奥数专题定义新运算带答案完美排版.docx
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奥数专题定义新运算带答案完美排版
定义新运算
我们学过的常用运算有:
+、-、×、÷等.
如:
2+3=5
2×3=6
都是2和3,为什么运算结果不同呢?
主要是运算方式不同,实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“+”,“-”,“×”,“÷”运算不相同.
我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.
例1、设a、b都表示数,规定a△b=3×a-2×b,
①求3△2,2△3;
②这个运算“△”有交换律吗?
③求(17△6)△2,17△(6△2);
④这个运算“△”有结合律吗?
⑤如果已知4△b=2,求b.
分析:
解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质,本题规定的运算的本质是:
用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.
解:
①3△2=3×3-2×2=9-4=5
2△3=3×2-2×3=6-6=0.
②由①的例子可知“△”没有交换律.
③要计算(17△6)△2,先计算括号内的数,有:
17△6=3×17-2×6=39;再计算
第二步39△2=3×39-2×2=113,
所以(17△6)△2=113.
对于17△(6△2),同样先计算括号内的数,6△2=3×6-2×2=14,
其次17△14=3×17-2×14=23,
所以17△(6△2)=23.
④由③的例子可知“△”也没有结合律.
⑤因为4△b=3×4-2×b=12-2b,那么12-2b=2,解出b=5.
例2、定义运算※为a※b=a×b-(a+b),
①求5※7,7※5; ②求12※(3※4),(12※3)※4;
③这个运算“※”有交换律、结合律吗?
④如果3※(5※x)=3,求x.
解:
①5※7=5×7-(5+7)=35-12=23,7※5=7×5-(7+5)=35-12=23.
②要计算12※(3※4),先计算括号内的数,有:
3※4=3×4-(3+4)=5,再计算第二步12※5=12×5-(12+5)=43,
所以12※(3※4)=43.
对于(12※3)※4,同样先计算括号内的数,12※3=12×3-(12+3)=21,
其次21※4=21×4-(21+4)=59,所以(12※3)※4=59.
③由于a※b=a×b-(a+b);
b※a=b×a-(b+a)
=a×b-(a+b)(普通加法、乘法交换律)
所以有a※b=b※a,因此“※”有交换律.
由②的例子可知,运算“※”没有结合律.
④5※x=5x-(5+x)=4x-5;
3※(5※x)=3※(4x-5)
=3(4x-5)-(3+4x-5)
=12x-15-(4x-2)
=8x-13
那么8x-13=3解出x=2.
例3、定义新的运算a⊕b=a×b+a+b.
①求6⊕2,2⊕6;
②求(1⊕2)⊕3,1⊕(2⊕3);
③这个运算有交换律和结合律吗?
解:
①6⊕2=6×2+6+2=20,2⊕6=2×6+2+6=20.
②(1⊕2)⊕3=(1×2+1+2)⊕3
=5⊕3
=5×3+5+3
=23
1⊕(2⊕3)=1⊕(2×3+2+3)
=1⊕11
=1×11+1+11
=23.
③先看“⊕”是否满足交换律:
a⊕b=a×b+a+b
b⊕a=b×a+b+a=a×b+a+b(普通加法与乘法的交换律)
所以a⊕b=b⊕a,因此“⊕”满足交换律.
再看“⊕”是否满足结合律:
(a⊕b)⊕c=(a×b+a+b)⊕c
=(a×b+a+b)×c+a×b+a+b+c
=abc+ac+bc+ab+a+b+c.
a⊕(b⊕c)=a⊕(b×c+b+c)
=a×(b×c+b+c)+a+b×c+b+c
=abc+ab+ac+a+bc+b+c
=abc+ac+bc+ab+a+b+c.(普通加法的交换律)
所以(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c),因此“⊕”满足结合律.
说明:
“⊕”对于普通的加法不满足分配律,看反例:
1⊕(2+3)=1⊕5=1×5+1+5=11;
1⊕2+1⊕3=1×2+1+2+1×3+1+3=5+7=12;
因此1⊕(2+3)≠1⊕2+1⊕3.
例4、有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成立:
2⊗4=8,5⊗3=13,3⊗5=11,
9⊗7=25,求7⊗3=?
解:
通过对2⊗4=8,5⊗3=13,3⊗5=11,9⊗7=25这几个算式的观察,找到规律:
a⊗b=2a+b,因此7⊗3=2×7+3=17.
例5、x、y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:
x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中m、
n、k均为自然数,已知1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.
分析:
我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求1△2)*3的值,首先我们要计算1△2,根据“△”的定义:
1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值,k值求出后,l△2的值也就计算出来了.
我们设1△2=a,(1△2)*3=a*3,按“*”的定义:
a*3=ma+3n,在只有求出m、n时,我们才能计算a*3的值.因此要计算(1△2)*3的值,我们就要先求出k、m、n的值.通过1*2=5可以求出m、n的值,通过(2*3)△4=64求出k的值.
解:
因为1*2=m×1+n×2=m+2n,所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数,所以解出:
①当m=1,n=2时:
(2*3)△4=(1×2+2×3)△4
=8△4=k×8×4=32k
有32k=64,解出k=2.
②当m=3,n=1时:
(2*3)△4=(3×2+1×3)△4
=9△4=k×9×4=36k
有36k=64,解出k=
,这与k是自然数矛盾,因此m=3,n=1,k=
这组值应舍去.
所以m=l,n=2,k=2.
(1△2)*3=(2×1×2)*3=4*3=1×4+2×3=10.
在上面这一类定义新运算的问题中,关键的一条是:
抓住定义这一点不放,在计算时,严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是:
定义一个新运算,这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律,因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前,不能运用这些运算律来解题.
课后习题
1.a*b表示a的3倍减去b的
,例如:
1*2=1×3-2×
=2,根据以上的规定,计算:
①10*6;②7*(2*1).
2.定义新运算为a㊀b=
,
①求2㊀(3㊀4)的值;②若x㊀4=1.35,则x=?
3.有一个数学运算符号○,使下列算式成立:
○
=
,
○
=
,
○
=
,求
○
的值.
4.定义两种运算“⊕”、“⊗”,对于任意两个整数a、b,
a⊕b=a+b+1, a⊗b=a×b-1,
①计算4⊗[(6⊕8)⊕(3⊕5)]的值;
②若x⊕(x⊗4)=30,求x的值.
5.对于任意的整数x、y,定义新运算“△”,
x△y=
(其中m是一个确定的整数),
如果1△2=2,则2△9=?
6.对于数a、b规定运算“▽”为a▽b=(a+1)×(1-b),
若等式(a▽a)▽(a+1)=(a+1)▽(a▽a)成立,求a的值.
7.“*”表示一种运算符号,它的含义是:
x*y=
+
,
已知2*1=
+
=
,求1998*1999的值.
8.a※b=
,在x※(5※1)=6中,求x的值.
9.规定a△b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b-1),(a、b均为自然数,b>a)如果
x△10=65,那么x=?
10.我们规定:
符号◇表示选择两数中较大数的运算,例如:
5◇3=3◇5=5,符号△表示选择两数中较小数的运算,例如:
5△3=3△5=3,计算:
=?
课后习题解答
1.
2.
3.
所以有5x-2=30,解出x=6.4
左边:
8.解:
由于
9.解:
按照规定的运算:
x△10=x+(x+1)+(x+2)+…+(x+10-1)
=10x+(1+2+3+⋯+9)=10x+45
因此有10x+45=65,解出x=2.
定义新运算
我们学过的常用运算有:
+、-、×、÷等.
如:
2+3=5
2×3=6
都是2和3,为什么运算结果不同呢?
主要是运算方式不同,实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“+”,“-”,“×”,“÷”运算不相同.
我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.
例1、设a、b都表示数,规定a△b=3×a-2×b,
①求3△2,2△3;
②这个运算“△”有交换律吗?
③求(17△6)△2,17△(6△2);
④这个运算“△”有结合律吗?
⑤如果已知4△b=2,求b.
例2、定义运算※为a※b=a×b-(a+b),
①求5※7,7※5; ②求12※(3※4),(12※3)※4;
③这个运算“※”有交换律、结合律吗?
④如果3※(5※x)=3,求x.
例3、定义新的运算a⊕b=a×b+a+b.
①求6⊕2,2⊕6;
②求(1⊕2)⊕3,1⊕(2⊕3);
③这个运算有交换律和结合律吗?
例4、有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成立:
2⊗4=8,5⊗3=13,3⊗5=11,
9⊗7=25,求7⊗3=?
例5、x、y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:
x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中m、
n、k均为自然数,已知1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.
课后习题
1.a*b表示a的3倍减去b的
,例如:
1*2=1×3-2×
=2,根据以上的规定,计算:
①10*6;②7*(2*1).
2.定义新运算为a㊀b=
,
①求2㊀(3㊀4)的值;②若x㊀4=1.35,则x=?
3.有一个数学运算符号○,使下列算式成立:
○
=
,
○
=
,
○
=
,求
○
的值.
4.定义两种运算“⊕”、“⊗”,对于任意两个整数a、b,
a⊕b=a+b+1, a⊗b=a×b-1,
①计算4⊗[(6⊕8)⊕(3⊕5)]的值;
②若x⊕(x⊗4)=30,求x的值.
5.对于任意的整数x、y,定义新运算“△”,
x△y=
(其中m是一个确定的整数),
如果1△2=2,则2△9=?
6.对于数a、b规定运算“▽”为a▽b=(a+1)×(1-b),
若等式(a▽a)▽(a+1)=(a+1)▽(a▽a)成立,求a的值.
7.“*”表示一种运算符号,它的含义是:
x*y=
+
,
已知2*1=
+
=
,求1998*1999的值.
8.a※b=
,在x※(5※1)=6中,求x的值.
9.规定a△b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b-1),(a、b均为自然数,b>a)如果
x△10=65,那么x=?
10.我们规定:
符号◇表示选择两数中较大数的运算,例如:
5◇3=3◇5=5,符号△表示选择两数中较小数的运算,例如:
5△3=3△5=3,计算:
=?