？

提出问题

①如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.

结论：

这两个函数之间的图象都关于y轴对称.

②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？

填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f（x）=x2

表1

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f（x）=|x|

表2

结论：

这两个函数的解析式都满足：

f（-3）=f（3）;f（-2）=f

（2）;f（-1）=f

（1）.

可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x）.

定义：

1．偶函数

一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．

观察函数f（x）=x和f（x）=的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？

2．奇函数

一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．

注意：

1、如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质；

2、根据奇偶性可将函数分为四类：

奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函

数也不是偶函数；

3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；

4、偶函数的图象关于y轴对称,反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数且

奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.

且f（0）=0

5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法用定义判断函数奇偶性的步骤是

（1）、先求定义域，看是否关于原点对称；

（2）、再判断或是否恒成立；

（3）、作出相应结论.

若；

若

例．判断下列函数的奇偶性

（1）为非奇非偶函数

（2）为非奇非偶函数

（3）奇函数

（4）

（5）f（x）=x+；奇函数

（6）奇函数

（7）既是奇函数又是偶函数

（8）为非奇非偶函数

常用结论：

（1）.两个偶函数相加所得的和为偶函数.

（2）.两个奇函数相加所得的和为奇函数.

　　（3）.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

　　（4）.两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

　　（5）.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

　　（6）.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

1.3.2

（2）函数的奇偶性

一．分段函数奇偶性的判断

例1.判断函数的奇偶性：

解：

当＞0时，－＜0，于是

当＜0时，－＞0，于是

综上可知，是奇函数．

练习：

1.证明，是奇函数.

例2.为R上的偶函数，且当时，，则当时，x（x+1）若f（x）是奇函数呢？

二．已知函数的奇偶性求参数值：

例3、已知函数是偶函数，求实数的值．

解：

∵是偶函数，∴恒成立，

即恒成立，

∴恒成立，∴，即．

练习：

1.如果二次函数是偶函数，则　0．

2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a=b=0

三．构造奇偶函数求值

例4、已知函数，若，求的值。

【解】方法一：

由题意得①

　②①＋②得

∵，∴

方法二：

构造函数，则一定是奇函数，又∵

∴因此所以，即．

练习1.已知f（x）＝x7＋ax5＋bx－5，且f（－3）＝5，则f（3）＝（　-15　）

2.若，g（x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，

则f（x）在（－∞，0）上有最小值－1　

单调性与奇偶性

例1．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．

例2.设函数f（x）对任意x，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f

（1）=-1

（1）求证：

f（x）是奇函数

（2）判断f（x）的单调性并证明

（3）试问当-3≤x≤3时f（x）是否有最值？

如果有，求出最值；如果没有说出理由

5、已知函数是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的，都有

（1）、求的值；0，0

（2）、判断函数的奇偶性，并加以证明奇

4、函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是

（B）

A．B.

C.D.