答案
(1)D
(2)B
探究提高 1.“估算法”的关键是确定结果所在的大致范围,否则“估算”就没有意义.
2.在选择题中作精确计算不易时,可根据题干提供的信息,估算出结果的大致取值范围,排除错误的选项.对于客观性试题,合理的估算往往比盲目的精确计算和严谨推理更为有效,可谓“一叶知秋”.
【训练4】
(1)若a=20.5,b=logπ3,c=log2sin,则a,b,c的大小关系是________.
(2)设M为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A.B.1C.D.2
解析
(1)由y=2x在R上单调递增,知1b>c.
(2)如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形.阴影部分面积比1大,比S△OAB=×2×2=2小,故C项满足.
答案
(1)a>b>c
(2)C
方法五 构造法
用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比已学过的知识及各种数学式子、数学模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.
【例5】
(1)(2015·全国Ⅱ卷改编)设函数f′(x)是定义在(0,+∞)上函数f(x)的导函数,f
(1)=0,如果满足xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.
(2)(2018·合肥模拟)如图,已知球O的球面上有四点A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于________.
解析
(1)令g(x)=,则g′(x)=,由于xf′(x)-f(x)<0,得g′(x)<0,
∴g(x)在(0,+∞)上是减函数,
由f
(1)=0,知g
(1)=0,∴g(x)>0的解集为(0,1),
因此f(x)>0的解集为(0,1).
(2)如图,以DA,AB,BC为棱长构造正方体,设正方体的外接球球O的半径为R,则正方体的体对角线长即为球O的直径.
∴CD==2R,因此R=,故球O的体积V==π.
答案
(1)(0,1)
(2)π
探究提高 1.第
(1)题构造函数,利用函数的单调性解不等式;第
(2)题将三棱锥补成正方体,而球的直径恰好为正方体的体对角线,使问题容易得到解决.
2.构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向,通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型,从而转化为自己熟悉的问题.
【训练5】
(1)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )
A.-B.C.D.1
(2)在数列{an}中,a1=1,且an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式是________.
解析
(1)法一 构造函数g(x)=ex+e-x,可知该函数为偶函数,其图象关于y轴对称.把g(x)的图象向右平移一个单位长度,得到函数h(x)=ex-1+e-x+1的图象,该函数图象关于直线x=1对称.
函数y=x2-2x的图象也关于直线x=1对称,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称.函数f(x)有唯一零点,则该零点只能是x=1.
由f
(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=.
法二 构造函数g(x)=f(x+1)=x2-1+a(ex+e-x),易知函数g(x)的图象是由函数f(x)的图象向左平移一个单位长度得到的,所以函数f(x)有唯一的零点等价于函数g(x)有唯一零点.
显然函数g(x)为偶函数,如果其有唯一零点,则该零点只能是x=0,由g(0)=-1+2a=0,解得a=.
(2)由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1),
又a1=1,得a1+1=2≠0,
∴数列{an+1}是首项为2,公比q=2的等比数列,
因此an+1=2·2n-1=2n,故an=2n-1.
答案
(1)C
(2)an=2n-1
方法六 排除(淘汰)法
排除(淘汰)法是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征,通过分析、推理、计算、判断,排除不符合要求的选项,从而得出正确结论的一种方法.
【例6】
(1)(2018·全国Ⅲ卷)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( )
(2)若函数f(x)=x+asinx-sin2x在R上单调递增,则a的取值范围是( )
A.[-1,1]B.
C.D.
解析
(1)当x=0时,y=2,排除A,B.由y′=-4x3+2x=0,得x=0或x=±,结合三次函数的图象特征,知原函数在(-1,1)上有三个极值点,所以排除C,故选D.
(2)根据选项特点验证a=1,a=-1是否符合题意.
当a=1时,f(x)=x+sinx-sin2x,
则f′(x)=1+cosx-cos2x,
当x=π时,f′(π)=-<0,不符合题意,排除选项A.
当a=-1时,f(x)=x-sinx-sin2x,
则f′(x)=1-cosx-cos2x,
当x=0时,f′(0)=-<0,不符合题意,排除选项B,D.只有选项C满足.
答案
(1)D
(2)C
探究提高 1.排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定,再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正确的答案.
2.
(1)排除法常与特例法、数形结合法联合使用,在高考题求解中更有效发挥功能.
(2)如果选项之间存在包含关系,必须根据题意才能判定.
【训练6】
(1)(2018·潍坊质检)函数y=x2-ln|x|的图象大致为( )
(2)设x∈R,定义符号函数sgnx=则下面正确的是( )
A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx
解析
(1)由y=x2-ln|x|的定义域{x|x∈R且x≠0},排除B,C;当x>0时,y=x2-lnx,令y′=2x-=0,得x=,∴f(x)=x2-lnx在(0,+∞)上不单调,排除选项D,A项正确.
(2)当x<0时,|x|=-x,sgnx=-1.
则x·|sgnx|=x,xsgn|x|=x,|x|sgnx=x.
因此,选项A,B,C均不成立.
答案
(1)A
(2)D
1.从考试的角度来看,解客观题只要选对就行,至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要的,所以解题可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因.另外,在解答一道选择题时,往往需要同时采用几种方法进行分析、推理,只有这样,才会在高考时充分利用题目自身提供的信息,化常规为特殊,避免小题大做,真正做到准确和快速.
2.填空题的主要特征是题目小、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活,突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力.近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口,出现了一些创新题,如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等,这些题型的出现,使解填空题的要求更高、更严了.