浅谈数学解题中的构造法.docx

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浅谈数学解题中的构造法

目录1

摘要2

1引言2

2中学数学解题中常见的几类构造法3

2.1构造方程3

2.2构造函数5

2.3构造数列6

2.4构造向量8

2.5构造几何图形9

3中学数学解题中其他几类构造法9

3.1含有参数范围问题的构造解法10

3.2求值解方程类问题的构造解法10

3.3不等式问题的构造解法11

3.6构造斜率13

3.7构造“零”14

4总结14

参考文献15

Abstract：

15

浅谈数学解题中的构造法

摘要:

构造法是一种重要而灵活的思维方式，更是培养学生创新思维的有效途径。

解题中的构造法是指根据题目条件的结构特征，通过直觉观察、联想及猜想等思维活动，想象到各种知识间的内在联系或形式上的某种相似性，有目的地构造特定的数学模型，从而把原命题转化为与之等价的命题，通过对它的讨论而使原命题得到解决。

本文主要针对中学数学解题中的这一常用方法进行了论述。

同时，结合具体实例对构造法中常见的几种类型:

构造方程、构造函数、构造向量、构造数列、构造几何图形等等给予了较详尽的论述。

关键词：

解题中的构造法；构造方程；构造函数；构造数列；构造向量

1引言

从数学产生那天起，数学中构造性的方法也就伴随着产生了。

近代对构造性方法的研究，大致经历了如下三个阶段：

一是直觉数学阶段：

直觉派出于对数学“可信性”的考虑，提出了一个著名的口号：

“存在必须是被构造的。

”这就是构造主义。

二是算法数学阶段：

算法数学的方案是把可容许数学对象的范围限制到某个多少是任意选定的类，而不像直觉数学那样去挑战传统的证明规则。

其中以马尔科夫及其合作者创立的“算法数学”，尤为引人注目。

三是现代构造数学阶段。

1967年，比肖泊书的出版宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段。

实际上，构造法在古代数学的建立与发展中起着重要的作用。

以西方的《几何原本》和中国的《九章算术》为例，虽然两者在逻辑推理方式上迥异，但在运用构造性方法方面却有着一些共同之处。

我国古代数学所采用的构造方法，注重问题解决的能行性，因此形成了丰富的术，这些术就是一个个构造性的机械式的计算程序，他们对推动古代数学的发展起到了重要的作用。

数学家吴文俊曾指出，《九章算术》中的开方术经过一千多年发展到宋代的增开方与正负开方术的求方程根的数值解法是中国古代数学构造性与机械性思想方面的代表性成就。

所谓构造法是指当解决某些数学问题使用通常办法按定式思维难以奏效时，应从问题的结构和特点出发，进行广泛联想，构造出一个与条件或问题相关的数学命题，实际问题得以转化，从而解决问题的方法。

构造法具有以下特点:

（1）构造法是一种通过构造新的数学对象使原问题得以转化，从而解决问题的一种方法。

它与数学变换方法具有某种相似性。

（2）构造法解决问题的过程比较直观，它不仅能断定某种数学对象的存在，而且能按一定方式在有限步骤内具体找到它。

（3）构造法解决问题具有很大的灵活性，针对某一具体问题，如何进行构造，这与个体的数学知识和经验都密切相关。

正由于构造法的这些特点与所要求的解题转化过程很好地吻合，构造法就成为解题的主要方法之一，成为数学家常用的解决问题的思想方法，并在中学数学中有着广泛的应用。

下面我们就结合实例具体地给予讨论，以期能给读者一些有益的启示[1]。

2中学数学解题中常见的几类构造法

构造法是数学解题中一种重要的思维方法，它是运用数学的基本思想经过认真的观察、深入的思考、构造数学模型，从而使问题得以解决。

数学解题中的构造法是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的数学美，灵活、巧妙的构造能令人拍手叫绝，也能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。

本文通过列举数例，例谈构造法解题的独特魅力和奇思妙想！

2.1构造方程

构造辅助方程就是在求具有约束条件（一般满足某方程或方程组）的某个参数的取值范围时，构造一个含有此参数的二次方程，利用二次方程的性质求出该参数的取值范围。

例1　已知实数满足，求的取值范围。

解由可知

（1），由可得

（2），由

（1）+

（2）得所以利用和构造关于的一元二次方程。

此方程有实数根的充要条件是

解得实数的取值范围是

评析　由关于实数的方程组求的取值范围，关键是消去，寻找关于的约束条件。

用表示较难，但注意到可以用表示和，联想到根与系数的关系，“逆用”韦达定理构造辅助方程，用整体的思想解得[2]。

例２　证明：

若实数都不等于零，且

则是公比为的等比数列。

证明　由题设等式可知，

是一元二次方程

即故只有即

又都不等于零，成等比数列。

由求根公式知

是等比数列的公比。

评析　方程是解数学题的一个重要工具，许多数学问题，根据其数量关系，在已知和未知之间搭上桥梁，恰当的构造方程，以沟通问题中条件与结论的联系，使问题中的隐含关系明朗化，从而使问题简捷而迅速地获解。

然而有些数学问题未必是方程问题，然而我们可以构造辅助方程，通过对方程的根与系数的关系、判别式、根的定义等的利用，使问题得以解决。

例3设是正外接圆的上任一点，求证

（1）；

（2）

分析命题的结构，反映了线段与为一元二次方的两根。

证明如图所示，在中，由余弦定理得

（图1）

即同理在中，有

于是，与为一元二次方程的两根，

∴由韦达定理即有:

（1）；

（2）即

2.2构造函数

函数是中学数学的一根“金线”，其最大的特点就是数形结合，且形式又是多样化的。

解题时适当地构造一个函数，借助函数的性质，能使问题简单化、直观化。

并且在不等式证明的诸多方法中，构造一个辅助函数，利用函数的单调性证明不等式是一种常用方法，简洁明了，学生易懂易接受。

例4设，且满足求证

证明由得设

（1）当时，

是关于的一次函数，由题设

在上单调，

综上，

评析　先用代替，可将要证的不等式中变元减少，然后变更主元，将要证的不等式左边视为的函数，又的变化范围是，故只要证得，，则，从而命题获证。

评注　构造函数的过程，有时不是一蹴而就的，需要在解题、推理的过程中不断调整、改进、完善。

这就要求我们在分析问题和解决问题的实践中，不断学习、不断总结经验和教训，进而不断发展创新性思维能力[3]。

例5集合共有个元素，其中表示不超过x的最大整数。

解：

设则有，当时，的所有可能值为0,1,2,3.由此得值域,

个元素。

2.3构造数列

数列是中学数学的难点，学生处理这类问题时往往感到比较棘手。

构造辅助数列的方法是求数列通项公式的一种有效方法，即由题设条件构造一个新的数列，转化为熟悉的常用数列，如等差数列或等比数列等，求出其通项公式，然后再回到原题求出要求的通项公式。

例6解方程：

解由可知成等差数列。

代入，

当时，；当时，；

经检验原方程组的解为　或。

评析　由联想到是的等差中项，这也是用构造数列解决本题的一个关键点。

利用构造法解题需要有扎实的数学基础，丰富的联想和正确的迁移才能实现。

如果命题中各数量间的联系明显地与自然数或递推数列有关，不妨构造递推数列加以转化。

下面我们再看用向量法解决一个古典的数学问题---Hanoi塔问题:

例7古代有一个梵塔，塔内有3个座开始时，座上有64个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上。

有一个老和尚想把这64个盘子从座移到座，但每次只允许移动一个盘子，且在移动过程中在3个座上始终保持大盘在下，小盘在上。

在此过程中可以利用座。

现我们讨论更一般的情况，当有个盘子时，要完成这个盘子由座到座的移动共需多少步?

（图2）

分析我们看到这是一个与自然数有关的命题。

故我们可试着借用数列来解决。

设完成这个盘子的转移需要步，我们又知，要完成这个盘子的转移，先必须把上面的个盘子移到座上，这需要步，然后将第个盘子移到座上，最后再借助座将这个盘子移动到座上又需要步，故有

从而，要完成这个盘子由座到座的移动共需步。

事实上，这也是一个只有用递推数列才能解决的问题。

可见构造递推数列在解决某些问题上的特殊功效[4]。

2.4构造向量

向量具有几何形式和代数形式的双重身份，是衔接代数和几何的纽带，因此，在解题中，对于一些难以解决的不等式证明问题或求最值问题等转化为向量问题来求解，往往更为简洁有效。

例8　求证

解

设而当、同向共线取等号，

即时，取等号。

成立。

点评　从欲证式子的特证可以发现，本题左边的形式有点类似于向量的模，从而可以考虑构造向量求解。

构造向量法求最值时，一定要调整好向量中坐标的符号，保证在运算时只保留常数。

在本题中，若则

但此时取等号的前提是可求，这与矛盾，从而得不到正确结论。

2.5构造几何图形

如果我们研究的数学问题中的数量关系存在着明显的几何意义，或者可能从某种方式与几何图形建立联系时，那么我们可以通过构造几何图形，将问题中的数量关系直接在几何图形中得以反映和实现，致使问题直观化、明了化。

（图3）

例9椭圆的焦点为，，点为其上的一个动点，当为钝角时，求点的横坐标的取值范围。

分析本题若直接设椭圆上一点的横坐标，利用余弦定理来解，当然可以，但其运算量是比较大的，若根据题意构造以为直径的圆:

，其与椭圆交于四点，其横坐标分别是。

由此可知，如果点在椭圆弧及上，即在圆内部，那么是钝角，故有

3中学数学解题中其他几类构造法

数学的学习不仅是基本知识的学习，更是思维的训练。

而构造法能够根据数学题目的特征，构造出熟知的数学模型，从而让解题思维得以转化，完成问题的解决。

下面将一些问题进行归类，分别谈谈如何巧妙运用构造法。

3.1含有参数范围问题的构造解法

例10已知都是实数，并且满足。

求证在这三个实数中有一个一定不小于。

分析将三个字母中的一个视为参数，比如，那么由可以进行二次方程的构造来进行这个问题的解决。

解根据已知条件可得:

，那么我们将看做是二次方程的两个实根。

所以我们可以得到由此可以解得

结论通过以上的求解，我们可以得出，如果包含的两个变量之间的关系是和与积的形式，那么我们可以进行二次方程或者是二次函数的构造，以此来解决问题。

例11若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是

解：

设，则当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，，，当时因此，有三个不同的实根当且仅当

3.2求值解方程类问题的构造解法

例12已知，并且满足条件那么

分析通过观察会发现，在两个已知条件中，都含有参数，但是在求值的表达式中却不含有，所以我们想办法应该将消掉，以此来进行解题。

解根据已知消去方程中的可得方程

通过化简可得

根据这个式子进行函数的构造。

此函数在区间上面单调递增，所以，即。

所以。

结论通过上题的解答我们可以看出，对于一些混合有方程与表达式的题目，并且题目的混合形式有着一定的相似性的时候，我们可以通过构造函数的方法来求值。

3.3不等式问题的构造解法

例13求证:

。

分析由右式想到两个向量的模，从而联想到左式是这两个向量的数量积。

因此可构造向量不等式。

解设

那么，

所以，

即可以得出（

结论通过上面的例子我们可以得出，根据向量的内积不等式我们可以解决一些数学问题。

而对于向量内积不等式的运用，题目中往往并不是很明显的给予我们，所以在平时的解题中就要懂得去归纳总结哪些题目适合用这种构造向量的方法来解决[5]。

3.4排列组合问题的构造解法

例147名同学一起去看电影，其中A、B、C三人必须相邻坐在一起，那么总共有多少种排列的方法?

分析这是一个典型的相邻的排列问题，一般我们会用“捆绑”的模式去解题。

其实这种“捆绑”的模式就是一种模型的构造，将特殊的元素进行捆绑，然后再对其它的元素进行排列，最后将捆绑的元素间进行排列。

解总共有种不同的排法。

总结这个题目的解决中我们运用的是构造模型的方法，也就是将特殊的元素捆绑在一起进行解题。

其实除了这种题型之外，在排列组合中对于分类讨论的题型以及一些二项式组合问题也可以通过构造模型的方法来进行问题的解决，从而让题目变得简单易解，提高解题的效率。

3.5构造辅助平面

空间中两个不平行的平面交于一条直线，所以在证明空间中某个平面上多点共线问题时，往往构造一个辅助平面，使得要证共线的点位于辅助平面与已知平面的交线上。

这是解决这类多点共线问题的常用方法。

例15　在与中，直线直线＝点，直线直线＝点，直线直线＝点，求证：

三点共线。

证明　因的三个顶点不共线，由公理可得经过点可作平面。

同理，经过点可作平面。

因为直线直线＝点，所以直线，直线。

又，，所以，，即点是平面与平面的公共点。

同理，点、点也是平面与平面的公共点。

由公理可知得三点共线于平面与平面的交线。

评析　求证空间三点共线，常常将这三点归结为两个相交平面的公共点。

由题意，自然想到构造辅助平面。

3.5构造辅助问题

构造辅助问题的求解方法就是化抽象为具体，即将抽象的数学问题转化为学生易懂易接受的现实生活中的问题来解决。

例16

（1）方程的自然数解共有个；

（2）以正方体的8个顶点中的任意两个所连结的直线可以组成对异面直线；

（3）有10级台阶，某人从地面上一步1级或2级攀登，则登上第10级台阶共有种不同的走法。

分析

（1）方程的自然数解的个数将10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子里，共有多少种不同的放法将10个相同的0，和3个相同的1排一排，共有多少种不同的排法。

由此容易得到，方程共有个自然数解。

（2）因为一个三棱锥对6条棱可以组成3对异面直线，所以原问题以正方体的8个顶点中

的任4个为顶点可以组成多少个三棱锥？

（3）设此人从地面上登上第级台阶共有种不同的走法，则原问题已知数列｛求

评析　这些辅助问题与原问题表面上结构、内容不同，但本质上具有同构或一致性，也可能辅助问题与原问题具有从属关系，通过对一般性问题的求解或若干个子问题的求解来解决原问题[6]。

3.6构造斜率

例17　试求函数的取值范围。

解设点点，则，则表示两点连线的斜率，点Ａ

的轨迹方程式是，即由于

则点的轨迹为线段

如图所示。

（图4）

点评　数形结合是中学数学的一种重要思想方法，构造斜率求解分式三角函数的最大、最小值以及值域问题，解法直观、简便，对学生的创新思考问题、开阔解题思路、提高解题能力都十分有益。

本题的解法也说明了恰当而巧妙的构造，能起到事半功倍的效果！

3.7构造“零”

根据已知条件和结论的数值特点，构造一个等于零的代数式，运用整体代入法，便把问题化繁为简。

例18若则分式

解即两边同时平方得

原式

4总结

运用构造法解题，不仅可以收到事半功倍的效果，还可以打破学生的思维定势，锻炼学生的思维品质，培养学习的发散思维逆向思维、创新思维，提高学生的综合能力，但我们也看到，应用构造法解题的前提条件是基础知识要掌握牢固，因此，在课堂教学中教师除了要培养学生的求异思维，创新意识的同时，也要注重学生的双基训练，中学数学中用到的构造方法还有很多，如构造多项式，构造复数式，构造模型等这里不再一一举例。

应该说一切与题设、结论有关的事项，均可作为构造对象。

从以上例子看出，构造法解题是一种创造性的思维活动，其关键是丰富的联想和正确的转化，利用构造法解决数学问题不仅可以培养同学们分析问题、解决问题的能力，同时还可以培养我们的想象力和灵感，体会到数学的美妙。

构造法本质上属于转化思想的范畴，但它常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，同时使数学解题打破常规，因而具有独特的价值。

参考文献

[1]陈跃辉.例说构造法在数学解题中的应用[J].中学数学月刊,2017年第2期.

[2]崔东丽,何成海.例谈数学解题中的“构造”问题[J].佳木斯教育学院学报,2000年第4期.

[3]孙云发.例谈数学解题中的构造法[J].中学数学教学参考,2016年第9期.

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[6]方志平.构造显神奇,事办却功倍[J].中学生数学,2014年10月上,第499期（高中）.