非线性方程和常微分方程的解法.docx
《非线性方程和常微分方程的解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性方程和常微分方程的解法.docx（9页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
非线性方程和常微分方程的解法
非线性方程和常微分方程的解法
非线性方程和常微分方程的解法
实验8非线性方程和常微分方程的解法
一、实验目的
学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。
二、实验内容与要求
1.非线性方程的整值解
（1）最小二乘法
格式：
fsolve（’fun’,x0）%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。
[例1.72]求方程xe0的解。
fc=inline（‘x-exp（-x）’）;
xl=fsolve（fc,0）
xl=
0.5671
问题1.28：
求解方程5xsinx-e0,观察知有多解，如何求之？
先用命令fplot（’5__^2*sin（x）-exp（-x）,0]’,[0,10]）作图1.13，注意5__^2*sin（x）-exp（-x）,0]中的“[，0]”是作y=0直线，即x轴。
方程在[0，10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：
fun=inline（’5__^2*sin（x）-exp（-x）’）;
fsolve（fun,[0,3,6,9],le-6）
得出结果：
ans=
0.59183.14076.28329.4248
【例1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2cosy=02-x-x
y0.7cosx0.2siny0
先编制函数文件fu.m:
functiony=fu（x）
y
（1）=x
（1）-0.7*sin（x
（1））-0.2*cos（x
（2））;
y
（2）=x
（1）-0.7*cos（x
（1））+0.2*sin（x
（2））;
y=[y
（1）,y
（2）];
在命令窗口调用fu运算：
x1=fsolve（‘fu’,[0.5,0.5]）
x1=
0.52650.5079
（2）零点法
格式：
fzero（'fun',x0）%求函数fun在x0附近的零点。
说明：
估计值x0若为标量时，则在x0附近查找零点，x0=[x1,x2]向量时，则首先要求函数值fun（x1）fun（x2）0，然后将严格在[x1,x2]区间内零点，若找不到，系统将给出提示。
非线性方程和常微分方程的解法
【例1.74】求函数f（x）sinx2/xxex4的零点。
fn=inline（'sin（x^2）/x+__exp（x）-4'）;
x=fzero（fn,[1,2]）%这里的fn不要加单引号
x=
1.0748
注意：
方程解的估计值可用fplot作图看出；用function建立函数文件fn，求解调用时
fn两边要加单引号，而用inline时fn两边不要加单引号；这两种方法也可解线性方程组。
⒉代数方程的符号解
格式：
gsolve（eq）%求解方程eq0，输入参量eq可是符号表达式或字符表达式。
gsolve（eq,var）%对eq中指定的变量var求解方程eq（var）0。
gsolve（eq1,eq2,,eqn）%求解方程组eq10,eq20,eqn0。
gsolve（eq1,eq2,eqn,var1,var2,,varn）%对方程组eq1,eq2,eqn中指定的n
个变量加var1,var2,varn求解
【例1.75】
solve（'a__^2+b__+c'）
solve（'a__^2+b__+c','b'）
[x,y]=solve（'x+y=1','x-11*y=5'）
[a,u,v]=solve（'a*u^2+v^2','u-v=1','a^2-5*a+6'）
计算结果为：
ans=
[1/2/a*（-b+（b^2-4*a*c）^（1/2））]
[1/2/a*（-b-（b^2-4*a*c）^（1/2））]
ans=
-（a__^2+c）/x
x=
4/3
y=
-1/3
a=
u=
[1/3+1/3*i*2^（1/2）]
[1/3-1/3*i*2^（1/2）]
[1/4+1/4*i*3^（1/2）]
非线性方程和常微分方程的解法
[1/4-1/4*i*3^（1/2）]
v=
[-2/3+1/3*i*2^（1/2）]
[-2/3-1/3*i*2^（1/2）]
[-3/4+1/4*i*3^（1/2）]
[-3/4-1/4*i*3^（1/2）]
注意：
对于单个的方程或方程组，若不存在符号解，则返回方程（组）的数值解。
问题1.29：
用符号法求解问题1.28中的方程，结果不对，所以要验根，多用几种方法相互验证，用符号法解方程3xe0，解的表达式不易懂，怎么办？
x=solve（'3__^2-exp（x）'）
x=
[-2*lambertw（-1/6*3^（1/2））]
[-2*lambertw（-1,-1/6*3^（1/2））]
[-2*lambertw（1/6*3^（1/2））]
再用命令：
vpa（x,3）
ans=
[.912]
[3.72]
[-.460]
3.常微分方程数值解法
格式：
[T,Y]solver（odefun,tspan,y0）%区间tspan[t0,tf]上，用初始条件y0求解
显示微分方程y'f（t,y）
说明：
solver为命令ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb,之一。
odefun为显示常微分方程y'f（t,y）。
tspan积分区间（即求解区间）的向量tspan[t0,tf]。
要获得问题在其他指的时间点t0,t1,t2上的解，则令tspan[t0,t1,t2tf]（要求是单调的）。
2x
y0包含初始条件的向量。
求解具体ODE的基本过程如下所示。
1根据问题所属学科中的规律、定律、公式，用微分方程与初始条件进行描述。
○（n）F（y,y’,y’’,,y,t）=0（n-1）y（0）=y0,y’（0）=y1,,y（0）=yn-1
而y=[y;y
（1）;y
（2）;;y（m-1）],n与m可以不等。
（n-1）（n-2）2运用数学中的变量替换：
yn=y,yn-1=y,,y2=y’,y1=y,把高阶（大于2阶）的○
方程（组）写成一阶微分方程组：
非线性方程和常微分方程的解法
y10y0y1'f1t,y'ft,yy02y1y22,y..y'..0....n-1yn'ft,yy0ynn
3根据○1与○2的结果，编写能计算导数的M函数文件odefile.○
4将文件odefile与初始条件传递给求解器Solver中的一个，运行后就可得到ODE的、○
在指定时间区间上的解列向量y（其中包含y及不同阶的导数）。
因为没有一种算法可以有效地解决所有的ODE问题，为此，MATLAB提供了多种求解器Solver，对于不同的ODE问题，采用不同的Solver,具体如表1.11所示。
【例1.76】求解微分方程y’=－2y+2x+2x,0QxQ0.5,y（0）=1.
fun=inline（'-2*y+2__^2+2__','x','y'）;
[x,y]=ode23（fun,[0,0.5],1）;
x'
ans=
Columns1through6
00.04000.09000.14000.19000.2400
Columns7through12
0.29000.34000.39000.44000.49000.5000
y'
ans=
Columns1through7
1.00000.92470.84340.77540.71990.67640.6440
Columns8through12
0.62220.61050.60840.61540.6179
【例１．７７】求解描述振荡器的经典的VerderPol微分方程
d2y2dy'2
dt2（1y）dty0,y（0）1,y（0）0.
分析：
令
非线性方程和常微分方程的解法
x1y,x2dy/dt,7,则：
dx1/dtx2
dx2/dt7（1x1^2）x2x1
编写函数文件vdp,m:
functionfy=vdp（t,x）
fy=[x
（2）;7*（1-x
（1）^2）__
（2）-x
（1）];
再在命令窗口中执行：
Y0=[1;0];
[t,x]=ode45（'vdp',[0,40],Y0）;
y=x（:
1）;dy=x（:
2）;
plot（t,y,t,dy）
图形结果如图１.１５所示
.
图１.１５例１.７７图形结果
４．常微分方程的符号解
格式：
r=dsolve（'eq1,eq2,','cond1,cond2,','v'）.
说明：
①对给定的常微分方程（组）eq1,eq2,中指定的符号自变量v，与给定的边界条件
和初始条件cond1,cond2,求符号解（解析解）r
②若没有指定变量v,则缺省变量为t;在微分方程（组）的表达式eq中，
非线性方程和常微分方程的解法
yd2y大写字母D表示对自变量（设为x）的微分算子:
Dy2y,。
微分算子2xdx
y10y0y1'f1t,y'ft,yy02y1y22
',y..变量，即待求解的D后面的字母则表示为因y..0....n-1yn'ft,yy0ynn
未知函数；
初始和边界条件由字符串表示:
yab,Dycd,D2y（e）f,等等，分别表示yxxaby'xxcdy''xxef;
若边界条件少于方程组的阶数，则返回的结果r中会出现任意的常数若该命令找不到解析解，则返回一警告信息，同时返回一空的sym对象，这时，用户可以用命令ode23或ode45求方程组的数值解
例1.78
D1=dsolve（‘D2y=Dy+exp（x）’）
D2=dsolve（‘（Dy）^2+y^2=1’,’s’）
D3=dsolve（Dy=a*y’,’y（0）=b’）%带一个初始条件
D4=dsolve（‘D2y=-a^2*y’,’y（0）=1’,’Dy（pi/a）=0’）%带两个初始条件
[x,y]=dsolve（‘Dy=y’,’Dy=-x’）%求解线性微分方程组
计算结果为:
D1=
-exp（x）*t+c1+c2*exp（t）
D2=
非线性方程和常微分方程的解法
[-1]
[1]
[sin（s-c1）]
[-sin（s-c1）]
D3=
b*exp（a*t）
D4
cos（a*t）
x=
cos（t）*c1+sin（t）*c2
y=
-sin（t）*c1+cos（t）*c2
三练习和思考
求解方程3xe0
求解方程3xlnx0
求解方程5xsin2x0
求解微分方程yy2y5,y01,y02.''''222x求解微分方程的特解，并作出解函数曲线图。
y''21y2y'y0,0x30,y01,y'00
升级会员 