参考公式!
S2=Σ(x.-i)2A(A是第j组的频率),其中√2¾1.4,∕∏7≈10.&
1
21•(本小题满分12分)
已知函数f(J)=Inx÷^χ÷2>⅛∈R.
(1)讨论函数八工)的单调性:
⑵若函数$(工)=三一工十2・当上=—1且O<α≤灵求证∙^(x)>∕(x).
OJCW
(二)选考题:
共10分•请考生衽第22.23题中任选一题作答•如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小題满分10分)选修4-4:
坐标系与暮数方程
在平面直角坐标系XCb中,曲线Cl的參数方程为r=j+2cosP9为参数以坐Iy=ZSlnφ
标原点为极点,工轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线G的极坐标方程为P=4s⅝nBi
(1)写出G的极坐标方程和G的直角坐标方程$
设点M的极坐标为〈4,0),射线G=α(θVαV于)分别交G,C2于A,B两点(异于极点)•当ZAMB=于时,求tanα.
23.(本小题満分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知x,y9z均为正数.
(ID若证明:
∣x+ε∣・Iy+zJ>4j∙w;
⑵若工f=*•求2"・旷∙2r*的最小值・
UI•英彳2黑考长郡中学2020届高考模拟卷
(一)
数学(文科)参考答案
一・选择题
題号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
B
D
C
C
A
A
C
B
D
LC【解析】由∙r(∙r-2〉<0・解得M={χ∣O•所以MnN={1}•故选C.
2.B【解析】由(l-2i)r=2+αi,得曲黑:
;;黑=+
(2-2α=Ot
••I为纯虚数即α=l.故选K
'4+α≠O>
3∙A【解析】山題盘得α+b=(2A+2M+l>.∙∙∙(α+b>丄a,∙∙.3(2Zr+2>+d+l)=0∙解得怡=一1・故逸A.
4.B【解析】从写有1,2,3,4的1张卡片中随机抽取1张,放回£再随机抽取1张,基本事伴的个数为4X4=】6•抽碍的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)共6个,因此抽得的第一张卡片上的哉大于第二张卡片上的数的概率为斋=寻•故选B.
5.D【解析】T3“cosC=4csinAt∙∖dj正孩定理可碍3sin∕∖cosC=4sinCSinA»
VSinAMO・Λ3∞sC==4sinG即CoSC=-JrSinCt
(舍夫)•
ΛsiI?
C+cossC=sin2C÷ysin2C=ysin2C=1,解得Sin(:
=#或SinC=-I
∙"=4∙ZVW(:
的面积S=IO=4^'nC=4-×Λ×4×⅜∙.∙.if得°=年・故选D.乙乙心d
6.
C【解析】眼据趙意画出图形•取ED的中点P■连AIWF.
・・・PD//FC卫PD=FC,・・・四边形PDCF是平行四边形,PF^DCAPF=DC・
又•・・四边形ABCD是正方形•可AB//ΓX'XLAB=DC,itAB//PF且AB=PF.
・・・四边形PABF是平行四边形,・•・BF//AP且BF=AP,故ZEAP为异面克线AE与BF所成角.
在RIAAPD中•根据勾股定理可得:
ΛP=√ΛD2÷DP2=√27÷1γ=√5.
8+5-1
在RtΔEAD中•根捋勾股定理可彳FAE=√W十EDZ=√2H7F=2√2.在ZsEAP中•报据余弦定理:
EP∙=EΛ2÷ΛP2-2EA∙AP∙CoSZEAP∙
可goMEAP=字灼7尹=牢宀=宀=噜•故选C
2EA∙AP2∙2√2∙√5√2∙√5】。
7.C【解析】函ft/Cr)==In(X2÷1)
则/(-j∙)=■£(Ll)—/(工),所以/(∙τ)为奇岳∙U・排除B选项;
当∙r→+χ时∙7-→÷∞•所以排除A选项;
当El时J(l)=i⅛=⅛UA¾pU3∙4.排徐D选项;
综上可知∙C为正确逸项•故选C.
&A【解析W=IW8满足•执行第一次循环.S=0+(-n,×l2=-l.∣=l÷]=2;
i=2≤8成立,执行第二次循环,S=-1÷C-1)2×22=3J=2+1=3∣
i=3≤8成立•执行第三次循环tS=3÷(-l)3×32=-6J=3÷l=4∣
i=4≤8成立•执行第四次循环tS=-6÷(-l)4×42=lOu=1÷l=5;
∣=5≤8成立■执行第五次猫环■S=10+(—1)s×5*=-15u=5-1=6;
∕=6≤8成立.执行第六次猶环,S=-15+(-1)∙×62=21J=6-1=7;
i=7≤8成立,执行第七次猫环,S=21÷<-l>τ×7τ=-28U=7-l=8∣
i=8≤8成立•执行务八次緒环∙S=—28+(—1+X8'=36M=8—1=9;i=9≤8不成立.眺出循环体•输出S的值为36•故选A.
9.Λ【解析】法一:
∕3*n(g+∙∣)的图象向右平移晋个单位攻度得到Z〉=Sin[缶一弩)+青]・Xa)与f÷∕(x)=0»令Car+-^-=Q.则Sinα+sin(α-警)=0,于是一警=2虹+2WZ〉・解得s=-3A~∣∙gZ),故3的遥小正值是务故选A.
法二:
图象向右平移誓个单位长度后与原函敎的图SL关于才轴对称.则平移了半个周期的奇软倍.于是有李=JL(2Λ+1)"")∙即©=%+孕以"》,故3的遥小正伉是斗•故选A.
OU)LL
10.C【解析】据赵意.双曲线的半c=√5•
可设一条平行线方租为J-ZW=-Acr-√5).d,.
I洛-a∕∕r÷>∕56
WrfTJ"λ—stI)LZb
y≈m(χ-√5)♦
ma+頁b.加I=I矽一m2/I=3
~2Λ~∙Va1+lr—2ab一刁
K-⅝~T^r=l=>5^2-a2mz=a2lr∙.IaO=寻•
QrIrL
又c=√5,解得a=警M=攀.所以双曲找的标准方程是γ--ξ-=l.故选C.
T~2
11.B【解析】知图所示:
设球的球心为O.半径为R•则Sol=8.0A=R,AO1=VSAI-W=4Λ・所以(3A2=∞γ÷AQ2,即Λ2=<Λ-8)2÷(4√5)∖解得尺=9,
取SA的中点N•则BN-2,
所以()N=√R2-AN2≡3Λ,O∕3≡√OΛ,2÷Bλr2≡7.
设点C为哉面圆周上一点
若哉面面积股小,則OlJ丄戢面•此时裁面S)半径为r-√∕<--OB-=4√2,
所以截面而积的妊小值为πr≡-32π.故逸B
12.D【解析】当克钱y=ι∙+α与曲线y=lnX相切时,
设切点为(/Unf),则切线斜■率Zr=(Inχ)'r=f=^-=1»
所Λ∕=l∙Fpl+u=0>解得a=-}.
又当∙r≤0⅛√(χ)=^+α<=>Cλ∙+1)(χ÷β)=0.所以:
(1)当U=-I时∙lnH=A+o(h>0)有1个实数檻•此时(x+l)(x+u>=0(^≤0)有1个实数根•不滿足題意;
(2)当α<~lfl∙ΓJnj∙=x+α(∙r>O)有2个实数根•此时(βr+1>(x+α>=O(j≤()>有1个实数根•满足¾⅛*
(3)当u>~∖时Jnx=x÷^(x>0)Λ实数根•此时(x+l)(x÷α)=()(x≤0)有2个实数根.不满足题意.
煤上得«<-b故选D.
二、填空题
{log3(3—1
13.Iofo3【解析】函数/Cr)=若/(α-l)=⅛∙
∣2j-Uτ>0f2
当4—1≤0即α≤l时,log√3-“+1)=*,解得«=4—√f2>lt舍去.
当α-l>O即QI时.2--,-l=y,解符α=log23>l,成立.
14∙⅛【解析JvSinα=2cosα,Λtanα=2∙则Ian2α=τw■;—?
-=―•
∖LI-UIrra3
.sin?
2q—2c∙os^2α=$in?
2g—2COS'2α=sin?
2a—2co"2g=mn?
2a—2=(3)?
=J_
°∙Sin(Jr—4a)Sin4a2stn2a∞s2a2tan2a∙2χ()12*15•晋【解析】据題对=彎』=1・解得a=2∙c=√J•于是IPFl|+∣PF2∣=2u=4,
所以IPLl卜Ipf2I=~4(IPFIl+IPkP(I/,F,1+1PFZ1)=÷(≡÷≡÷W)H^>=÷'当且仅当IPFzI=2IPF】I,即IPF2∣=y,∣PFl∣=*时等号戒立.
16.√5-1【解析】・・・sinC=2sinA,・••懦j∙=紿=2为非常数,故点B的铁迹是圆.以线段AC中点为原Λ,AC所在比饯为才轴Jt立直向坐标系•则Λ<-3∙0).C(3.0).设B5y),•・TABI=21CBI,√(x÷3)2÷y=2√<,r-3)2+y,
jj+jς—l(λr+9=0•整理得(工一5F+y=16・
因此,当△八BC曲积最大时,AC边上的高为圆的半径4.此时IBCl=√22+l2=2ΛtIAB∣=4√5,设內切圓的半径为r.fi∙Jy×6×4=y×(4√5÷2√5+6)r.解得r=石*=岛一1・
三、解答题
17.【解析J(I)M列{“・}中心=S∙-S"τ5W2、J.«>2)①,
又^=√^÷√S^7(m∈N∙,Λ∕∕≥2)②•
•1分
①÷②可得:
>/可一Jr=I•则数列{√sj是以血=1为首项•公差为1的等差数刊・则√S7=l+(w-l)=∕N则S.=√,
当m≥2时,“(I=SIt—S._i=2n-l,a】=1也轩合该式,
则at9=2n-l.
⑵由
(1)的结论碍宀=2”一1,则G==
则τ∙=⅛÷⅛÷⅞1÷∙∙∙+2^"n
4分
】&【解析I(I)V在四ABCD中丄八DJB=AM=人D=2∙MB=MD=2Q∙
AAB2+AA护=BlVf∙AD?
+AM2=DM•
ΛAB丄AM∙AD丄AM∙
VAD∩AB=A∙ΛAM±平面AIiCD.
又AMU平面AliM.所以平面ABMl平面ABCL).
(2)i£UBD.∖∙BE=2EM・ΛSδTOf=…
于是Vrfmf=VC-«31=*yVc-MiAf=*%lλ∏)■…又∙.∙CD∕∕ΛIi.ΛIi±ΛD,ΛCD±AD,
;■SAaB=当XCDXAD=∙^∙X1X2=If
112
∙*∙VrM-If7;=—Samp∙MA=^X1×2=^^∙>
19
PPVD-(KlVf=-β-VzΛI-HD=-g∙.12分
19.【解析I(I)Ib¾.F(l.0).线段AF与抛物线C没亦公共点,即a>1时,
设点卩在抛扬线准线X=-I上的射彭为D•则DJ∖Λ三点浜线时,
∣PA∣÷∣PF∣的直小值为IADl=«-<-1)=4.此时“=3.3分
若^flAF与抛物线C有公共点•即a≤l时•
则A.P.F三点共线时>IPΛI÷IPFl的赧小值为MFl=√(a-l)i÷2i=4.此时a=l-2√3,嫁上•实数a的值为3ΛI~2√3.
(2)因为ZAOl=^MΛO=ZAOF•所以MA∕∕x轴且IMol=IlvfZIl=IMPh8分
设MS2〉.JNP(2∕∙4)∙代入扌乜物线C的方程解得&=16"=2∙10分
于是IMOl=IMAl=∖MP∖≈2j2•所以△()PA外接圆的方程为(χ-2>2+(jr-2)2=&12分
20.[解析】
(1)Y70+皿3二色・妙芒幫±?
・.0.1如.922XIOQ7].67,
・•・估计样本救塢的中位数是71.67.2分
V(35X0.005+45X0.O1÷55XO.Ol÷65×O.O2+75×O.O3÷85XO.02+95×0.(M)5)X10=69.
・•・估计4000龙学生的平均成绩为69分.I分
(2)V400×(0.02×2÷0.03+0.005)×10=300t300÷2=150f
・•・分数高于60分的男生为150人.
・•・样本中男生人救估计为150÷^-≡225.6分
・;样本中女生人数估计为400-225=175,
•••估计该校男生和女生人软比例为9:
7.8分
(3)V(35-59>2×O.05+(45—69)2X0∙1+(55—69尸X0∙iψ(65-69)2×0.2÷(75-69)2XO.3+(85-
69)2XOe2+(95-69FXO.05=234•
且√234=√2×/∏7=1.4×1O.8=15.12∙10分
∙∙∙Y69-2X15∙12•得Y3&76.
3«76—30
VdOOOX—^—XOeOO5×1O=175.2^175∙
・•・估计该中学测试成绩不达标人数为175・12分
21•【解析】
(1)函数的定义战为(0・+8)./(工〉=丄+点=如土1.1分
・7∙7
当Λ≥0时√(x)>0.故藹教/Cr)在(0,+∞)单调递增;2分
当上VO时,令Z(X)=0,解得X=-Y>0,
故函Λ∕ω在(0,_+)单训递増,在(一y,÷oo)单训递减.4分
(2)根据已知条件•/(才)=Injr—才+2■要证χ(∙r)>∕(∙τ)■即证er>αrln寸5分
1当OVx≤1时∙er>hα^lnx≤0∙5.然成立:
6分
p21
2当丄>1B1Sjln∙r>0■誥合已知0VUW豆可得,0<“丄111«^豆*“2、
于是问题转化为er>*d∙τl2,即证笔二TnJr>0,7分
令ACr)=Inj∙(j∙>0)•艶]"(«r)=~•令φ(x)=2e1^2(j-1)—x»
则/Cr)=Ner7-l且在(0,+∞)单调递增.
TyZ(I)=彳一IVoT
(2)=3>0∙
•••存在J∙oe(l∙2).使得d(n)=°∙即2j∙oero-2=l∙9分
Λφ(χ)^(l,χ0)≠调递减,在(Jo,÷∞)单调递增,又肛I)=-IVo,祕2)=0,
故当x∈(L2)⅛,Λ,(x)<0∙Λ(j)≠调递减•
当x∈(2,+∞>时j∕ω>o√ιω单调递增,
12分
.∙.Λ(x)≥Λ
(2)=1一In2>0,故Λ(χ)>Of即得证・
22.【解析J(I)V
x=2+2∞sφt
(护为¼ft)t
J/=2Sinφ
•••曲线G的普適方程为(χ-2)2+y=1>即疋+y2一4==O∙
VX=^COS0∙βy="inAp2—4pcosO=O•
•••曲线IG的极坐标方程为p≡4cos8∙3分
C2的极坐标方程为p=4sin0∙化为立角坐标方租为2)2=4(⅛x2÷,y2-4>=0).5分
⑵依题意设ACPlQ∙Bg』儿
(ZZ=σ∙(0=α∙
•;由(得Ql=4COSα∙由<得卩2=4Sinα.
(p=4rosΘI/)=4SinΘ
β∙eO≤α≤~γ*»:
.p\>g•
ΛIABl=IQAl-IoBl=p↑—化=4COSa—4sina.
•:
()M是圆G的立径,∙∙∙Z(MM=手・・•・在RtΔ<λ4M中,∣AM∣isina,
・・•在RtΔB,AM中,ZAΛ1B=,Λ∣AB∣=IAMl,
即4cosa_4sina=4stna∙
∙∙.4cosa=8sina∙即VIna=*•10分
23.【解析】
(1)S*,Z均为正數,
Λ∣∙r÷s∣∙∣>f÷≡I=(Jr+sr)(ιy+≡r)22>fxz•2>fyz=4τJXy^
当JL仅当文=Iy=土时取等号•3分
XVOOy<1»Λ4z√7^>4qn∙∙∙∙1工十Hl∙∣jH^T>4pN∙∙∙∙∙5分
(2)V-X¾-=v•即丄+丄+丄=3.
X-Ty十N3yzXZXy+⅛^2λΛs∙i=2^≡÷⅛≥27j∙≡∙i=2*
xy÷-≥2a∕tj•—=2•当且仅当x—y—z—1时耳I等号.8分
∙5+w+h+盘+初+±N6,∙5+w+Q3,
Λ2jy•2*•2血=2矽+产+反$8,・・・2矽•2其∙2fτ的最,卜值为8.10分